阿卜杜斯塔尔·巴胡米;哈比卜·欧尔戴安;哈菲德·鲁古伊 广义函数代数上的随机热方程。 （英语） Zbl 1278.60106号 英芬。尺寸。分析。量子概率。相关。顶部。 第15期，第4期，第1250026号论文，第18页（2012年）. 本文讨论了（N'\）上广义函数核代数（{mathcal F}{theta}^*（N'））上Volterra-Gross-Laplacian的扩张算子（Delta_G^{mathrm{ext}}（K））。众所周知，令人惊讶的是，在不使用重整化过程的情况下，这个扩展（Delta_G^{mathrm{ext}}（K））提供了由L.Accardi公司等【Commun。数学。物理学。228，第1期，第123–150页（2002年；兹比尔1006.60064)].事实上，对于具有内积（langle\cdot，\cdot\rangle）和范数（|\cdot|_0）的无限维实可分Hilbert空间（H），以及对于（H）上的算子（a），使得（a e_n=lambda_n e_n）\（for all n），其中（e_n infty\），因为（A^{-1}）是Hilbert-Schmidt型，所以我们有真正的标准核Gel'fand三重态\[X:=\projlim_{p\to\infty}X_p\subset H\subset\operatorname{indlim}_{p\to\infty}X_{-p}=：X'\tag{1}\]Hilbert空间\（X_p\）由所有\（H\中的\ xi\）和\（|\xi|_p=|A^p\xi|_0<\infty\）组成。那么，（N\subset{mathcal H}\subset N'）是白噪声分析中（X，H）和（X'）的复化的反面。事实上，对于Young函数（θ），（{mathcal F}{theta}（N'））表示（N'\）上的全纯函数空间，具有阶指数增长（θ\）和最小类型的指数增长，（{mathcal G}{theta}（N））表示在（N\）上全纯函数的空间，具有任意类型的阶指数增长。此外，\（{mathcal F}_{theta}（N'）\）是\（N'。，R.甘农等【J。功能。分析。171，第1期，第1-14页，（2000年；兹伯利0969.46018)]). 请注意\[\|f\|_{θ，p，m}:=\sup_{x\在N_p}|f（x）|e^{-θ（m|x|p）}中，\tag{2}\]\（τ（K））是一个对称的核函数，在（N\otimes N）'\中是（tau（K）\），在{\mathcal L}（N，N'）中是（K\），对于\（xi，N\中是eta\（{mathcal L}）是由（{mathcal L}\Phi）（xi）\equiv\hat{Phi}（xi gle}\），\（z\ in N'\）。事实上，\（Delta_G^{mathrm{ext}}（K）\）是从\（{mathcal F}{theta}^*（N'）\）到自身的连续线性算子，并且对于\（{mathcal F{{theta{^*（N'）\中的任何广义函数\（Phi\sim（\Phi_N）{N=0}^{infty}\），\[\Delta_G^｛\mathrm｛ext｝｝｝（K）\Phi\sim\｛（n+2）（n+1）\tau（K）\hat｛\otimes｝_2\Phi_｛n+2｝\｝_｛n\geq 0｝。\标记{3}\]此外，存在（q>0）和（m'>0），因此，对于任何（m'>m>0）或（p>q），估计\[\|\Delta_G^{\mathrm{ext}}（K）\Phi\|_{theta，-p，m}\leqslate\rho|\tau（K\]保持某个常量\（\rho>0\）。设（{mathcal P}{tK}）\（=\）\（e^{frac{t}{2}\Delta_G^{mathrm{ext}}（K）}\），\（t\in{mathbb R}\）是一个从\（{mathcal F}{theta}^*（N'）\）到其自身的强连续单参数连续线性算子组{ext}}（K）\）。事实上，\[{mathcal P}_{tK}\Phi\sim\left（\sum_{ell=0}^{infty}\frac{（n+2\ell）！t^{ell}{n！\ell！2^{ellneneneep}\tau（K）^{otimes\ell}\hat{otimes}_{2\ell}\Phi{n+2\hell}\right）_{n\geq 0}\tag{5}\]保留{mathcal F}_{theta}^*（N'）中的任何\（\Phi\）。然后，（U_t={mathcal P}{tK}\Phi）在热方程的（{mathcalF}{theta}^*（N'））中提供了唯一的解\[\frac{\partial U}{\partic t}=\frac{1}{2}\Delta_G^{\mathrm{ext}}（K）U\qquad\text{与}U（0）=\Phi\在{\mathcal F}{\theta}^*（N'）中。\标记{6}\]作者研究了热方程（6）解（U_t）的概率表示。在下文中，假设\（K\）是具有有限迹的对称非负线性算子。