安娜·利什克；庞国飞；马米孔·古利安；宋方英；克里斯蒂安·格卢萨；郑晓宁；毛志平；蔡伟；马克·M·密尔夏特。；马克·安斯沃思；乔治·埃姆·卡尼亚达基斯 分数拉普拉斯算子是什么？与新结果的比较审查。 （英语） Zbl 1453.35179号 J.计算。物理学。 404，文章ID 109009，62 p.（2020）. 小结：（mathbb{R}^d）中的分数阶拉普拉斯算子，我们将其写成（（-\Delta）^{alpha/2}）和（\alpha\in（0,2），具有多个等价的特征。此外，在有界域中，边界条件必须以数学上不同的方式纳入这些特征中，目前在文献中，对于有界域分数Laplacian的哪种定义最适合给定的应用，还没有达成共识。例如，Riesz（或积分）定义允许非局部边界条件，其中函数的值必须在域的整个外部指定，以便计算其分数Laplacian。相反，光谱定义只需要标准的局部边界条件。这些差异，除其他外，使我们提出了一个问题：“什么是分数拉普拉斯算子？”从第一原理开始，我们通过随机解释及其分析性质，从理论上比较了分数拉普拉算子的几种常用定义。然后，我们使用最先进的方法样本进行定量比较。我们讨论了非零边界条件的最新进展，并提出了离散此类边值问题的新方法：径向基函数配置（对于Riesz分数阶拉普拉斯算子）和非调和提升（对于谱分数阶拉布拉斯算子）。在我们的数值研究中，我们旨在使用一组基准问题来比较有界域的不同定义。我们考虑具有零和非零边界条件的分数泊松方程，其中分数拉普拉斯算子是根据Riesz定义、谱定义、方向定义和基于水平的非局部定义定义的。我们验证了在每个算子的近似中使用的数值方法的准确性，并且我们着重于识别由这些不同定义构成的方程的解的边界行为的差异。通过我们的努力，我们的目标是进一步让研究界参与解决开放问题，并帮助实践者确定最合适的定义和计算方法，用于其数学模型，以解决各种应用中的异常运输问题。 引用于171文件 MSC公司： 35升11 分数阶偏微分方程 60G51型 具有独立增量的过程；Lévy过程 35A01型 偏微分方程的存在性问题：全局存在、局部存在、不存在 35A02型 偏微分方程的唯一性问题：全局唯一性、局部唯一性、非唯一性 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 65二氧化碳 蒙特卡罗方法 35-02 关于偏微分方程的研究综述（专著、调查文章） 65-02 与数值分析相关的研究展览（专著、调查文章） 关键词：分数拉普拉斯算子；反常扩散；规律性；稳定Lévy运动；非局部模型 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Lischke}等人，J.计算。物理学。404，文章ID 109009，62 p.（2020；Zbl 1453.35179） 全文： DOI程序 链接 参考文献： [1] Pozrikidis，C.，《分数拉普拉斯算子》（2016），CRC出版社：CRC出版社，佛罗里达州博卡拉顿·兹比尔1403.76015 [2] Bucur，C。；Valdinoci，E.，《非局部扩散与应用》，第20卷（2016年），施普林格出版社·兹比尔1377.35002 [3] Meerschaert，M。；Sikorskii，A.，分数阶微积分的随机模型（2011），De Gruyter·Zbl 1490.60004号 [4] Vázquez，J.L.，扩散的数学理论：非线性和分数扩散，（非局部和非线性扩散和相互作用：新方法和方向（2017），Springer），205-278·Zbl 1492.35151号 [5] Kwa sh nicki，M.，分数拉普拉斯算子的十个等价定义，分形。计算应用程序。分析。，20, 1, 7-51 (2017) ·Zbl 1375.47038号 [6] Yamamoto，M.，分数拉普拉斯耗散方程解的渐近展开，SIAM J.Math。分析。，44, 6, 3786-3805 (2012) ·Zbl 1263.35042号 [7] 康斯坦丁，P。；Wu，J.，2D准营养方程解的行为，SIAM J.数学。分析。，30, 5, 937-948 (1999) ·Zbl 0957.76093号 [8] 赤城，G。；Schimperna，G。；Segatti，A.，分数Cahn-Hilliard，Allen-Cahn和多孔介质方程，J.Differ。等于。，261, 6, 2935-2985 (2016) ·Zbl 1342.35429号 [9] 安斯沃思，M。；Mao，Z.，分数阶Cahn-Hilliard方程的分析和近似，SIAM J.Numer。分析。，55, 4, 1689-1718 (2017) ·Zbl 1369.65124号 [10] 安斯沃思，M。；Mao，Z.