亚瑟·杰菲（编辑）;卡尔·赫尔曼·奈布（编辑）;盖斯特·奥拉夫松（编辑）;本杰明·施莱因（编辑） 积极反思。2017年11月26日至12月2日举行的研讨会摘要。 （英语） Zbl 1409.00095号 Oberwolfach代表。 14，第4期，3263-3343（2017）. 小结：研讨会的主题是反射积极性及其在数学和物理各个领域的出现，如表示论、量子场论、非交换几何、动力系统、分析和统计力学。因此，该项目本质上是跨学科的，包括涵盖积极反思不同方面的会谈。 引用于1文件 MSC公司： 00亿05 讲座摘要集 00B25型 杂项特定利益的会议记录 17B10号机组 李代数和李超代数的表示，代数理论（权重） 第22页，共65页 无穷维李群及其李代数的一般性质 22E70型 李群在科学中的应用；显式表示 81T08号 构造量子场论 22-06 与拓扑群有关的论文集、会议集、合集等 17-06 关于非结合环和代数的会议记录、会议记录、集合等 软件：GMRF库 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Jaffe}（编辑）等人，Oberwolfach Rep.14，No.4，3263-3343（2017；Zbl 1409.00095） 全文： 内政部 参考文献： [1] Marek Biskup，晶格自旋模型中的反射正性和相变，https://arxiv.org/abs/math-ph/0610025arXiv:math（数学）-ph/0610025，In:当代数理统计物理方法，R.Kotecky（编辑），https://doi.org/10.1007网址/978-3-540-92796-9{数学讲义}，1970（2009），1-86，施普林格-柏林-海德堡·Zbl 1180.82041号 [2] Stefano Chesi、Arthur Jaffe、Daniel Loss和Fabio L.Pedrocchi，《漩涡环和马略那纳斯》，http://dx.doi.org/10.1063/1.4829273{数学与物理杂志}54（2013），112203·Zbl 1288.81069号 [3] Roland Dobrushin和Robert 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Neumann代数的通路包括该集合的弱极限点。这些极限点包括局部代数的元素，但这些元素的已知性要少得多。我们的任务是获得关于这些局部观测点结构的更多信息。为此，我们根据系数函数族fm，n[a]在以下级数展开[9]中刻画了局部观测值：X∞dmθθθ）dnηη（1）a=fm，n[a]（θθ的θ，ηθη）z†（θ1）··z†！不！其中z†，z是“相互作用”的创造者和零化子，实现了CCR关系的变形版本，其中涉及散射函数。由于这种展开形式，局部观测值被定义为适当类中的二次型。我们表示Hω，f满足条件ω（H/µ）Ψk<∞的有限粒子数态Ψ的稠密空间，其中H是哈密顿量，µ>0是质量，ω：[0，∞）→[0，无穷）是一个具有[10，定义2.1]性质的函数。在（1）中，A是Hω，f×Hω的二次型，f使得对于任何k∈N0，kQkAe-ω（H/µ）Qkk+kQke-ω（H/µ）AQkk<∞，其中Qkis是投影到k个或更少粒子的空间上。我们用Qω表示这类二次型。为了根据A在时空中的局部化来表征系数fm，n[A]，我们需要一个适用于类Qω中的二次形式的局部性概念：我们说A∈Qω在双锥Ox中是ω-局部的，y： =Wx∈Wy′（其中Wx表示边缘在x处的右楔，Wy′表示边缘在y处的左楔，x位于y的左侧）当且仅当[A，（f）]=[A，б′（g）]=0，对于所有f∈Dω（Wy′）和所有g∈DΩ（Wx），作为Qω中的关系。这里，，′分别是左楔形场和右楔形场，Dω（Wx）是紧支撑在Wx中的光滑函数空间，其性质为θ7→eω（coshθ）f±（θ）是有界的，平方可积的（f±分别是傅里叶变换的正频率部分和负频率部分。）ω-局部性的概念弱于C*-代数A（Ox，y）网中通常的局部性概念。这并不意味着A与酉算子Reflection Positivity3283 ei（f）−或元素B∈A（Wx）进行交换：如果A只是一个二次型，则不可能以有意义的方式记下这些交换子。因此，我们澄清ω-局部性如何与通常的局部性相关：命题1。（i） 设A是有界算子；则A是ω-局部inOx，yf对于某些x，y∈R2当且仅当A∈A（Ox，y）。（ii）设A是具有核Hω，f和Hω的闭算子，f⊂dom A*。假设∀g∈DωR（R2）：exp（i（g）−）Hω，f⊂dom A.（*）那么A是ω-局部inOx，yif，并且仅当它与A（Ox，y）关联时。（iii）在S=-1的情况下，即使没有条件（*），语句（ii）也是正确的。这个命题给出了闭算子与局部代数的从属关系的准则，但在示例中，二次型a的可闭性很难用展开式（1）中的系数来刻画。此外，关于闭算子的域知之甚少。因此，我们寻找允许应用命题1的充分（但不是必要）条件。我们将把（1）理解为某个域上的绝对收敛和，使用系数fm[a]范数的可和性条件。以下命题为a作为算子的可闭性提供了充分的判据：命题2。设A∈Qω。假设对于每个固定n，X∞2m/2√kfm，n[A]kωm×n+kfn，m[A]kωn×m<∞。m=0米！然后，A扩展到具有核Hω、f和Hω，f⊂dom（A−）*的闭算子A−。因此，为了应用命题1，我们需要满足命题2中的条件，并显示A的ω-局部性。因此，我们根据函数fm，n的性质[A]来公式化ω-局部性条件半径r当且仅当系数fm，Ck（k=m+n）上的亚纯函数（Fk）∞k=0具有特定的极点结构，它是S对称的S周期的，并且根据ω和r在实方向和虚方向上满足一定的界，并且满足递归关系1 Yn-Yk-resζn-ζm=iπFk（ζ）=-S（ζj−ζm）1−S（ζm-ζp）Fk-2（ζζ）。2πij=mp=1现在的问题是通过命题2找到满足上述ω-局部性和可闭性条件的函数（Fk）∞k=0的例子。在S=−1（伊辛模型）的情况下，这是可能的，我们的目标是构建足够大的可观测集合，以便它们具有Reeh-Schlieder特性。3284Oberwolfach报告55/2017为此，设k≥0，设g∈D（Or），其中一些r＞0，并且设P是2k个变量的对称洛朗多项式。对于j6=2k，我们定义了解析函数XYk（2）F2k[2k，P，g]（ζζξ）：=g0.另一个涉及奇数j的Fj的例子是非终止序列（3）F2j+1[1，P，g]（ζζζ）：=1g（P（ζξζ））PíY（2πi）k2j+1（eζζ子）tanhζУ−ζ2r，1≤ryl<r≤2j+1，其中g∈Dω（Or），P=（P2j+1）∞j=0是2j+1变量中的对称Laurent多项式，使得P2j+1（P，−P，q）=P2j+1 j−1（q）。我们设置F2j[1，P，g]=0。同样对于这些Fj，上述性质对于r和ω（p）=pα以及α∈（0，1）成立。因此，在这两个例子中，（1）给出的相关二次型A在双锥中是ω-局部的。此外，函数族满足命题2的条件，这意味着A扩展到与局部代数A（Or）关联的闭算子。当序列终止时，对于（Fj[2k，P，g]）∞j=0，这实际上是微不足道的；但对于（Fj[1，P，g]）∞j=0，它涉及一系列奇异积分算子的仔细范数估计，因为人们精确地关注双曲正切极点处函数的边界值。此外，通过选择不同的多项式P，我们可以生成一组具有Reeh-Schlieder性质的大的观测值。工具书类 [54] R.F.Streater和A.S.Wightman，《PCT，旋转与统计，以及所有这一切》，本杰明（1964）·兹伯利0135.44305 [55] R.Haag，{局部量子物理-场，粒子，代数}，Springer（1996）·Zbl 0857.46057号 [56] F.A.Smirnov，{量子场论完全可积模型中的形式因子}，《世界科学》（1992）·Zbl 0788.46077号 [57] H.M.Babujian和M.Karowski，《朝向可积量子场论的Wightman函数的构造》，国际期刊Mod。物理学。A 19（2004），34-49·Zbl 1080.81036号 [58] B.Schroer，{模块化本地化和bootstrap-formfactor程序}，Nucl。物理学。B499（1997），547-568·Zbl 0935.81042号 [59] G.Lechner，{用因子分解S-矩阵构造量子场论}，Commun。数学。物理学。277(3), 821-860 (2008). ·Zbl 1163.81010号 [60] S.Alazawi和G.Lechner，可积量子场论中的逆散射和局部可观测代数，Commun。数学。物理学。354(3), 913-956 (2017). ·Zbl 1377.81223号 [61] D.Cadamuro和Y.Tanimoto，{束缚态可积模型中的楔形局部场}，Commun。数学。物理学。340(2), 661-697 (2015). ·Zbl 1346.81115号 [62] D.Cadamuro和H.Bostelmann，{it可积量子场的算符展开-}{理论}，《物理学杂志A：数学与理论》46（9），095401（2013）·Zbl 1269.81160号 [63] D.Cadamuro和H.Bostelmann，可积量子场论中局部观测值的刻画，公社。数学。物理学。337(3), 1199-1240 (2015). 反射正值3285二次哈密顿量及其重正化Jan Derezi´nski量子玻色二次哈密顿量或玻色波哥留波夫哈密尔顿量是通过形式iˆaj+gija \710,*iᮼa*j+1X¨g（1）22ija iaj+c的表达式形式正式给出的，其中h=[hij]是厄米特矩阵，g=[gij]是对称矩阵，c是一个任意实数（可能是无限的！），而ˆa∗i，ᮼajare是通常的波色子创建/湮灭操作符。