克里斯·布里马科姆;罗伯特·M·科尔利斯（Robert M.Corless）。;迈尔·扎米尔 马修函数的计算和应用：历史的观点。 （英语） Zbl 1479.33014号 SIAM版本。 63，第4号，653-720（2021）. 小结：周期（pi）或（2 pi）的Mathieu函数，也称为椭圆柱函数，由埃米尔·马修于1868年引入，并与所谓的修正的Mathieo函数一起，以帮助理解固定椭圆环中弹性膜的振动。这些功能在今天的应用程序中仍然频繁出现；例如，我们的兴趣受到了血管中脉动血流问题的刺激，该问题被压缩成椭圆形横截面。本文概述了Mathieu函数和修正的Mathieus函数计算理论和方法的历史发展，并指出了当前软件能力中的一些差距，特别是与Matheeu方程的双特征值有关的差距。我们证明了如何计算关于这种双特征值的Mathieu特征值的Puiseux展开式，并给出了计算其中出现的广义特征函数的方法。在研究马修最初的贡献时，我们发现他使用反垂直度的时间早于林德斯特。出于历史兴趣，我们还提供了参与马修函数历史的一些主要数学研究人员的简短传记：埃米尔·马修、埃德蒙·惠塔克爵士、爱德华·因斯和格特鲁德·布兰奇。 引用于三文件 MSC公司： 33F05型 特殊函数的数值逼近与计算 33-03 特殊功能的历史 33E10型 拉梅、马修和椭球波函数 65D20个 特殊函数和常数的计算，表的构造 关键词：Mathieu函数;修改的Mathieu函数;历史调查;Mathieu函数的计算;双特征值;Puiseux系列 软件：算法934;切布冯;数字Gfun;数学软件;gfun公司;枫树;Matlab公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.Brimacombe}等人，SIAM Rev.63，No.4，653--720（2021；Zbl 1479.33014） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] M.Abramowitz和I.A.Stegun，《数学函数手册：公式、图形和数学表》，Courier Corporation，1964年·Zbl 0171.38503号 [2] A.Aitken，E.L.Ince博士，《自然》，148（1941），第309-310页。 [3] F.A.Alhargan，整数阶Mathieu特征数的完整计算方法，SIAM Rev.，38（1996），第239-255页，https://doi.org/10.1137/1038040。 ·Zbl 0858.33018号 [4] P.Arbenz和M.E.Hochstenbach，求解复杂对称特征值问题的Jacobi-Davidson方法，SIAM J.Sci。计算。，25（2004），第1655-1673页，https://doi.org/10.1137/S1064827502410992。 ·Zbl 1061.65027号 [5] E.R.G.Barroso、P.D.G.Peárez和P.Popescu-Pampu，牛顿级数反演定理的变分，数学。Ann.，368（2016），第1359-1397页，https://doi.org/10.1007/s00208-016-1503-1。 ·Zbl 1386.14018号 [6] D.Barton，《关于泰勒级数和刚性方程》，ACM Trans。数学。《软件》，6（1980），第280-294页·Zbl 0434.65045号 [7] Z.Battles和L.N.Trefethen，MATLAB对连续函数和运算符的扩展，SIAM J.Sci。计算。，25（2004），第1743-1770页，https://doi.org/10.1137/S1064827503430126。 ·Zbl 1057.65003号 [8] A.Benoit，M.Joldeş和M.Mezzarobba，使用Chebyshev展开的D-有限函数的严格一致逼近，数学。公司。，86（2017），第1303-1341页·Zbl 1361.65045号 [9] W.Bickley，《Mathieu函数表》，数学。表格有助于计算。，1（1945年），第409-419页·Zbl 0061.30402号 [10] G.Blanch，《关于Mathieu函数的计算》，J.Math。物理。，25（1946），第1-20页，https://doi.org/10.1002/sapm19462511。 ·Zbl 0061.27702号 [11] G.Blanch，奇周期Mathieu函数的渐近展开，Trans。阿默尔。数学。《社会学杂志》，97（1960），第357-366页·Zbl 0103.29404号 [12] G.Blanch，连续分数的数值计算，SIAM Rev.，6（1964），第383-421页，https://doi.org/10.1137/1006092。 ·Zbl 0133.38904号 [13] G.Blanch，Mathieu特征值的数值方面，Rend。循环。马特·巴勒莫（2），15（1966），第51-97页·Zbl 0196.49901号 [14] G.Blanch和D.Clemm，《马修微分方程的两点》，《数学》。公司。，23（1969），第97-108页·Zbl 0176.38702号 [15] G.Blanch、A.Lowan、R.Marshak和H.Bethe，《太阳内部温度密度分布》，天体物理学。J.，94（1941），第37-45页。 [16] E.Bolmont、P.Nabonnand和L.Rollet，《巴黎人的野心》，contrarieées d'Eémile Mathieu（1835-1890），2015年，https://images.math.cnrs.fr/Les-ambitions-parisiennes-contriees-d-Emile-Mathieu-1835-1890.html。 [17] J.Bourget，《科学年鉴》。Eεcole规范。补充，第3页（1866年），第55-95页，https://doi.org/10.24033/asens.19。 [18] C.J.Bouwkamp，关于Mathieu函数的注释，Proc。科恩。荷兰。阿卡德。韦滕施。，51（1948年），第891-893页·Zbl 0031.12103号 [19] J.Cano、S.Falkensteiner和J.R.Sendra，一维自治代数常微分方程组的代数、有理和Puiseux级数解，数学。计算。科学。，15（2021），第189-198页，https://doi.org/10.1007/s11786-020-00478-w。 ·Zbl 1500.34075号 [20] L.Chaos-Cador和E.Ley-Koo，重温Mathieu函数：矩阵评估和生成函数，Revista Mexicana Fiís。，48（2002），第67-75页·Zbl 1326.33029号 [21] R.M.Corless，《Sobre la iteracio⁄n cu⁄bica inversa》，《皇家科学院学报》，24（2021），第147-159页；英文预印本可从https://arxiv.org/abs/2007.06571。 [22] R.M.Corless，5:3椭圆鼓的纯音模式，预印，https://arxiv.org/abs/2008.06936, 2020. 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