卡尔·西奥多·斯特姆 度量测度空间和合成Ricci界：基本概念和最新发展。 （英语） 兹伯利07763388 Hujdurović，Ademir（编辑）等人，欧洲数学大会。2021年6月20日至26日，斯洛文尼亚波托罗日，8ECM，第八届大会会议记录。柏林：欧洲数学学会（EMS）。125-159 (2023). 在这个非常好的调查中，作者回顾了度量测度空间理论的最新发展，该理论承认了作者介绍的下Ricci曲率界的综合概念[数学学报196，第1期，65–131（2006；Zbl 1105.53035号); 数学学报。196，第1期，133-177（2006年；Zbl 1106.53032号)]和J.洛特和C.维拉尼[数学年鉴（2）169，第3期，903–991（2009；Zbl 1178.53038号)]. 这篇文章从几何和分析的角度包含了大量关于该理论最新发展的信息。本文首先介绍曲率维数条件（mathsf{CD}（K，N））。本文综述了它的几个几何方面，如Bonnet-Myers定理、Bishop-Gromov体积比较和Lévy-Gromov等参不等式。作者继续讨论了（mathsf{CD}（K，N）条件的稳定性，并回顾了度量测度空间之间距离的一些自然概念，如（L^p\）-运输距离，（L^p \）-畸变距离，Gromov的盒距离和测量的Gromov-Hausdorff距离。接着讨论了局部到全局定理，通过了约化曲率维数条件（K，N）的定义以及该条件与（K，N）条件之间的等价性。然后，作者将注意力转向（mathsf{CD}）空间的分析方面，解释热流的作用和定义。更准确地说，他解释了如何根据Cheeger能量的（L^2）-梯度流或有限二阶矩概率测度空间中的Boltzmann熵的梯度流来定义热方程。还回顾了这两种方法的等效性。他列举了这两种方法一致的大量例子。在下一部分中，作者讨论了关于（mathsf{CD}）条件的欧拉观点，并专门讨论了（mathsf{RCD}（K，N））空间的情况，即（mathsf-{CD}（K，N））空间是无穷小的希尔伯特空间（即具有二次Cheeger能量）。给出了（mathsf{RCD}）条件的几个等价定义，如Bochner不等式和Bakry-Emery估计。作者回顾了这些空间的一系列已知函数不等式（带有尖锐常数），推广了流形或欧几里德空间上的著名不等式。此外，他回忆了几个重要的比较定理，如分裂定理和最大直径定理。作者在本节结束时简要介绍了\（\mathsf｛RCD｝\）空间的结构理论。文章的最后一部分讨论了最近的发展，主要在以下几个方面：含时度量测度空间上的热流和超Ricci流、二阶微积分、合成Ricci曲率上界和分布值Ricci下曲率上界。关于整个系列，请参见[Zbl 1519.00033号].审核人：Jesüs Nüñez ZimbronóN（墨西哥） MSC公司： 53立方厘米 全局几何和拓扑方法（a la Gromov）；度量空间的微分几何分析 35K05美元 热量方程式 31C25型 Dirichlet形式 47D08型 Schrödinger和Feynman-Kac半群 30L99型 度量空间分析 关键词：最佳运输;里奇曲率;度量度量空间;Bakry-Émery曲率;合成Ricci界限;曲率维条件;RCD空间 引文：Zbl 1105.53035号;Zbl 1106.53032号;Zbl 1178.53038号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{K.-T.Sturm}，in：欧洲数学大会。2021年6月20日至26日，斯洛文尼亚波托罗日，8ECM，第八届大会会议记录。柏林：欧洲数学学会（EMS）。125-159（2023；Zbl 07763388） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] A.D.Aleksandrov，《凸表面的内在几何》。莫斯科-列宁格勒OGIZ，1948 Zbl 0038.35201 MR 0029518·Zbl 0038.35201号 [2] A.D.Alexandrow，Die innere Geometrie der konveven Flächen。阿卡德米，柏林，1955 Zbl 0065.15102 MR 0071041·Zbl 0065.15102号 [3] L.Ambrosio、N.Gigli和G.Savaré，《度量测度空间中的微积分和热流及其在下Ricci界空间中的应用》。发明。数学。195（2014），编号2，289-391 Zbl 1312.53056 MR 3152751·Zbl 1312.53056号 [4] L.Ambrosio、N.Gigli和G.Savaré，黎曼-里奇曲率从下界的度量测度空间。杜克大学数学。J.163（2014），编号7，1405-1490 Zbl 1304.35310 MR 3205729·Zbl 1304.35310号 [5] L.Ambrosio、N.Gigli和G.Savaré，Bakry-Emery曲率-维数条件和黎曼-里奇曲率边界。安·普罗巴伯。43（2015），编号1，339-404 Zbl 1307.49044 MR 3298475·Zbl 1307.49044号 [6] L.Ambrosio、S.Honda和D.Tewodrose，热核的短时行为和RCD上的Weyl定律。K；N/空格。全球分析年鉴。地理。53（2018），编号1，97-119 Zbl 1390.58015 MR 3746517·Zbl 1390.58015号 [7] L.Ambrosio、A.Mondino和G.Savaré，度量测度空间中的非线性扩散方程和曲线条件。内存。阿默尔。数学。Soc.262（2019），编号1270，v+121 Zbl 1477.49003 MR 4044464·Zbl 1477.49003号 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