它们通常用于量子场论，以描述与给定外部经典场相互作用的自由理论[7,3]。从下方有界的Bogoliubov哈密顿量特别有用。它们的下确界E:=infõH在物理上通常很有趣。Bogoliubov Hamiltonians有着惊人丰富的数学理论[1,2,6,8,4]。在无限维中，这个理论有时涉及有趣的病理学。例如，ˆH通常定义不明确，但可以定义其“下确界”E。在某些情况下，需要执行无限重正化才能定义ᮼH，或至少计算E。这对于受相对论量子场论激励的Bogoliubov哈密顿量来说是典型的[3]。最常见的选择可能是c=0，对应于正常（Wick）有序哈密顿量。它将被表示为ˆHn。选择c=12Pihii，我们称之为Weyl Bogoliubov哈密顿量，并表示ˆHw，也有其优点。然而，在某些情况下，我们需要考虑其他量子化，其中常数c可能是无限的，并且可以被视为重整化反项。一种特殊的可能性，我们称之为二阶重整化量子化并表示Hˆ2ren，在1+3维量子场论中起着重要作用。在费曼图的语言中，H2ren对应于丢弃2阶或更少的循环。我们将使用以下符号表示我们讨论的三个主要Bogoliubov哈密顿量的下确界：（2）Ew:=infˆHw，En:=inf-Hn，E2ren:=infH2ren。物理学家经常计算真空能量，而不必担心相应的量子哈密顿量是否被定义为自伴随算符。根据这一原理，我们可以在比相应哈密顿量存在的条件更一般的条件下考虑Enor E2ren。韦尔·哈密顿量是最自然的。实际上，它是不变量wrt辛变换。不幸的是，它常常定义不清。正常有序哈密顿量ˆHnis自然定义为福克表示。3286Oberwolfach报告55/2017作为第一个例子，考虑中性质量标量量子场ˆ（x）。它的共轭场用通常的等时交换关系表示为ˆπ（x） [64] Berezin E.A.：《二次量化方法》，学术出版社（1966年）·Zbl 0151.44001号 [65] Bruneau，L.和Derezi´nski，J.：Bogoliubov哈密顿量和Bogoliupov变换的单参数群，J.Math。物理。，48, 022101 (2007). ·Zbl 1121.81069号 [66] Derezi´nski，J.：经典扰动的量子场，Journ。数学。物理学。55, 075201 (2014). ·Zbl 1294.81079号 [67] Derezi´nski，J.：玻色二次哈密顿量，J.数学。物理学。58, 121101 (2017) ·1380.81500兹罗提 [68] Derezi´nski，J.，Duch，P.，Napi´orkowski，M.：准备中量子场与经典扰动相互作用的重整化 [69] Derezi´nski，J.和G´erard，C.：量子化和量子场的数学，剑桥数学物理专著，剑桥大学出版社（2013）·Zbl 1271.81004号 [70] Itzykson，C.和Zuber，J.-B:量子场论，McGraw-Hill（1980）·Zbl 0453.05035号 [71] Ruijsenaars S.N.M.，《关于Bogoliubov变换II》。一般情况。，安·物理。116, 105-134 (1978). 3288Oberwolfach报告55/2017 Ward恒等式作为研究泛函积分的工具。Margherita Disertori（与T.Spencer、M.Zirnbauer联合工作）在场论背景下，Ward恒等式是由模型的内部对称性生成的函数恒等式。它们通常表现为费曼图之间的关系，从而简化了微扰展开，在某些情况下甚至可以闭合Schwinger-Dyson方程。然而，这种应用要求通过自由（二次）作用的小扰动来描述模型。一个自然的问题是对称生成恒等式是否也有助于研究标准重整化群技术不适用的模型。在此背景下，我们与M.Zirnbauer和T.Spencer[2]合作，将[1]中引入的所谓H2|2超对称非线性sigma模型视为量子扩散的玩具模型。它也是构建和研究具有记忆的某些随机过程的关键要素（参见[4][5][6]）。对于这个模型，我们构造了一个多尺度过程，其关键成分是由超对称性生成的Ward恒等式的无限族。我们希望类似的策略可以扩展到具有和不具有超对称性的其他模型。工具书类 [72] M.R.Zirnbauer先生。常曲率双曲超流形的傅里叶分析。《公共数学物理》，141:503-5221991年·Zbl 0746.58014号 [73] M.Disertori、T.Spencer和M.R.Zirnbauer。三维超对称双曲σ模型中的准扩散。{\it公共数学物理}，300（2）：435-4862010·2018年3月12日 [74] M.Disertori，T.Spencer。超对称sigma模型的Anderson局部化。{it Comm.}{it数学物理}，300:659-6712010·Zbl 1203.82017年 [75] C.Sabot和P.Tarr'es。边缘增强随机游动、顶点增强跳跃过程和超对称双曲σ模型。｛\it JEMS｝，17（9）：2353-23782015·Zbl 1331.60185号 [76] M.Disertori、C.Sabot和P.Tarr'es。边缘增强随机行走的过渡。数学物理，339（1）：121-1482015·Zbl 1329.60116号 [77] M.Disertori、F.Merkl和S.W.W.Rolles。与顶点加强跳跃过程有关的鞅的超对称方法。{\it ALEA}，2017年14:529-555。对称R空间、反射正性和Berezin形式Jan Frahm。主要的新结果是对Berezin形式对于哪些参数是半正定的问题的完整回答，或者换句话说，对于哪些参数反射正条件成立。反射积极性3289 1。对称R-空间大致来说，对称R-是一个紧对称空间K/L，它同时也是一个较大的非紧半单群G的齐次空间。典型的例子是由Rp+q的所有p-维R-线性子空间组成的Grassmannians X=Grp（Rp+q），其中p，q≥1。群G=SL（p+q，R）通过G·b=gb对X起传递作用。固定基点b0=Re1+··+Repwe可以识别X≃G/P，其中P是G的最大抛物子群b0的稳定器。由于最大紧子群K=SO（P+q）⊆G已经在X上起传递作用，我们进一步得到了X≅K/L，L=PK=S（O（P）×O（q））），它将X表示为紧对称空间。为了简单起见，在本注释的其余部分，我们将重点关注示例X=Grn（R2n），即p=q=n，并请感兴趣的读者参考[5]了解一般陈述。2.Berezin形式对于λ∈C，我们通过πλ（G）f（b）=j（G−1，b）-λ+n2f（G−的1b），G∈G，b∈X定义了G在E=C∞（X）上的表示π∧，其中j（G，b）=det（prb◦gtg◦ib），ib:b→R2n自然嵌入，prb:R2n։b是相对于R2n上标准内积的正交投影。选择这种归一化，使得πλ扩展到酉主级数L2（X）上的一个不可约酉表示，当且仅当λ∈iR。对于λ≠R，ZZ hf1给出的E上有一个πλ子（G）不变Hermitian形式，f2iλ=| Cos（b1，b2）|λ−nf1（b1）f2（b2）db1db2，XX，其中b∈X是b∈X的正交补，对于包含原点的体积1的任何凸子集Eb1⊆b1，核函数为Cos（b1，b2）=Vol（prb2（Eb1））（参见示例[7]）。我们注意到，这个形式亚纯依赖于λ，并且必须在积分核的所有简单极点处正则化。形式h·，·iλ（或其正则化）是正定的当且仅当λ∈（−1，1）。G的相应不可约酉表示称为互补级数表示。现在考虑由τ（G）=In，ng-⊤In，n给出的G的对合自同构τ，其中In，n=diag（In，−In）。它的不动点群由H=Gτ=SO（n，n）给出，李代数G作为G=H+q分解为τ的±1特征空间。由gc=su（n，n）给出gCis的实数形式gc=h+iq。在表示空间E上，我们还有一个对合τ∗：E→E，τ*f（b）=f（In，nbñ），它与τ兼容，即πλ（τ（g））=τ*°πλ（g）°τ*。3290Oberwolfach报告55/2017因此，将πλ（G）-不变埃尔米特形式H·，·iλ乘以τ*，得到πλ（H）和πλ（gc）-不变埃尔米特形式ZZ hf1，f2iτ，λ：=hf1，τ*f2iλ=|Cos（b1，In，nb2）|λ−nf1（b1）f2（b2）db1db2，XX，这被称为Berezin形式，之前在[1，2，3]中进行了研究。3.反射正性由于Berezin形式是H-和gc-不变的，对于任何开放的H-轨道O⊆X，我们可以将其限制为E+=Cc∞（O），并在E+上获得H-和gc-不变的Hermitian形式。我们问以下自然的问题：问题。对于X中的哪个开放H轨道O，对于哪个参数λ∈R是Berezin形式H·，·iτ，λ在E+=Cc∞（O）上的半正定？Berezin形式的正性就是对合τ*相对于子空间E+的反射正性。在这种情况下，我们希望李代数表示πλcofgconE+产生关于Berezin formh·，·iτ，λ的E+的Hilbert空间完备的1-连通群Gcwith李代数gcon的酉表示。X中的开H轨道由Oj={b∈X:ω|b×bhas签名（n−j，j）}（0≤j≤n）给出。每个开放H轨道都是一个对称空间，更精确的是Oj≃SO（n，n）/S（O（n−j，j）×O（j，n−j））。特别地，每个Oj都有一个H不变的伪黎曼度量，它是黎曼度量当且仅当j=0或j=n。定理（参见[5]）。