，具有分数自由能的Cahn-Hilliard方程的适定性及其Fourier Galerkin近似，混沌孤子分形，102264-273（2017）·Zbl 1422.65219号 [11] de Pablo，A。；基洛斯，F。；罗德里格斯，A。；Vázquez，J.L.，分数多孔介质方程，高级数学。，226, 2, 1378-1409 (2011) ·Zbl 1208.26016号 [12] 拉斯金，N.，分数量子力学和Lévy路径积分，物理学。莱特。A、 268、4、298-305（2000）·Zbl 0948.81595号 [13] 特雷比，B.E。；Cox，B.T.，《利用分数拉普拉斯公式模拟声波传播的幂律吸收和色散》，J.Acoust。《美国社会杂志》，127,52741-2748（2010） [14] Chen，W。；Holm，S.，《表现出任意频率幂律依赖性的线性和非线性有耗介质的分数拉普拉斯时空模型》，J.Acoust。《美国社会》，115，4，1424-1430（2004） [15] 博尼托，A。；Borthagaray，J.P。；诺切托，R.H。；Otarola，大肠杆菌。；Salgado，A.J.，分数扩散的数值方法，计算。视觉。科学。，1-28 (2018) [16] Duo，S。；Wang，H。；Zhang，Y.，与分数拉普拉斯算子相关的非局部扩散算子的比较研究，离散Contin。动态。系统。，序列号。B、 24231（2019）·Zbl 1404.45003号 [17] 乔伊斯，R。；斯塔里科维奇乌斯，V。；马格诺夫，S。；Kriauzienö，R.，《分数幂扩散问题并行求解器的精度和效率比较》，（Wyrzykowski，R.；Dongarra，J.；Deelman，E.；Karczewski，K.，《并行处理和应用数学》（2018），斯普林格国际出版：斯普林格国际出版商会），79-89 [18] 安提尔，H。；Pfefferer，J。；Rogovs，S.，非均匀边界条件下的分数算子：分析、控制和离散化·Zbl 06996271号 [19] 北卡罗来纳州库西马诺。；德尔特索，F。；杰拉尔多·乔尔达，L。；Pagnini，G.，具有Dirichlet、Neumann和Robin边界条件的一般域上谱分数Laplacian的离散化，SIAM J.Numer。分析。，56, 3, 1243-1272 (2018) ·Zbl 1468.65138号 [20] 宋，R。；Vondracek，Z.，从属势理论，域中的布朗运动，Probab。理论关联。菲尔德，125，578-592（2003）·Zbl 1022.60078号 [21] 关Q.-Y。；Ma，Z.-M.，反映对称α-稳定过程和区域分数拉普拉斯，Probab。理论关联。菲尔德，134649-694（2006）·Zbl 1089.60030号 [22] 基普里亚努，A.E。；Osojnik，A。；Shardlow，T.，分数Laplacian的无偏“步行球”蒙特卡罗方法，IMA J.Numer。分析。，38, 3, 1550-1578 (2018) ·兹比尔1477.65016 [23] 毛，Z。；陈，S。；沈，J.，利用广义雅可比函数求解Riesz分数阶微分方程的高效准确谱方法，应用。数字。数学。，106, 165-181 (2016) ·Zbl 1382.65222号 [24] 穆西纳，R。；Nazarov，A.I.，《分数拉普拉斯人-2》，安娜·亨利·彭加雷研究所，安娜拉。Non Linéaire，33，661667-1673（2016）·Zbl 1358.47030号 [25] 里德，M。；Simon，B.，《现代数学物理方法I：函数分析》（1980），学术出版社·Zbl 0459.46001号 [26] Rudin，W.，功能分析（1991），McGraw-Hill·Zbl 0867.46001号 [27] Ethier，S.N。；Kurtz，T.G.，《马尔可夫过程：表征与收敛》，第282卷（2009年），John Wiley&Sons [28] Stein，E.M.，《奇异积分与函数的可微性》（1971），普林斯顿大学出版社 [29] Landkof，N.，《现代势理论基础》（1972），斯普林格·弗拉格·Zbl 0253.31001号 [30] Friedlander，F。；Joshi，M.，《分配理论导论》（1999），剑桥大学出版社 [31] Hormander，L.，线性偏微分算子的分析I：分布理论和傅里叶分析（2003），Springer-Verlag·Zbl 1028.35001号 [32] Samko，S。；基尔巴斯，A。；Maričev，O.，分数积分和导数（1993），Gordon和Breach科学出版社·Zbl 0818.26003号 [33] 卡法雷利，L。；Silvestre，L.