对于（{mathcal G}{\teta^*}（N）上的转换运算符（t_{-\ta}）（用于N中的\），作为从（{mathcal F}_{\theta}^*（N'））到自身的线性连续运算符。借助于Hilbert空间中的随机积分理论（例如[G.达普拉托和J.扎布茨克，无限维随机方程。剑桥：剑桥大学出版社。(1992;Zbl 0761.60052号)])，（{mathcal F}_{theta}^*（N'））值过程的随机积分可以在数学上很好地定义。对于滤波概率空间上的\（K\）-Wiener过程\（W=（W（t））\），\（t\in[0]，t]\）（（（Omega，｛\mathcal F｝，（｛\mathcal F｝_t）_｛t\in[0]，t]｝，\ operatorname｛P｝）\），设\（Z（t）\），\（t\in[0]，t]\）为\（｛\mathcal F｝_｛\theta｝^*（N'）\）-值连续\（｛\mathcal F｝_t\）-形式的半鞅\[Z（t）=Z（0）+\int_0^t\Phi（s）d W（s）+\int _0^t\Psi（s）\，ds\qquad\text{代表}\Phi，\Psi\in{\mathcal F}_{\theta}^*（N'）。\标记{7}\]广义函数读（T_{-W（T）}\Phi）的It-o公式（参见定理4.3）是具有分解的（{mathcal F}_{theta}^*（N'））值连续（{mathcal F}_T）-半鞅\[T_{-W（T）}\Phi=T_{-W（0）}\Phi+\sum_{j=0}^{infty}\int_0^T\partial_{e_j}\]其中，（{\partial_{e_j}；j\in{\mathbbN}）是核代数（{\mathcalF}_{\theta}^*（N'））上的导子族。以下是主要结果。{定理A.}柯西问题（6）的解由下式给出\[U_t=\操作员姓名{E} _x（x）（T_{-W（T）}\Phi），\标签{9}\]其中\（\ operatorname｛P｝^x\）是\（W（t）\）从\（W（0）=x\在x_P\中）开始的概率定律，并且\（\ operatorname{E} _x（x）\)是关于\（\operatorname{P}^x\）的期望值。{定理B.}设（K\ in{mathcal L}（N'，N）\）和（Phi\ in{mathcal F}_{theta}^*（N'）\）。那么，（G=G_K\Phi）是方程的解\[\left（\lambda I-\frac｛1｝｛2｝\Delta_G^｛\mathrm｛ext｝｝｝（K）\right）G=\Phi。\标记{10}\]上述定理断言，广义泊松方程（10）与广义广义拉普拉斯方程（Delta_G^{mathrm{ext}}（K））的解由与（6）解相关的（lambda）势表示，其中泛函（G_K\Phi）：（{mathcal F}{theta}（N'）到{mathbb C}定义为\[\langle\langle G_K\Phi，\varphi\rangle\rangle:=\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}\langle\langle\operatorname{E} _x（x）（T_{-W（T）}\Phi），\varphi\rangle\rangle\，dt。\标签{11}\]请注意，\（G_K\Phi\）允许表示：\[\Delta_G^{\mathrm{ext}}（K）G_K\Phi=\int_0^{\infty}e^{-\lambda t}\Delta_G{E} _x（x）[T_{-W（T）}\Phi]\，日期。\标签{12}\]审核人：Isamu Doku（斋戒） 引用于14文件 MSC公司： 60小时40 白噪声理论 46层25 无穷维空间上的分布 关键词：广义随机演算;热量方程;泊松方程;扩展广义拉普拉斯算子;白噪声 引文：Zbl 1006.60064号;Zbl 0969.46018号;Zbl 0761.60052号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Barhoumi}等人，Infin。尺寸。分析。量子概率。相关。顶部。15，第4号，论文编号1250026，18页（2012；Zbl 1278.60106） 全文： 内政部 参考文献： [1] 内政部：10.1142/S0219025706002329·Zbl 1097.60065号 ·doi:10.1142/S0219025706002329 [2] Accardi L.公司。数学。物理学。228页123150– [3] DOI:10.11142/S0219025709003513·Zbl 1172.60019号 ·doi:10.1142/S0219025709003513 [4] L.Accardi和O.G.Smolyanov，波动的数学方法II（世界科学，新加坡，1995）pp。31–47. 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