Berezin形式h·，·iτ，λ对E+=Cc∞（Oj）（0≤j≤n）的限制是正半定的当且仅当j∈{0，n}和λ∈（−∞，1）∧{1，2，…，n}.或当j∈）{1，…，n−1}和∧=n。第一种情况导致群Gc=fSU（n，n）的（标量型）酉最大权表示。Enright[4]和Schrader[8]首先在特殊情况下观察到这一点，随后由Jörgensen–´Olafsson[6]推广。在第二种情况下，Berezin核是平凡的，Gc=SU（n，n）的相应酉表示πcλ是平凡表示。工具书类 [78] F.A.Berezin：复杂对称空间中的量子化。{Izv.Akad.Nauk SSSR Ser.Mat.}39（1975），编号2，363-402，472·Zbl 0312.53050号 [79] G.van Dijk和S.C.Hille：最大退化表示、Berezin核和规范表示。收录于：Komrakov，B.，Krasil's shchik，J.，Litvinov，G.，Sosinky，A.（eds.）{李群和李代数，它们的表示，推广和应用。}多德雷赫特：Kluwer学术，1997，第1-15页·Zbl 0895.2208号 [80] G.van Dijk和V.F.Molchanov：秩为1的准赫米特对称空间的Berezin形式。{it J.Math.Pures Appl.}77（1998），第8期，747-799·Zbl 0919.43007号 [81] T.J.Enright，《半单李代数两种实形式的幺正表示：比较理论》，{李群表示，I（马里兰州帕克学院，1982/1983）}，LNM 1024，Springer 1983，第1-29页。反射积极性3291·Zbl 0531.22012号 [82] J.Frahm，G.´Olafsson和B.Ørsted，{it-对称}R{it-空间和re-}{it-反射正性}上的Berezin形式，出现在第50届Sophus Lie in Bedlewo研讨会的会议记录中，巴纳赫中心出版·Zbl 1395.22005年 [83] P.E.T.Jörgensen和G.´Olafsson，具有反射的李群的酉表示}{对称}，J.Funct。分析。158（1998），第1期，第26-88页·Zbl 2012年11月9日 [84] G.´Olafsson和A.Pasquale，{it-Cosλ{it和}-Sinλ{it-变换为}SL（n+1，K）的广义主级数表示之间的交织算子}{it，Adv.Math。229（2012），第1期，267-293·Zbl 1244.22007年 [85] R.Schrader，{关于}SL（2n，C）补级数的反射正性，Publ。Res.Inst.数学。科学。22 (1986), 119-141. 反演正性和Hardy-Littlewood-Sobolev不等式Rupert L.Frank（与Elliott H.Lieb联合工作）对于0<λ<N和RNwe上的函数f和g，缩写为Z Zf（x）g（y）Iλ[f，g]：=dx dy。RN×RN|x−y|λ根据Hardy-Littlewood-Sobolev（HLS）不等式，存在一个常数HN，λ，使得对于所有f，g∈Lp（RN），p=2N/（2N−λ），（1）Iλ[f，g]≤HN，∧kfkpkgkp。在[7]中，Lieb计算了（1）中的尖锐（即可能最小的）常数HN，λ，并描述了等式的情况。[1]中给出了另一种证明。确切的说法是定理1。设0<λ<N且p=2N/（2N−λ）。然后（1）与1-λ/NΓ（（N−λ）/2）Γ（N）Γ。等式成立的当且仅当−（2N−λ）/2−（2 N−∧）/2 f（x）=αβ+| x−γ|2和g（x）=a′β+| x−γ| 2，对于某些α，α′∈C，β>0和γ∈RN。我们的目标是在附加假设N−2≤λ<N，如果N≥3的情况下，勾勒出定理1的证明[2]。与文献[7]和[1]中依赖于Schwarz对称化技术的证明相比，文献[2]中的证明依赖于反射正性。我们还参考了[3]，了解[2]中思想的变化以及我们方法对所谓对数HLS不等式的扩展。[5]中给出了定理1的另一个无重排证明，这次在整个范围0<λ<N内。工作[5]的动机是我们证明了海森堡群[4]上的尖锐HLS不等式，在这种情况下，人们无法期望重排技术起作用。希望3292Oberwolfach报告55/2017[2,3,4,5]中的方法将适用于重排技术无法有效使用的其他情况。不等式（1）在平移和扩张下是明显不变的。不太明显的是，它在整个共形群下是不变的[7,1]。这一事实将在我们的证明中发挥关键作用。积极反思。设B={x∈RN:|x−a|<r}，a∈RN，r>0，是一个球，并用r2（x−a）|x-a|2+a表示通过B边界的点x的倒置。根据r2N−λ（∈Bf）（x）：=f（∈B（x）），将RN上的映射提升为作用于RN上函数f的算子|x−a|我们很容易发现，p=2N/（2N−λ）Iλ[f]=Iλ[∈Bf]和kfkp=k∈Bf kp，其中我们缩写为Iλ【f】：=Iλ（f，f）。类似地，设H={x∈RN:x·e>t}，e∈SN-1，t∈R是一个半空间，用θH（x）：=x+2（t−x·e）表示点x在H边界上的反射。相应的算子由（θHf）（x）:=f（θH。我们证明定理1的第一个要素是以下定理2（反射和反演正性）。如果N=1，2，N−2≤λ<N，如果N≥3，则设0<λ<N，且B⊂RN为球或半空间。如果f∈L2N/（2N-λ）（RN）和（（fi（x）：=f（x）如果x∈B，fo（xB，f（x）如果x∈RNB，则1 Iλ[fi]+Iλ[fo]≥Iλ【f】。2如果λ>N−2，则不等式是严格的，除非f=θBf。对于半空间和λ=N−2，这个定理是众所周知的。Lopes和Mariâs[8]显然首先证明了N−2<λ<N的半空间情况。球的情况似乎对所有λ来说都是新的。我们最初的证明[3]由E.Carlen简化，我们很感激他使用保角不变性[2]。反射正性3293 Li-Zhu引理。定理1证明的第二个要素是优化函数αβ+|x−γ|2−（2N−λ）/2的几何特征，推广了Li和Zhu的结果[6]。定理3（反演不变测度的表征）。设µ是RN上的有限非负测度。假设（a）对于任何a∈RN，都有一个以a为中心的开球B，对于任何Borel集a⊂RN都有µ（θ-1B（a））=µ。那么µ对于Lebesgue测度是绝对连续的，对于某些α≥0、β>0和y∈RN，−N dµ（x）=αβ+| x−y |2dx。对于绝对连续测度，dµ=v dx假设（A，|x−a || x−a|2和类似的反射。最后，让我们从定理2和定理3推导出定理1。我们利用了定理R1中不等式有一个优化器f这一事实。给定aR∈RN，我们将定理2应用于以B | f | pdx=（1/2）RN | f | pdx为中心的球B（或者，给定eR∈SN−1R应用于具有内部单位法向e的半空间H，使得H | f |钯x=（1/2）RN |f | pdx）。我们推断fiand和foare都是优化器。此外，如果λ>N−2，则定理2中的严格性语句意味着f=∈Bf。对于λ=N−2，同样的结论成立，但在这种情况下，我们需要基于唯一延拓的额外论证。因此，我们得到，在任何情况下，定理3中的假设（A）对于测度dµ=|f|pdx都是满足的。我们从这个定理得出结论，f具有所要求的形式。参考文献 [86] E.A.Carlen，M.Loss，{竞争对称泛函的极值}。J.功能。分析。88（1990），第2期，437-456·Zbl 0705.46016号 [87] R.L.Frank，E.H.Lieb，《倒置积极性》和《Hardy-Littlewood-Sobolev in-}》。计算变量偏微分方程39（2010），编号1-2，85-99·Zbl 1204.39024号 [88] R.L.Frank，E.H.Lieb，{球面反射正性和Hardy-Littlewood-Sobolev}{不等式}。In：《浓度、函数不等式和等周测量》，C.Houdr´e等人（编辑），Contemp。数学。阿默尔545号。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，2011年·Zbl 1378.39013号 [89] R.L.Frank，E.H.Lieb，{海森堡群上几个不等式中的夏普常数}。数学年鉴。176（2012），第1期，349-381。3294Oberwolfach报告55/2017·Zbl 1252.42023号 [90] R.L.Frank，E.H.Lieb，{它是Hardy-Littlewood-}{它Sobolev不等式}的一个新的无重排证明。收录于：谱理论，函数空间和不等式，B.M.Brown等人（编辑），55-67，Oper。理论高级应用。219，Birkh¨auser，巴塞尔，2012年·Zbl 1297.39023号 [91] 李玉云，朱明珠，{通过移动球方法得到的唯一性定理}。杜克大学数学。J.80（1995），第2833-417号·Zbl 0846.35050号 [92] E.H.Lieb，《Hardy-Littlewood-Sobolev中的夏普常数和相关不等式》。数学年鉴。（2） 118（1983），第2期，349-374·Zbl 0527.42011号 [93] O.Lopes，M.Mariós，{一些非局部变分问题的极小值对称性}。J.功能。分析。254（2008），编号2535-592。RP、PCT、KMS等J¨urg Fr¨ohlich（与L.Birke、K.Osterwalder、E.Seiler和其他人共同工作）致力于纪念R.Haag、R.Jost和R.Schrader在我的讲座中，我简要概述了与“Osterwarder-Schrader正性”或“反射正性”（RP）有关的一般量子统计力学的结果，对于所谓“温度阶格林函数”的“KMS条件”，我讨论了这些结果对相对论量子场论和表象理论的一些影响。