，与分数拉普拉斯算子相关的一个推广问题，Commun。部分差异。等于。，32, 8, 1245-1260 (2007) ·Zbl 1143.26002号 [34] Molchanov，S。；Ostrovskii，E.，作为简并扩散过程痕迹的对称稳定过程，理论概率。申请。，14, 1, 128-131 (1968) ·Zbl 0281.60091号 [35] DeBlassie，R.，二维对称稳定过程从楔形物中的首次退出时间，Ann.Probab。，18, 1034-1070 (1990) ·Zbl 0709.60075号 [36] Stinga，P.，二阶偏微分算子的分数次幂：扩张问题和正则性理论（2010），马德里自治大学博士论文 [37] 斯廷加，P.R。；Torrea，J.L.，一些分数阶算子的扩张问题和Harnack不等式，Commun。部分差异。等于。，35, 11, 2092-2122 (2010) ·Zbl 1209.26013号 [38] 澳大利亚Ciaurri。；伦卡尔。；斯廷加，P.R。；托雷亚，J.L。；Varona，J.L.，非局部离散扩散方程和分数阶离散拉普拉斯方程，正则性和应用，高等数学。，330, 688-738 (2018) ·Zbl 1391.35388号 [39] Balakrishnan，A.V.，闭算子的分数幂及其生成的半群，Pac。数学杂志。，10419-437（1960年）·Zbl 0103.33502号 [40] 博尼托，A。；Pasciak，J.E.，椭圆算子分数幂的数值逼近，数学。计算。，84, 295, 2083-2110 (2015) ·Zbl 1331.65159号 [41] 博尼托，A。；雷，W。；Pasciak，J.E.，关于正则增生算子分数幂的sinc正交逼近·Zbl 1476.65292号 [42] Meerschaert，M。；Sabzikar，F。；Chen，J.，回火分数微积分，J.Compute。物理。，293, 14-28 (2015) ·Zbl 1349.26017号 [43] Koponen，I.，截断Lévy航班向高斯随机过程收敛问题的分析方法，Phys。E版，52，1197-1199（1995） [44] 郑，Z。；邓，W。；Karniadakis，G.E.，调和分数Laplacian的Riesz基Galerkin方法·Zbl 1402.65120号 [45] Kac，M.，关于某些Wiener泛函的分布，Trans。美国数学。Soc.，65，1-13（1949）·Zbl 0032.03501号 [46] Brosamler，G.，Neumann问题的概率解，数学。扫描。，38, 137-147 (1967) ·Zbl 0346.60021号 [47] 狮子，P.L。；Sznitman，A.S.，带反射边界条件的随机微分方程，Commun。纯应用程序。数学。，37, 4, 511-537 (1984) ·Zbl 0598.60060号 [48] Hsu，E.P.，《反映布朗运动、边界局部时间和诺依曼问题》，Diss。文章摘要。国际，B部分，科学。工程师，45，6（1984） [49] Defterli，O。；D'Elia，M。；杜琪。；Gunzburger，M。；勒霍克，R。；Meerschaert，M.M.，有界域上的分数扩散，分形。计算应用程序。分析。，18, 2, 342-360 (2015) ·Zbl 1488.35557号 [50] 庞，G。；Chen，W。；Sze，K.，分数方向积分的高斯-雅可比型求积规则，计算。数学。申请。，66, 5, 597-607 (2013) ·Zbl 1350.65019号 [51] Meerschaert，M.M。；莫滕森，J。；Wheatcraft，S.W.，分数平流扩散的分数向量演算，物理A:统计力学。申请。，367, 181-190 (2006) [52] Kelly，J.F。；Li，C.-G。；Meerschaert，M.M.，《弹道标度的异常扩散：一种新的分数导数》，J.Compute。申请。数学。，339, 161-178 (2018) ·Zbl 06867150号 [53] 杨琼。；刘，F。；Turner，I.，具有Riesz空间分数导数的分数偏微分方程的数值方法，应用。数学。型号。，34200-218（2010年）·Zbl 1185.65200号 [54] Meerschaert，M.M。；Benson，D.A。；Bäumer，B.，《多维平流和分数色散》，Phys。E版，59、5、5026（1999） [55] Chen，W。；Pang，G.，分数Laplacian的新定义及其在三维非局部热传导建模中的应用，J.Compute。物理。，309, 350-367 (2016) ·Zbl 1351.80001号 [56] Kolokoltsov，V.N.