本文考虑具有局部分数阶导数的IVP。利用Yang-Laplace变换讨论了齐次和非齐次局部分数阶微分方程的解析解。
1.简介
近年来，常微分方程和偏微分方程在数学物理的许多问题中得到了应用[1,2]. 常微分方程和偏微分方程的初值问题（IVPs）由一些作者在[三–6]. 求解微分方程有解析法和数值法，如有限元法[6]，谐波小波方法[7–9]，Adomian分解方法[10–12]同伦分析方法[13,14]同伦分解法[15,16]，热平衡积分法[17,18]同伦摄动法[19]，变分迭代法[20]和其他方法[21].
最近，由于经典微分方程和分数阶微分方程的局限性，局部分数阶微分方程式被应用于描述分形介质中热和波的不可微问题[22,23]分形弹性中的结构关系[24]，以及分形介质中的Fokker-Planck方程[25]. 采用了一些方法求解局部分数阶微分方程。例如，局部分数变分迭代法被用于求解分形介质中的热传导[26,27]. 在中考虑了求解局部分数扩散和热传导方程的局部分数分解方法[28,29]. 摘要提出了求解具有局部分数阶导数的薛定谔方程的局部分数阶级数展开方法[30]. 2011年构建的Yang-Laplace转型[22]被建议处理局部分数阶微分方程[31,32]. 年提出了求解分形介质热传导的Yang-Laplace变换中变分迭代法的耦合方法[33].
本文的目的是利用Yang-Laplace变换求解具有局部分数阶导数的IVP。本文的结构如下。在节中2给出了Yang-Laplace变换的一些定义和性质。章节三研究了具有局部分数导数的齐次和非齐次IVP的解。最后，第节给出了结论4.
在本节中，我们将展示Yang-Laplace变换的一些定义和属性。
局部分数积分算子定义为[22,23,26–33]哪里,,,,，是间隔的分区.
作为的逆运算符(1)，局部分数导数算子由下式给出[22,23,26–33]具有.
Yang-Laplace变换表示为[22,31–33]哪里是局部分数连续函数。
逆Yang-Laplace变换读取为[22,31–33]哪里和.
Yang-Laplace变换的一些性质如下[21,22,22–33]:
3.局部分数导数IVP
在本节中，我们用局部分数导数处理齐次和非齐次IVP。
3.1. 具有局部分数导数的齐次IVP
示例1。具有局部分数导数的齐次IVP表示为
初始边界条件表示为
发件人(6)我们有
因此，利用(19)和(20), (19)可以写为
因此，我们得到
所以，利用(13)，我们得到了(17)以下为：
解决方案(17)的如图所示1.
示例2。让我们考虑具有局部分数导数的齐次IVP，形式如下
受初始边界条件约束
发件人(6)我们有
因此
因此(27)可以写为
这将导致
因此，我们得到
的精确解(24)的如图所示2.
3.2. 具有局部分数导数的非齐次IVP
示例3。我们现在考虑具有局部分数导数的非齐次IVP受初始边界条件约束
通过使用(6)，我们有因此
所以，
的精确解(31)的如图所示三.
示例4。具有局部分数导数的非齐次IVP为
初始边界条件为
鉴于(6)，我们给予
因此，我们获得
的精确解(36)的如图所示4.
4.结论
在这项工作中，我们使用Yang-Laplace变换来处理具有松散分数导数的齐次和非齐次IVP。讨论了局部分数阶IVP近似解的一些示例。分形维数的不可微解以图形方式显示。所得结果表明，Yang-Laplace变换是求解具有局部分数阶导数的齐次和非齐次IVP的有效数学工具。
利益冲突
作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。
致谢
这项工作得到了国家科技支撑项目（no.2012BAE09B00）、国家自然科学基金（no.61202259 and no.61170317）、河北省国家自然科学项目（no.A2012209043 and no.E2013209215）、，河北省“十二五”科学研究课题（编号：13090074）。