我的演讲最初是在2004年准备的，但在2017年11月的Oberwolfach会议上首次发表。以下是我的研究和在Oberwolfach上的演讲所依据的早期结果，参考书目中列出了一些相关论文。时间不允许讨论反射积极性在统计力学的具体模型中的一些相当壮观的应用，特别是在某些经典和量子晶格系统以及晶格规范理论中的相变和自发对称破缺理论；但请参阅[21]及其参考文献。A.关于反思积极性早期历史和KMS条件的评论：反思积极性的第一颗种子可以在书中找到[3]。随后，K.Osterwalder和R.Schrader在其著名著作[10]中明确提出并用于从欧几里德（成像时间）格林函数重建局部量子场的（实时）真空期望值。受他们建议的启发，相关结果出现在[11]中。KMS条件的第一个阴影和“模共轭”的一个例子，即局部相对论量子场论的反幺正PCT对称操作，出现在Jost著名论文[1]中Wightman公理框架内的PCT定理证明的背景下。KMS条件是在[2]中明确提出的。Haag、Hugenholtz和Winnink的开创性工作[4]将此条件理解为量子统计力学中热平衡态的一般特征，以及由此产生的非常有趣的数学结果。[5]中介绍了热格林函数的分析，特别是其在时间变量中的分析性质。关于热格林函数的分析性质的结果量子统计力学具体系统的反射正值3295（用“约化密度矩阵”描述的稀释量子气体）在[8]中概述。[4]中的发现显然在深度发现的起源中发挥了作用，因为Tomita导致了冯·诺依曼代数的模理论，其细节在[7]中进行了描述；（另请参阅此处提供的参考资料）。B.与RP和KMS条件相关的最新发展：正温度下简单量子场模型热平衡态的“温度有序”（成像时间）格林函数的Osterwalder-Schrader重建定理的Cousins出现在[12,13]中。1977年，我在普林斯顿大学讲授的平衡统计力学课程中，尝试从想象时间、温度阶格林函数出发，推导并证明实时热格林函数的一般重建定理。尽管在我的课程中没有理顺各种技术细节，但它确实导致了[15]中发表的关于局部稠密定义的对称半群的自伴扩展的相当重要的结果。爱德华·纳尔逊（Edward Nelson）慷慨地提出了我证明这一结果时用到的一个关键思想。随后在[16]中证明了相关结果。Arthur Jaffe在Oberwolfach会议上向我指出，几乎十年前，A.E.Nussbaum在[6]中证明了对称半群的自伴扩张的一个更早（似乎稍弱）的结果！第一个一般重构定理（在随机过程的背景下）出现在[17]中。关于从温度阶格林函数重建实时热格林函数的一个非常普遍的定理出现在[20]中（其起源与[17]无关）。这些结果令人感兴趣的原因是，在量子多体系统的许多例子中，温度阶格林函数比实时格林函数更容易构造。在[18]中，反射正性、KMS条件和上述半群定理首次应用于李群表示理论中的问题：“对称空间的虚表示及其解析延拓”。本文提出了“虚拟表示”的概念。这一研究路线引起了许多数学家的注意，包括P.E.T.Jorgensen、K.-H.Neeb、G.Olafsson及其追随者，他们在群表示理论领域工作。Jan Frahm在Oberwolfach会议上描述了新的结果，我请读者参考他的笔记。从[18]开始的工作中，人们对局部量子理论的构造有了非常普遍的理解，即从广义的“想象时间格林泛函”中获得无限多个自由度。[18,20]对其进行了详细描述。除其他结果外，这项工作还为著名的PCT定理和自旋与统计之间的联系提供了非常简单的证明（这些都是我在讲座中草拟的）。PCT定理表明，空间反射（P）、电荷共轭（C）和时间反转（T）的乘积是每个局部相对论量子场论在偶维时空上的对称性；这意味着，每种粒子都对应着一种具有相同质量和相同量子数的反粒子，但3296Oberwolfach报告55/2017的电荷相反。自旋统计定理表示，半整数自旋的局部量子场位于时空反交换中的类空分离点（费米-迪拉克统计），而整数自旋的局域量子场位于类空分离点通换（玻色-爱因斯坦统计），这意味着人们称之为“爱因斯坦因果关系”。[20]中描述的这些结果的证明在一定程度上受到了Bisonano和Wichmann[14]关于局域相对论量子场论真空态所满足的KMS条件的结果的启发；（结果反过来，继续了[1,4]中启动的思维过程）。反射正性的一种变体——与Hecke代数上的Markov迹以及“平面代数”和相关对象相连——首先出现并用于子因子理论，然后用于张量范畴的一般理论。这项工作由Vaughan Jones[19]发起，目前仍在继续。它对结和链理论、（低维）局域量子场论和量子信息理论具有重要意义。亚瑟·杰菲（Arthur Jaffe）在奥伯沃法赫（Oberwolfach）的演讲中概述了他和他的合作者在这方面进行的一些最新研究。我请读者参阅Jaffe的笔记。1.反射正性在统计力学中的应用：反射正性及其一些后果的一些最引人注目的应用发生在相变和（连续）自发断裂理论中经典和量子系统中的对称性&属于平衡统计力学的理论；见[21]。第一次这样的使用出现在证明存在相变的过程中，由于Glimm、Jaffe和Spencer的原因，在两个时空维度中，λб4-理论中的（б7→−б）对称性自发破缺。他们在[9]中使用了一个更强大的估计版本，这是他们直接从反射积极性（Reflection Positivity）中得出的，以鲁道夫·佩埃尔斯爵士（Sir Rudolf Peierls）首次发现的二维伊辛模型为例的方法为模式进行所谓的佩埃尔斯论证，该模型证明了相变的存在。在Simon、Spencer和我的工作中，发现了一种新的方法来展示磁体晶格模型和在三个或更多（时空）维度上具有连续对称性的λ||4理论中的相变。它从局部相对论量子场论中两个场的真空期望值的所谓K¨allen-Lehmann表示中得到了启发。这种表示的一种变体，称为“红外边界”，可以使用反射积极性建立。红外边界从此得到了广泛的应用。在[21]中可以找到许多有趣的结果。我在Oberwolfach的演讲文件和我在维也纳的演讲文件[21]，IV.可根据要求提供。1在过去，我在托马斯·科勒、英戈·伦克尔和克里斯托夫·施魏格特领导的合作中，为编织张量范畴理论及其在量子场论超选择扇区理论中的应用贡献了各种结果。反思积极性3297致谢：我感谢Arthur Jaffe进行了有益的讨论，并提请我注意a.E.Nussbaum[6]关于与我的结果相关的对称半群的自伴扩张的一篇论文（见[15]），但这篇论文比我的结果早了几年。我感谢我们的同事约阿希姆·希尔格特（Joachim Hilgert）和卡尔·赫尔曼·内布（Karl-Hermann Neeb）对我的研究结果所表现出的令人鼓舞的兴趣，感谢克里斯蒂安·格拉德（Christian G´erard）、罗伯托·隆戈（Roberto Longo）和雅各布·扬格森（Jakob Yngvason）所作的有益评论。工具书类 [94] R.Jost，{it Eine Bemerkung zum CTP定理}，Helv。物理学。Acta 30（1957），409-416·Zbl 0085.43305号 [95] R.Kubo和J.Phys。Soc.Japan 12（1957），570-586 P.C.Martin，J.Schwinger，《多粒子系统理论》1}，Phys。第115版（1959年），1342-1373·Zbl 0091.22906号 [96] R.Jost，{量子化场的一般理论}，AMS出版社。，普罗维登斯，RI，1965·Zbl 0127.19105号 [97] R.Haag，N.Hugenholtz，M.Winnink，《论量子统计中的平衡态》，Commun。数学。物理学。5 (1967), 215-236 ·Zbl 0171.47102号 [98] H.Araki，满足KMS的量子统计态的多重时间分析，Publ。RIMS，京都大学，系列A，4（1968），361-371·Zbl 0195.28701号 [99] A.E.Nussbaum，Hilbert空间中某些单参数对称算子族的谱表示，AMS学报，152（1970），419-429·兹比尔0208.16003 [100] M.Takesaki，{it Tomita的模Hilbert代数理论及其应用}，数学课堂讲稿128，Springer-Verlag，Berlin&Heidelberg，1970年O.Bratteli，D.W.Robinson，{it算子代数与量子统计力学2]，物理学文本与专著，Springer-Verlag-Berlin和Heidelbeg，1981年（1997年第2版） ·Zbl 0193.42502号 [101] D.Ruelle，{稀释量子气体格林函数的分析性}，J.Math。物理学。12 (1971), 901-903; ｛\it稀释费米气体格林函数的定义｝，Helv。物理学。Acta 45（1972），215-219 [102] J.Fr¨ohlich，{it Schwinger函数及其生成函数，I}，Helv。物理学。Acta 47（1974），265-306·Zbl 0345.46057号 [103] 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3298Oberwolfach报告55/2017·兹比尔1027.82026 [114] I.J.Glimm，A.Jaffe，T.Spencer，}42{量子场}的相变，Commun。数学。物理学。45（1975），203-216 II。J.Fr¨ohlich，B.Simon，T.Spencer，《红外界限，相变和连续性》，《对称破缺》，Commun。数学。