，《马尔可夫过程、半群和生成器》，《德格鲁伊特数学研究》，第38卷（2011年），沃尔特·德格鲁伊特公司：沃尔特·德格鲁伊特公司，柏林·Zbl 1220.60003号 [57] Privault，N.，经典概率中的势理论，（量子势理论。量子势理论，数学讲义，第1954卷（2008），施普林格：施普林格-柏林），3-59·Zbl 1167.60018号 [58] Freidlin，M.，《函数积分与偏微分方程》，《数学研究年鉴》，第109卷（1985年），普林斯顿大学出版社：普林斯顿大学出版，新泽西州普林斯顿·Zbl 0568.60057号 [59] Bencherif-Madani，A。；Pardoux，E.，具有Neumann边界条件的泊松方程的概率公式，Stoch。分析。申请。，27, 4, 739-746 (2009) ·Zbl 1171.35493号 [60] Hermann，R.，《分数微积分：物理学家导论》（2014），《世界科学》，500页·Zbl 1293.26001号 [61] 伦卡尔。；Stinga，P.R.，环面上的分数Laplacian，Commun。康斯坦普。数学。，第18、3条，第1550033页（2016年）·Zbl 1383.35246号 [62] 伦卡尔。；Stinga，P.R.，分数拉普拉斯正则性的转移，（特殊函数，偏微分方程，调和分析（2014），Springer），203-212·Zbl 1323.35201号 [63] Vázquez，J.L.，分数拉普拉斯算子非线性扩散理论的最新进展（2014），arXiv预印本·Zbl 1290.26010号 [64] Grubb，G.，谱分数Dirichlet和Neumann问题的正则性，数学。纳克里斯。，289, 7, 831-844 (2016) ·Zbl 1448.47062号 [65] 杜琪。；Gunzburger，M。；勒霍克，R。；Zhou，K.，体积约束下非局部扩散问题的分析与逼近，SIAM Rev.，54，667-696（2012）·Zbl 1422.76168号 [66] Dipierro，S。；罗斯·奥顿，X。；Valdinoci，E.，具有Neumann边界条件的非局部问题，Rev.Mat.Iberoam。，33, 377-416 (2017) ·Zbl 1371.35322号 [67] Baeumer，B。；科瓦奇，M。；Meerschaert，M.M。；Sankaranarayanan，H.，分数扩散的边界条件，J.计算。申请。数学。，336, 408-424 (2018) ·Zbl 1386.35424号 [68] 凯利，J.F。；桑卡拉纳拉亚南，H。；Meerschaert，M.M.，双边分数扩散的边界条件，J.Compute。物理。，376, 1089-1107 (2019) ·Zbl 1416.35296号 [69] 阿科斯塔，G。；Borthagaray，J.，《分数阶拉普拉斯方程：解的正则性和有限元近似》，SIAM J.Numer。分析。，55, 472-495 (2017) ·Zbl 1359.65246号 [70] 罗斯·奥顿，X。；Serra，J.，分数Laplacian的Dirichlet问题：直到边界的正则性，J.Math。Pures应用。，101, 275-302 (2014) ·Zbl 1285.35020号 [71] 安斯沃思，M。；Glusa，C.，《多边形域上积分分数Laplacian的高效有限元方法》，（当代计算数学——庆祝Ian Sloan 80岁生日，第1、2卷（2018），Springer:Springer-Cham），17-57·Zbl 1407.65276号 [72] 安斯沃思，M。；Glusa，C.，分数Laplacian自适应有限元方法方面：先验和后验误差估计，高效实现和多重网格求解器，计算。方法应用。机械。工程，327，4-35（2017）·Zbl 1439.65142号 [73] Grubb，G.，域上的分数拉普拉斯算子，Hörmanderμ传输伪微分算子理论的发展，高等数学。，268, 478-528 (2015) ·Zbl 1318.47064号 [74] Borthagaray，J.P。；德尔·佩佐，L.M。；Martínez，S.，分数特征值问题的有限元近似，J.Sci。计算。，77, 1, 308-329 (2018) ·Zbl 1412.65203号 [75] 安提尔，H。；Verma，D。；Warma，M.，分数抛物线偏微分方程的外部最优控制（2019），arXiv预印本 [76] 阿科斯塔，G。；Borthagaray，J.P。；Heuer，N.，非齐次分数阶Dirichlet问题的有限元近似，IMA J.Numer。分析。