物理学。50（1976），79-85 III.C.Borgs，E.Seiler，《非Zero温度下的晶格杨氏理论和约束问题》，Commun。数学。物理学。91（1983），329-380 IV.J.Fr¨ohlich，{\it相变和连续对称破缺}，演讲，维也纳，2011年8月J.Fr¨owlich，苏黎世联邦理工学院，2017年12月10日，电子邮件：juerg@phys.ethz.ch具有竞争相互作用的伊辛模型中的周期条纹基态Alessandro Giuliani（与J.Lebowitz、E.Lieb、R.Seiringer联合工作）在这篇演讲中，我将回顾过去几年中获得的一些关于具有竞争相互作用的二维和三维自旋系统中周期极小子存在性的选定结果。我们考虑的模型是一个d维的伊辛模型（最有趣的情况是d=2和d=3），具有短程铁磁和长程幂律衰减反铁磁相互作用。描述系统能量的哈密顿量是XX（σxσy−1）|x−y|p，hx，yi{x，y}:x6=y，其中J>0是铁磁和反铁磁相互作用强度的比值，p>d是长程相互作用的衰减指数。第一个和覆盖离散环面TdL:=Zd/LZd中的最近邻位对，而第二个和覆盖TdL中的不同位对。自旋σx，x∈TdL取{±1}中的值，并且两项中出现的常数−1的选择方式使得齐次组态σx≡+1的能量等于零。物理上相关的情况是d=2和p=3，其中情况（1）对嵌入三维空间中的磁性薄膜的低温平衡特性进行建模，其中易磁化轴与垂直于薄膜的轴重合；在这种情况下，长程项模拟局域磁矩之间的偶极相互作用，而短程项模拟铁磁交换相互作用。目标是描述系统基态的结构，对于任何（甚至，足够大的）L∈N。理想情况下，人们还希望描述低温无限体积吉布斯态，但这超出了我们目前的能力。注意，短程相互作用倾向于均匀态，即σx≡+1或σx Select−1，而长程相互作用则倾向于反铁磁“N'eel”态，即∑x=（−1）x1+·+xd或σx=。反射正性3299对能量的长期贡献被N'eel态最小化，这一事实并不明显，[2]中通过反射正性（RP）方法证明了这一点。在这两个项同时存在的情况下，短程铁磁和长程反铁磁相互作用之间的竞争导致系统在正自旋背景下形成负自旋畴，反之亦然。这发生在J值的中间范围内：事实上，如果J足够小，基态与J=0时的基态相同，即为N'eel态[2]；如果J足够大并且p>d+11，基态与J=+∞的基态相同，也就是说，它是齐次态。对于J的中间值，基态以非平凡结构为特征，其典型长度标度从左侧发散为J→Jc（p）；这里，Jc（p）是J的临界值，超过这个临界值，基态是均匀的。它与J值一致，在J值处，无限直畴壁的表面张力消失，将半个负空间与半个正空间分开[5]。预计，对于接近Jc（p）且略小于它的J值，所有基态都是准一维的（即它们在d−1方向上是平移不变的），并且是周期性的，前提是盒子大小L是可以明确计算的“最佳周期”2h*的整数倍。我们将这些预期基态称为“最佳周期条纹态”：它们由自旋的“条纹”（d=2，或“平板”，d=3）组成，所有自旋都具有相同的符号，以交替的方式排列（即，相邻的条纹具有相反的磁化强度），所有自旋的宽度都相同h*。最佳周期条纹态是（1）基态的猜想在[3,4]中通过对标准RP技术的推广得到了首次证明，我们将其命名为“块反射正性”，因为反射是通过将正自旋块与负自旋块分开的键进行的。同样的证明表明，在任何维中，最佳周期条纹态都是所有可能的准一维状态中能量最小的状态。最近，在与R.Seiringer合作的一项工作中，我们成功地证明了这个猜想[6]，对于所有维度d≥1和足够大的衰减指数，即p>2d。该结果最近被推广到连续介质设置和p>d+2[1]。证明基于以下主要步骤：（1）我们将自旋组态的能量重新表示为等效液滴组态的能量。在这里，液滴是负自旋的连接区域，背景是正自旋。如果以液滴表示，能量包括（i）液滴自能的总和，其中包括对表面张力的铁磁贡献，加上每个液滴δ中负自旋与液滴δc=TdL补充中正自旋“海”的长程相互作用δ、 和（ii）液滴对相互作用，这是排斥的。值得注意的是，对于p≤d+1的长1，齐次态是基态，对于J的任何有限值。在这些情况下，包括上述d=2，p=3的情况，刻画J足够大的基态是很有趣的；不幸的是，除了一维情况d=1之外，我们还没有严格的结果来报告这种情况。3300Oberwolfach报告55/2017范围对液滴δ自能的贡献表现为−2Jc（p）|бδ|（为下限），其中|бΔ|是液滴边界的长度（如果d=2，或面积，如果d=3）加上正常数乘以角数，即畴壁弯曲90o的点。在这方面，角落看起来像是系统的基本激励。（2） 我们将液滴能量定位在坏盒中，其特征是局部的“非典型”配置（要么有拐角，要么有过大的均匀磁化区域，称为“孔”），而好区是坏盒组合的连接组件。通过“局部化”，我们在这里的意思是，原始能量是根据局域能量泛函的总和从下方限定的，每个泛函仅取决于局域液滴配置（在坏盒或好区域中支持）。通过构造，良好区域中的配置是准一维的，并且由所有方向相同但不一定所有宽度相同的条纹组成。（3） 我们使用液滴自能的下限来推断，坏盒子中的局域能量远大于同一盒子中最优条带结构的能量。能量差的大小就像坏盒子中包含的角的数量加上洞的体积。我们将此能量差称为与每个坏盒子相关的能量增益。（4） 我们使用切片过程，结合块RP和边界误差的最优控制，在好的区域中导出局部能量的最优下界。这样的下限尺度类似于同一区域中最优条带配置的能量减去边界误差，边界误差非常小，以至于可以通过好区域边界处坏框的能量增益进行过度补偿（请注意，好区域的每个边界部分都与坏框相邻）。我们的结果首次严格证明了具有竞争相互作用的d≥2系统中介观周期结构的形成。它留下了许多重要的问题：（1）将[6]的结果推广到更小的衰变指数。特别地，证明了d=2和p=3的（1）的基态是周期的和条纹的，对于所有足够大的J。（2）证明了在低温下至少存在d个无限体积吉布斯态，它们在d−1坐标方向上是平移不变的。根据尺寸，证明在最后一个坐标方向上存在长程条带序（LRSO）或准LRSO a'la Kosterlitz-Thouless。（3） 将这些结果扩展到连续体设置，以获得旋转不变的有效自由能泛函。特别是，证明了连续对称性破缺的开始，无论是在基态还是在低温吉布斯态。反射积极性3301参考 [115] S.Daneri，E.Runa:{\it局部/非局部交互极小值的精确周期条纹}{\it在一般维中起作用}，arXiv:1702.07334·Zbl 1410.82005年 [116] J.Fr¨ohlich、R.B.Israel、E.H.Lieb和B.Simon:{相变和反射}{正性。II.具有短距离和库仑相互作用的晶格系统}，J.Stat.Phys。22, 297 (1980). 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Tian联合工作）。我们回顾了反射正性（Osterwalder-Schrader正性，O.S.p.），因为它用于物理重正化问题的研究。在具体情况下，这是指反射前后出现的特定希尔伯特空间。我们的重点是对相关谱理论的比较研究，现在指的是这两个希尔伯特空间中的正则算子。我们详细分析了与公理反射正性相关的一些几何和谱理论性质，以及它们的概率对应项；特别是马尔可夫性质的作用。粗略地说：可以用固定希尔伯特空间中的三重投影和反射算子来纯粹地表示OS正性。对于这三个投影，有一个相关的属性，通常称为马尔可夫属性；众所周知，后者意味着前者；也就是说，当给定反射时，Markov属性意味着O.S.-p.，但不是相反。在本文中，我们将证明两个定理，这两个定理充实了两者之间更精确的关系。我们证明了对于每一个OS-正系统（E+，θ），算子E+θE+都有一个正则的泛因式分解。我们的第二个重点是所有可接受反射的结构理论。我们这里的定理是由菲利普斯无界算子的耗散扩张理论驱动的（参见例如，[21]）。“马尔可夫”一词传统上指的是随机游走过程，其中马尔可夫属性又指过去和未来：受过去制约的对未来的期望。相比之下，我们目前的初始定义只参考了三个指定的投影算子和相关反射。最初，甚至没有提到潜在的概率空间。事实上，这只是后来的事。“反射-正电性”的概念首先出现在物理学中的一个重整化问题中：“如何在相对论量子场论（RQFT）中实现可观测性？”这是量子场论大局的一部分；它基于Wightman分布（来自Wightman公理）的某种分析延续（或反映）。在这个解析延拓中，Osterwalder-Schrader（OS）公理导出了欧几里德随机场；和欧几里得协方差。（参见，例如[25,26,5,6,13,8,9]。）对于各自对称群的幺正表示，我们因此也改变了这些群：应用于相对论场的庞加莱群的OS反射产生欧几里德群作为其反射。3308Oberwolfach Report 55/2017 QFT的操作系统方法的起点是一种称为“反射积极性”的积极条件。现在，当它在具体案例中执行时，初始功能空间发生了变化；但更重要的是，产生量子态各自希尔伯特空间的内积也会发生变化。在反射之前，我们可能有一个函数的希尔伯特空间，但在打开时间反射之后，在新的内积中，相应的完成，神奇地变成了一个分布的希尔伯特时空。这里的激励性例子来源于SegalBargmann变换的某个版本。关于背景和应用的更多细节，我们参考了之前的两篇联合论文[15]和[16]，以及[17,18,19,11,12,22，14,10,3]。我们目前的目的是详细分析与反射正性公理相关的一些几何性质，以及它们的概率对应项；特别是马尔可夫性质的作用。粗略地说：可以纯粹用固定希尔伯特空间中的三重投影和反射算子来表示Osterwalder-Schrader正性（O.S.p.）。对于这三个投影，有一个相关的属性，通常称为马尔可夫属性。众所周知，后者意味着前者；也就是说，当给定反射时，Markov属性意味着O.S.-p.，但不是相反。为了方便读者，我们引用了以下关于马尔可夫随机场的引文[23,24,20]。我们首先回顾主题的基本原理。1.马尔可夫性质的一个特征：马尔可夫与O.S.正性在高斯过程的经典情况下，反射对称性和反射正性问题是非常有趣的；参见，例如[7，14，8]，以及[17，18，19]。设H是给定的（固定的）希尔伯特空间；例如，H=L2（Ω，F，P），平方可积随机变量，其中Ω是具有子集F（信息）的σ-代数的集（样本空间），P是（Ω、F）上的给定概率测度。但事实上，这个问题可能是针对任意的希尔伯特空间H而提出的，并且可能是不可分割的。回想一下，θ：H→H是一个反射，如果它满足θ*=θ，并且θ2=IH。定义1.1。给定希尔伯特空间H，设Ref（H）是H中所有反射的集合，即Ref（H）=θ：H→H；θ*=θ，θ2=IH。问题。（1） 给定ε={E±}，R（ε）是什么？（2） 给定θ，E（θ）是什么？定义1.2。假设给定ε=（E0，E±），θ∈R（ε）。（1） 我们说反射正性保持当（Def.）（1）E+θE+≥0，也称为Osterwalder-Schrader正性（O.S.-p）。反射正性3309（2）给定ε，我们说它满足Markov性质if（Def.）（2）E+E0E−=E+E−。（3） 我们设置EOS（θ）={（E0，E±）；E+θE+≥0}。引理1.3。假设（2）成立（马尔可夫性质），且θ∈R（ε），则（3）E+θE+≥0，即O.S.-正条件（1）如下。回忆一下R（ε）和R（λ，U）的定义。引理1.3可以重新表述为：引理1.4。对于所有θ∈R（ε），我们有（4）E（M arkov）∈E（θ）⊆EOS（θ。（见定义1.1和等式（3）。）问题。设ε=（E0，E±），假设E+θE+≥0，对于所有θ∈R（ε），那么E+E0E−=E+E−成立吗？定理1.5。给定一个无限维复希尔伯特空间H，让设置如上所述，即反射、马尔可夫性质和O.S.正性定义如下。然后（5） EOS（θ）=E（M arkov）。θ∈R（ε）备注1.6。如果（E±，E0，U）是马尔可夫，那么（5）与θ，U也成立。（5）中的思想是，当投影系统ε如公式中RHS上的规定固定时，那么在LHS上，我们只在服从于该ε-系统的反射子集θ上相交。类似地，当ε和U都指定时，我们在较小的联合ε，U从属反射θ集上相交。示例1.7（马尔可夫特性）。设H=L2（Ω，F，P），其中•Ω：样本空间；•F：总信息；•F−：来自过去（或内部）的信息；•F+：来自未来（预测）或外部的信息F0：当前信息。设E（·|F0），E（·| F±）是相应的条件期望，Markov性质（2）的形式为E0H=H0，E±H=H±。马尔可夫过程是一个概率系统：（6）E（E（ψ+|F−）|F0）=E（Ψ+|F-−），对于ψ+（由F+调节的随机变量=未来）；或者，如果F0⊆F−，则它简化为：（7）E（ψ+| F−）=E（Ψ+| F0），ψ+∈H+。有关这一点的更多详细信息，请参阅下面的第2节。3310Oberwolfach报告55/2017问题。在自由概率设置中，我们是否有O.S.-正的类比（见（1））？也就是说，在自由概率和非交换随机变量的设置中。2.马尔可夫过程与马尔可夫反射正性在上面，我们考虑了系统H、E0、E±、θ和U，其中H是固定的希尔伯特空间；E0，E±是H中的三个给定投影，θ是反射，U是李群G的幺正表示。该系统的公理如下：（1）θE0=E+；（2） E+θE−=θE–；（3） E-θE+=θE+；（4） O.S.-正性成立，即（8）e+θe+≥0；（5） θUθ=U*，或θU（g）θ=U（g−1）。进一步假设，对于某些亚半群S⊂G，我们有U（S）H+\8834；H+，∀S∈S；或等价地，（9）E+U（s）E+=U（s”E+，s∈s.2.1。概率空间。概率空间是指三元组（Ω，F，P），其中Ω是一个集合（样本空间），F是子集（信息）的σ代数，P是定义在F上的概率测度。（Ω，F）上的可测函数ψ称为随机变量。如果ψ是L2（Ω，F，P）中的随机变量，我们说它具有有限的二阶矩。随机变量的指数族称为随机过程或随机场。设（Ω，F，P）为固定概率空间。如果ψ是（Ω，F，P）上的给定随机变量，则期望值将表示为Z（10）E（ψ）=ψdP，Ω。我们将主要关注L2（Ω，F，P）设置。如果ψ是随机变量（或随机场），则（11）ψ−1（B）⊆F，其中B是R的子集的Borelσ-代数。对于每个子σ-代数学G⊂F来说，存在唯一的条件期望（12）E（·|G）：L2（Ω，F，P）-→L2（Ω，F，P）。事实上，G在L2（Ω，F，P）中定义了一个闭子空间，（12）中的指示函数{χS；S∈G}和E（·|G）的闭跨度将成为该子空间的投影。如果G⊂F如（11）所示，则对于随机变量ψ1∈L2（G，P）和ψ2∈L2（F，P），我们得到E（ψ1ψ2）=E（ψ1E（ψ2|G））。如果ψ1也在L∞（G，P）中，则E（ψ1ψ2|G）=ψ1E（ψ2 |G）。反射正性3311下面的性质是直接由此得出的：如果Gi，i=1，2是两个具有G1⊆G2的子σ代数，那么对于所有ψ∈L2（Ω，F，P），我们都有E（E（ψ|G2）|G1）=E（ψ| G1）。设{ψt}t∈R是给定概率空间（Ω，F，P）中的随机过程。对于t∈R，集Ft:=随机变量{ψs；s≤t}生成的σ-代数（⊆F）。当t是固定的时，我们设置Bt:=由随机变量ψt生成的σ-代数。我们说{ψt}t∈Risa Markov-process iff（Def.），对于每个t>s和每个可测函数f，我们有（13）E（f◦ψt | Fs）=E（f∙ψt | Bs），其中E（·|Fs）和E（·| Bs。众所周知，马尔可夫性质等价于以下半群性质：集合（14）（Stf）（x）：=E（f·ψt|ψ0=x），那么，对于所有t，s≥0，我们有（15）St+s=StSs。因此，半群定律（15）成立当且仅当马尔可夫性质（13）成立。2.2. 协方差运算符。现在让V是一个实向量空间；并假设它也是一个LCTVS局部凸拓扑向量空间。设G是李群，U是G的酉表示；设{ψv，g}（v，g）∈v×Gbe为实值随机过程s.t.ψv，g∈H=L2（Ω，F，P），E（ψv，g）=0，（v，g”）∈v×g。我们进一步假设给定了一个反射θ，θ。因此（16）确定G×G上的函数r；它是运算符值，取V中运算符的值。此函数称为协方差运算符。为了勾画马尔可夫性质的设置，我们将进行两个特化（这些可以删除！）：（i）G=R，S=R+∈{0}=[0，∞），和（ii）过程是平稳的；即，参考（16），我们假设协方差算子R如下：（17）e（ψv1，t1ψv2，t2）=hv1，R（t1−t2）v2i，∀t1，t2∈R，\8704；v1，v2∈V。在这种情况下，我们考虑了以下三个子σ代数A0，A±在F中的O.S.-条件（8）：0=由{ψv，0}v∈v生成的σ-代数，A+=由{ψv、t}生成的∑-代数和v∈v，t∈[0，∞）−=由{Ψv，t}v≈v，t∈（−∞，0]3312Berwolfach第55/2017号报告相应的条件期望如下所示：（18）E0（ψ）=E（ψ|A0），和E±（ψ。H=L2（Ω，F，P）中相应的闭子空间将分别表示为H0，H±，在这种情况下，我们考虑正条件（8）O.S.-P和Markov。3.从平稳（高斯）过程到平稳增量过程的扩展一个新颖之处是将以t∈R为指标的平稳高斯过程Xt的已知结果新扩展到更现实的一类高斯过程，即平稳增量过程Xt，即满足e（Xt）=0，t∈R，和R（|t|）+R（|s|）−R（|s−t|）2；特别是，E|Xt−Xs|2=r（|t−s|），其中r是[0，∞）上的函数。本部分基于与D.Alpay等人的联合工作（参见[2,4,1]）。特别地，我们回忆起，平稳增量过程通过R=R（ν）由（R，B）上的回火测度ν索引，其中Z R（t）=1−eitx+itxdν（x），t R1+x2x2∈R。在这种情况下，x（ν，R，其中ˆ表示通常的傅里叶变换。工具书类 [142] 丹尼尔·阿尔佩和帕尔·乔根森。高斯过程的谱理论：用分数尺度再现核、边界和L2-小波发生器。数字功能分析，36（10）：1239-12852015·Zbl 1335.60053号 [143] 丹尼尔·阿尔佩（Daniel Alpay）、佩尔·乔根森（Palle 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55/2017自然公理（如同位素、局部性、共形协方差、共形哈密顿量的正性和家族{A（I）}上真空的存在性）应用于物理上。我们研究局部共形网的重要工具是Doplicher-Haag-Roberts风格的表示理论。表象维数的概念由子因子的琼斯指数给出。我们经常对我们只有有限多个不可约表示的情况感兴趣。这种情况被称为理性。Kawahigashi-Longo-M¨uger根据琼斯指数的有限性给出了合理性的算子代数表征。在有理情况下，我们有一个用于表示的模张量范畴。我们有一种由Longo-Rehren引入的α-诱导机制。B¨ockenhauer-Evans-Kawahigashi统一了Xu和Ocneanu的作品，并证明了模不变性的一般性质。利用这些方法，KawahigashiLongo给出了中心电荷小于1的局部共形网的完整分类。（中心电荷是由Virasoro代数表示产生的数字不变量。）分类列表包含四个例外，其中一个似乎不来自任何其他已知结构。顶点算子代数是S1上算子值分布的Fourier展开的代数公理化。它源于对博彻兹和弗伦克尔·勒波夫斯基-梅尔曼著名的月光猜想的研究。由于局部共形网和顶点算子代数都给出了手征共形场理论的数学公理化，因此自然期望两者之间有直接关系。现在，我们通过Carpi-Kawahigashi-Longo-Weiner提出了这种关系。