，39, 3, 1471-1501 (2018) ·兹比尔1466.65173 [77] Getoor，R.，空间对称稳定过程的首次通过时间，Trans。美国数学。《社会学杂志》，101，75-90（1961）·Zbl 0104.11203号 [78] 阿科斯塔，G。；Bersetche，F.M。；Borthagaray，J.P.，分数拉普拉斯算子二维齐次Dirichlet问题的简短FE实现，计算。数学。申请。，74, 4, 784-816 (2017) ·兹比尔1384.65081 [79] 陈，Z.－Q。；Meerschaert，M.M。；Nane，E.，有界区域上的时空分数扩散，J.Math。分析。申请。，393, 2, 479-488 (2012) ·Zbl 1251.35177号 [80] 加莱，J.E。；Miana，P.J。；Stinga，P.R.，《扩张问题与分数阶算子：半群与波动方程》，J.Evol。等于。，13, 2, 343-368 (2013) ·Zbl 1336.47049号 [81] 洛杉矶卡法雷利。；Stinga，P.R.，《分数阶椭圆方程，Caccioppoli估计和正则性》，《安娜·亨利·庞加莱研究所》，《Ann.Inst.Henri Poincaré，Anal》。Non Linéaire，33，767-807（2016）·Zbl 1381.35211号 [82] 诺切托，R.H。；Otárola，E。；Salgado，A.J.，《一般领域分数扩散的PDE方法：先验误差分析》，Found。计算。数学。，15, 3, 733-791 (2015) ·Zbl 1347.65178号 [83] 加托，P。；Hesthaven，J.S.，通过hp有限元对分数Laplacian的数值逼近，及其在图像去噪中的应用，J.Sci。计算。，65, 1, 249-270 (2015) ·Zbl 1329.65272号 [84] 安斯沃思，M。；Glusa，C.，分数Laplacian的混合有限元谱方法：近似理论和高效求解器，SIAM J.Sci。计算。，40、4、A2383-A2405（2018）·Zbl 1402.65148号 [85] Vabishchevich，P.N.，《椭圆算子分数幂方程的数值求解》，J.Compute。物理。，282, 289-302 (2015) ·Zbl 1352.65557号 [86] Yosida，K.，功能分析，Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften，第123卷（1980年），Springer-Verlag:Springer-Verlag Berlin New York·Zbl 0152.32102号 [87] 续，R。；Tankov，P.，跳跃过程的金融建模，Chapman&Hall/CRC金融数学系列（2004），Chapman&Hall/CRC：Chapman&Hall/CRC Boca Raton，FL·Zbl 1052.91043号 [88] Gulian，M.，《发现和求解分数阶偏微分方程：机器学习和蒙特卡罗方法》（2019），布朗大学博士论文 [89] M.古利安。；Pang，G.，谱分数Laplacian椭圆和抛物边值问题的随机解（2018），arXiv预印本 [90] 斯廷加，P.R。；Volzone，B.，分数阶Keller-Segel模型产生的分数阶半线性Neumann问题，计算变量偏微分。等于。，54, 1, 1009-1042 (2015) ·兹比尔1328.35283 [91] 关，Q.-Y。；Ma，Z.-M.，分数阶拉普拉斯算子的边界问题，Stoch。动态。，5, 3, 385-424 (2005) ·Zbl 1077.60036号 [92] Warma，M.，开集上具有Neumann和Robin边界条件的分数相对容量和分数Laplacian，势能分析。，42, 2, 499-547 (2015) ·Zbl 1307.31022号 [93] Kim，P。；宋，R。；Vondraček，Z.，关于从属killed Lévy过程的边界理论·Zbl 1451.60090号 [94] Bogdan，K。；Byczkowski，T。；Kulczycki，T。；Ryznar，M。；宋，R。；Vondracek，Z.，《稳定过程及其扩展的潜力分析》（2009），Springer Science&Business Media [95] 陈，Z.-Q。；Song，R.，域中从属过程的双边特征值估计，J.Funct。分析。，226, 1, 90-113 (2005) ·Zbl 1081.60056号 [96] 宋，F。；徐，C。；Karniadakis，G.E.，《计算复杂几何域上的分数拉普拉斯算子：算法和模拟》，SIAM J.Sci。计算。