首先，我们需要所谓的顶点算子代数的酉性。然后我们强加一种物理自然条件，称为强局部性。我们不知道任何不满足强局部性的酉顶点算子代数的例子，并且我们有一个强局部性的简单充分条件。注意，如果存在一个没有强局部性的酉顶点算子代数，它将不符合物理手征共形场理论。如果我们有强局部性，我们可以通过构造涂抹顶点算子来构造相应的局部共形网。我们还可以从构造的局部共形网返回到原始的顶点算子代数。这是由于弗雷登哈根·J¨ors的一个想法和托米塔·塔卡斯基理论。工具书类 [168] Y.Kawahigashi{共形场理论，张量范畴和算子代数}，J.Phys。A 48（2015），303001（57页）·Zbl 1328.81194号 [169] Y.Kawahigashi，{共形场理论，顶点算子代数和算子代数}，发表于《2018年ICM学报》，arXiv:1711.11349。反射积极性3315模局部化和构造代数QFT甘道夫·莱切纳（Gandalf Lechner）这是关于Tomita-Takesaki模理论在代数量子场论中的应用的三篇系列演讲中的第二篇（分别由R.Longo、我和Y.Tanimoto撰写）。我演讲的重点是代数量子场论示例的构建。在这种情况下，一个中心概念是博彻斯三元组。在最简单的二维情况下，这包括Hilbert空间H上的von Neumann代数M，R2的酉强连续正能量表示U（x+，x−）=eix+P+eix−P−，这样adU（x+，x–）（M）⊂M对于x+≥0，x–≤0，以及单位向量Ω∈H在U下是不变的，在M下是循环的和分离的（参见[2]和[5]了解综述）。给定一个Borchers三元组（M，U，Ω），通过Borchers的一个定理，表示U从R2扩展到适当的Poincarée群P。代数M可以被解释为局部化在楔形区域W={x∈R2:x+>0，x−<0}中，通过一个规范过程，三元组定义了一个从开子集O⊂R2到冯Neumann代数a（O）B（H）的映射，该映射是包含-保护的，局部的，在表示U下协变的，并由a（W）=M固定。如果这个映射还具有这样的性质，即对于每个非空O，Ω对a（O）都是循环的，那么这些数据描述了真空表象中的量子场论。因此，人们对寻找Borchers三元组的例子很感兴趣。Borchers三元组的自由场理论例子是众所周知的。在这次演讲中，我回顾了构建Borchers三元组示例的两个过程。第一个[2]与C*-代数[7]的Rieffel变形有关，并且基于翘曲卷积的概念，这是B（H）中算子的变形过程。设（M，U，Ω）是Borchers三元组（例如，由自由场理论给出的三元组），且a∈M是光滑w.r.t.U的算子，即x7→ad（U（x））（a）在范数上是光滑的。作为变形参数，考虑一个2×2矩阵Q反对称的Minkowski内积。然后将A的翘曲卷积定义为ZZ AQ=（2π）−2dpdx e−ip·xad（U（Qp））（A）U（x）。R2R2这个积分在H中光滑向量的稠密区域上以振荡的形式存在，并扩展到H上的有界算子。表示由所有AQ生成的von Neumann代数，a∈M光滑，由MQ生成。然后，本文中的主要定理，即映射A7→AQ的各种性质的结果，是三元组（MQ，U，Ω）如果Q满足与U谱相关的正条件，则也是Borchers三元组。因此，我们可以从给定的Borchers三元组中获得一个以Q为索引的Borchers-三元组家族。不同参数的三元组是不等价的，但它们都具有MQ的模数据独立于Q的特殊性质，即与原始von Neumann代数的模数据M0=M一致。3316Oberwolfach报告55/2017“局部”von Neumenn代数AQ（O）是否由（MQ，U，Ω）生成是一个公开的问题是不是很普通。构造Borchers三元组的第二个步骤基于交叉对称R-矩阵的概念。一个步骤从单粒子Hilbert空间H1=L2（R，dθ）⊗K开始，其中K是内自由度的可分离（通常是有限维）Hilbert空间，L2（R，dθ）携带酉大质量不可约正能量表示U1P的通常实现。在本文中，交叉对称R-矩阵是从R到K⊗K上酉的函数R，满足许多性质。特别是，R（θ）需要满足具有谱参数θ的Yang-Baxter方程和确保R生成对称群SnonH⊗n1的酉表示的对称条件。用Hn⊂H⊗n1表示该表示平凡作用的子空间，则要构造的Borchers三元组的Hilbert空间为L H:=nHn。表示U由U1的二次量子化定义，Ω定义为H的福克真空。与通常的Bose-Fock空间类似，H也携带正则生成/湮灭算符，它们的和定义了量子场[6]。这些场算符生成了一个von Neumann代数M，使得（M，U，Ω）是一个Borchers三元组，如果R扩展到复带0<Imθ<π上的有界解析函数，并且交叉对称性hk1⊗k2，R（iπ−θ）k3 \8855]k4i=hk2 \8855；Γk4，R（θ）Γk1 \88 55; k 3i，θ∈R，这让人想起KMS条件。这里是k1，k4是K中的任意向量，Γ是与M的模共轭有关的K上的反酉对合（见[3]）。如果R满足进一步的正则性条件，则局部代数是非平凡的。为了与本次会议上的其他会谈联系起来，让我们提出以下两个意见。（1） R的交叉对称性可以用图形来描述，这表明它与a.Jaffe在演讲中提出的弦傅里叶变换有关。（2） 模算符∆1/2的单粒子分量的域在其图范数中闭合时成为一个复希尔伯特空间。对于反射积极性3317，第二个例子的设置，这个希尔伯特空间与条带0上的经典哈代空间一致，因此与P.Jorgensen讨论的再生核希尔伯特空间设置相连接。工具书类 [170] H.-J.Borchers。局部观测二维理论中的CPT定理。数学物理，143:315-3321992·Zbl 0751.46045号 [171] D.Buchholz、G.Lechner和S.J.Summers。Warped Convolutions，Rieffel变形和量子场论的构建。{公共数学物理}，304:95-1232011·Zbl 1227.46043号 [172] S.Hollands和G.Lechner。SO（d，1）-不变Yang-Baxter算子和dS/CFT对应。{\it公共数学物理}，doi:10.1007/s00220-017-2942-62017·Zbl 1387.83027号 [173] G.Lechner、D.Li、H.Queflec、L.Rodriguez-Piazza。加权复合算子的近似数。{\it预印本}，arXiv:1612.011772016 [174] G.Lechner。代数构造量子场论：可积模型和变形技术〉In:Advances In Algebraic Quantum Field Theory，Brunetti，R.et al（eds），397-449，Springer，2015·Zbl 1334.81060号 [175] G.Lechner和C.Sch–utzenhofer。走向可积整体规范理论的算子代数构造。《亨利·彭卡年鉴》15（2014）645-678·Zbl 1291.81373号 [176] M.A.Rieffel，Rd作用的变形量化，回忆录A.M.S.，506，1-96（1993）。反射正性与算符理论关联不等式Tadahiro Miyao本演讲由以下三个部分组成：第一部分：算符理论相关不等式第二部分：自旋反射正性第三部分：Hubbard模型的普遍性1。算子理论相关不等式在第1节中，算子理论相关不等[7,8]介绍如下。设H是一个复希尔伯特空间。通过凸锥，我们理解了一个闭凸集P⊂H，使得所有t≥0且P⊆（−P）={0}。定义1.1.•P的对偶锥由P†={η∈H|Hη|ξi≥0ξ∈P}定义。我们说P是自对偶的，如果P=P†。•如果ξ∈P，则向量ξ被称为正w.r.t.P。我们将其写成ξ≥0 w.r.t.P。当hξ|ηi>0时，向量η∈P被称为严格正w.rt.P [177] J.Fr¨ohlich，B.Simon，T.Spencer，《红外界限、相变和连续对称破缺》。公共数学。物理学。50 (1976), 79-95. 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f′（p）dq2+f′（p）dp2，具有标量曲率，′S（γf）=−1。f′（p）3。量子希尔伯特空间：比基于实可观察性的量化情况下定义得更好：没有HQf=Ψ（q，p）=ψ（zif）e−kf（p）/2，||Ψ|<∞R，其中ψ是Jif全纯函数，kf（p）=pf（p）−f（p）dp是（1）的K¨ahler势。如果考虑到半形式修正，情况会进一步改善。4.现实条件：内积通过几何量化固定，解决了“现实条件”问题。在我们的示例中，通过半形校正，采用Z<Ψ1，Ψ2>=ψ1（zif）ψ2（zif，e−kf（p）（f′（p））1/2dqdp的形式。R2在这种形式中，量子化空间成为给定辛流形上K¨ahler结构的空间。在固定复结构并使辛形式改变的复图中，在紧致流形上，具有固定上同调类的K¨ahler形式的空间为H/R=ωξ=ω+i⏴õξ，ξ∈C∞（M）：γΓ=ωξ（·，J·）>0，可以解释为（M，ω）的K¨ahler量子化的（部分）空间。尽管是C∞（M）的一个开放子集，但K¨ahler势H的空间具有Mabuchi度量，Zωnhf1，f2i=f1f2，Mn！具有无穷维对称空间的丰富几何学。特别是其测地线，由复齐次Monge-Amp“ere（CHMA）方程描述，由虚时间正则变换的单参数“组”[4,3,14]，（2）eisXH给出。在[14]中，基于李级数的Gr¨obner理论，提出了一种构造这些虚时间流的方法，它有效地将CHMA方程的解析Cauchy问题简化为相应哈密顿流的解析持续时间。相干态变换（CST）对应于eisX向量子束的适当提升，（3）VisH:HQ0-→HQis。