，39、4（2017），A1320-A1344·Zbl 1380.65357号 [97] Meerschaert，M.M。；莫滕森，J。；Schefler，H.-P.，分数导数的向量Grünwald公式，分形。计算应用程序。分析。，7, 1, 61-82 (2004) ·Zbl 1084.65024号 [98] 杜琪。；Gunzburger，M。；Lehoucq，R.B。；Zhou，K.，体积约束下非局部扩散问题的分析与逼近，SIAM Rev.，54，4，667-696（2012）·Zbl 1422.76168号 [99] Muller，M.E.，Dirichlet问题的一些连续蒙特卡罗方法，《数学年鉴》。Stat.，27，3，569-589（1956年）·兹伯利0075.28902 [100] 严，C。；蔡伟（Cai，W.）。；Zeng，X.，使用局部边界积分方程和随机游动用Dirichlet数据求解Laplace方程的并行方法，SIAM J.Sci。计算。，35、4、B868-B889（2013）·Zbl 1362.65008号 [101] 周，Y。；蔡伟（Cai，W.）。；Hsu，E.，反射布朗运动局部时间的计算和Neumann问题的概率表示，Commun。数学。科学。，15, 1, 237-259 (2017) ·Zbl 1358.65005号 [102] 周，Y。；Cai，W.，用Feynman-Kac公式和反映布朗运动的拉普拉斯方程Robin问题的数值解，科学杂志。计算。，69107-121（2016）·Zbl 1352.65021号 [103] Boggio，T.，Sulle funzioni di Green d'ordinem，Rend。循环。马特·巴勒莫，20,197-135（1905） [104] Blumenthal，R。；Getoor，R。；Ray，D.，关于对称稳定过程的初击分布，Trans。美国数学。《社会学杂志》，99，3，540-554（1961）·Zbl 0118.13005号 [105] 庞，G。；Chen，W。；Fu，Z.，采用Kansa方法的空间分数平流扩散方程，J.Compute。物理。，293, 280-296 (2015) ·Zbl 1349.65522号 [106] Chen，W。；傅志杰。；Chen，C.-S.，径向基函数配置方法的最新进展（2014），Springer·Zbl 1282.65160号 [107] Dyda，B.，分数拉普拉斯幂函数和特征值的分数微积分，分形。计算应用程序。分析。，15, 4, 536-555 (2012) ·Zbl 1312.35176号 [108] Bucur，C.，分数拉普拉斯框架中球的格林函数的一些观察，Commun。纯应用程序。分析。，15, 657 (2016) ·Zbl 1334.35383号 [109] D'Elia，M。；Gunzburger，M.，有界域上的分数Laplacian算子作为非局部扩散算子的特例，计算。数学。申请。，66, 7, 1245-1260 (2013) ·Zbl 1345.35128号 [110] O.Burkovska。；Gunzburger，M.，非局部变分不等式问题的正则性和逼近分析（2018），arXiv预印本·Zbl 1421.49009号 [111] 毛，Z。；Karniadakis，G.，具有一般双边分数导数的扩散方程奇异解的谱方法（指数收敛），SIAM J.Numer。分析。，56，1，24-49（2018）·Zbl 1422.65428号 [112] Bogdan，K。；Burdzy，K。；Chen，Z.，删失稳定过程，Probab。理论关联。菲尔德，127，89-152（2003）·Zbl 1032.60047号 [113] Barles，G。；Chasseigne，E。；乔治林，C。；Jakobsen，E.R.，《关于半空间中非局部方程组的Neumann型问题》，Trans。美国数学。Soc.，366，4873-4917（2014）·Zbl 1323.35192号 [114] 黄，Y。；Oberman，A.，分数Laplacian的数值方法：有限差分求积方法，SIAM J.Numer。分析。，52, 6, 3056-3084 (2014) ·Zbl 1316.65071号 [115] 李，C。；Chen，A.，分数阶偏微分方程的数值方法，国际计算杂志。数学。，95, 6-7, 1048-1099 (2018) ·Zbl 1513.65291号 [116] Ding，Z.，Lipschitz域上Sobolev空间迹定理的证明，Proc。美国数学。《社会学杂志》，124，2591-600（1996）·Zbl 0841.46021号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。