3322Oberwolfach报告55/2017示例由相干态Segal–Bargmann变换到紧Lie群G的络合GC的Hall推广[7]给出（另见[8,10,6,9]），U:L2（G，dx）-→HL2（GC，dν（G））∆（4）U=C◦e2，其中GC是G的唯一络合，HL2表示全纯L2函数，ν是GC上的平均热核测度。在[15,16]中引入“络合子”的概念后，CST（4）被证明等价于[11,12,5,13]中形式（3）的几何量化变换，络合子H是矩映射的范数平方||µ||2。（5） H=2由（5）给出哈密顿量H的CST（3）（或µ的其他凸函数）在热带几何[1]、表示理论和代数几何[2]中发挥着重要作用。工具书类 [186] T.Baier、C.Florentino、J.M.Mouráao和J.P.Nunes，《从无穷大、量化和紧凑热带变形虫看托利克K¨}的度量》，J.Diff.Geom。89 (2011), 411-454. ·Zbl 1261.53081号 [187] T.Baier、J.M.Mouráao和J.P.Nunes，{工作正在进行}。 [188] D.Burns，E.Lupercio和A.Uribe，{it在实际分析案例中}H{it-am}{it的复合指数图，arXiv:1307.0493·Zbl 1489.53095号 [189] S.K.Donaldson，对称空间，K¨}ahler几何和哈密顿动力学，美国数学。社会事务。，系列2 196（1999），13-33·Zbl 0972.53025号 [190] J.N.Esteves，J.M.Mourao和J.P.Nunes，奇异实极化中的量化：}{凯勒正则化，Maslov校正和配对，}J.Phys。A 48（2015），22FT01·Zbl 1316.81039号 [191] C.Florentino，P.Matias，J.Mouráao和J.P.Nunes，《关于K¨}的BKS配对》，《李群余切丛的量子化》，J.Funct。分析。234 (2006) 180-198. ·Zbl 1102.22007年 [192] B.霍尔（B.Hall），《Segal-Bargmann对李群的相干态变换》（The Segal-Bargmann“coherent-state”transform for Lie groups），J.Funct。分析。122 (1994), 103-151. ·Zbl 0838.22004号 [193] B.霍尔，紧型李}{it群的几何量子化和广义Segal-Bargmann变换，通信数学。物理学。226 (2002) 233-268. ·Zbl 1007.53070号 [194] B.Hall和W.D.Kirwin，《适应复杂结构和测地线流》，《数学》。Ann.350（2011）455-474·兹比尔1228.53097 [195] B.C.Hall和J.J.Mitchell，球体上的相干态，J.Math。物理学。43 (2002), 12111236 ·Zbl 1033.81045号 [196] 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Pohl众所周知，转移矩阵技术在晶格自旋系统的研究中被证明是强大的，例如用于推导一维和二维系统的精确解，如Onsager解。晶格自旋系统中的反射正性与自共轭正定转移矩阵的存在密切相关。同样众所周知的是，量子力学的对应原理表明黎曼流形（以及更普遍的黎曼球形体）的几何实体和光谱实体之间存在密切关系。特别是，人们期望测地线（经典力学物体）与拉普拉斯方程的L2-本征函数和L2-本徵值之间有很强的相互依赖性，更普遍地说，共振和共振状态（量子力学物体）之间有很好的相互依赖关系。在过去的一个世纪里，人们花费了大量的精力以数学上严谨的方式建立这种相互依赖的实例。越来越多的结果被发现，并且被认为对数学的各个领域都非常重要，包括动力学系统、谱理论、调和分析、表示理论、数论和数学物理。然而，黎曼球形体的几何物体和光谱物体之间关系的全部范围和深度仍然是神秘的。在本文中，我们仅限于非初等双曲曲面X=Γ\H的情况，其端点最多为有限多个（有限和无限区域）。这里，H表示双曲平面，Γ是M¨obius群PSL（2，R）的离散非循环几何有限子群。对于这些空间，周期测地线与共振之间的关系由Selberg zeta函数表示，该函数是YY∞（1）ZX（β）：=1−e−。如果Reβ足够大，则（1）中的无穷乘积收敛，并且它具有到所有C的亚纯延拓。Selberg zeta函数的零点由X的共振和一些众所周知的“平凡”零点组成（相当拓扑性质）。因此，Selberg zeta函数ZX在测地长度谱和X的拉普拉斯谱之间建立了一种关系，或者说，3324Oberwolfach Report 55/2017，换句话说，在光谱水平上建立了测地和共振状态之间的关系。我们讨论了广义传递矩阵的构造，并证明了它们允许我们在周期测地线和谱级以外的L2-本征函数之间建立关系，从而改进了Selberg-zeta函数提供的连接。广义传递矩阵的构造依赖于X上测地线流的离散化的良好选择。我们利用了[16]中提供的离散化，这些离散化特别适合我们的目的。每一个这样的离散化都提供了一个离散动力系统F:D→D，它位于R中特定区间的并集上，与X上的测地流半共轭，并分支成有限多个由Γ中某个元素的M¨obius作用给出的“子映射”。与参数β∈C（Ruelle和Mayer意义上的转移算子）相关的广义转移矩阵是X Lβf（X）：=e-βln | f′（y）| f（y），y∈f−1（X）作用于函数f:D→C.关于这些转移算符在研究测地线、特征函数和X的共振状态的相互依赖性中的作用的一些主要结果大致如下：•如果X具有有限面积和至少一个尖点，即有限面积的端点，并且如果Reβ∈（0，1）那么X上快速衰减的L2-本征函数空间（Maass尖点形式）与特征值为Lβ[12,15,14,18,13]的充分正则本征函数的空间同构。同构由显式积分变换给出。迄今为止，传递算子技术是已知的唯一能够在双曲曲面的几何实体和光谱实体之间提供如此深刻关系的工具如果X具有有限或无限面积和至少一个尖点，则用于构造Lβ的测地线流的离散化的归纳过程提供了一个均匀扩展、无限分支的离散动力系统。相关的转移算子eLβ作用于全纯函数的某个Banach空间。因此，它是零级核，因此可以用于热力学形式。其Fredholm行列式等于Selberg zeta函数ZX（β）=det 1−eLβ。将ZX表示为传递算子族的Fredholm行列式的可能性表明，在Selberg-zeta函数和Selberg跟踪公式的帮助下获得的许多结果应该作为通过传递算子获得的结果的“影子”。此外，转移算子技术为Selberg zeta函数的亚纯可扩性提供了另一种证明。所有这些结果见[12,18,17,19]。反射正值3325•特征值为1的特征函数Lβ和eLβ是同构的，参见[1]中的Hecke三角群和即将出版的一般Γ手稿。这一结果与前面提到的结果一起，使我们能够在不依赖于塞尔伯格轨迹公式的情况下恢复塞尔伯格zeta函数零点的部分光谱解释有限维幺正表示的扭曲很容易被转移算子作为附加权重来适应。关于Selberg zeta函数和eLβ之间的关系以及Lβ和eLα之间的关系的结果扩展到扭曲物体[19,1]转移算子还可以适应有限维表示χ与非扩张尖点单值函数（表示不一定是幺正的，但在尖点中具有受控行为）的扭曲。转移算子技术是目前证明χ-扭曲Selberg-zeta函数亚纯可扩性的唯一已知方法[8]这些结果恢复、阐明和完善了Mayer[10,11]、Chang–Mayer[3]、Efrat[7]、Lewis-Zagier[9]、Bruggeman[2]提出的模曲面PSL（2，Z）\H的种子转移算子技术及其对PSL（2,Z）[4,5,6]的某些有限指数子群的扩展。预期上述结果，特别是转移算符的本征函数与Maass尖点形式之间的同构，可以推广到其他正则性的本征方程，（Γ，χ）-扭曲和向量值本征函数，以及一般共振状态。此外，还可以推广到更一般的局部对称空间。这些广义传递矩阵与反射正性之间的关系还有待理解。工具书类 [202] A.Adam和A.Pohl，｛\it拉普拉斯本征函数与Selbergζ函数的零点之间的基于转移算子的关系｝，arXiv:1606.09109·Zbl 1475.11153号 [203] R.Bruggeman，{自形形式，超函数上同调，和周期函数}，J.reine-angew。数学。492 (1997), 1-39. ·Zbl 0914.11023号 [204] C.-H.Chang和D.Mayer，《Selberg zeta函数的转移算子方法和}PSL（2，Z）的{模和Maass波形》，数论的新兴应用（明尼阿波利斯，明尼苏达州，1996），IMA卷《数学》。申请。，第109卷，Springer，纽约，1999年，第73-141页·Zbl 0982.11049号 [205] ，转移算子的本征函数和模}的周期函数，动力学、谱和算术zeta函数（San Antonio，TX，1999），Contemp。数学。，第290卷，美国。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，2001年，第1-40页·Zbl 1037.11032号 [206] ，{它是热力学形式主义方法对Selberg的zeta函数的扩展}{它用于一般模群}，遍历理论，动力系统的分析和有效模拟，Springer，Berlin，2001，pp.523-562·Zbl 1211.37030号 [207] 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2。pAQFT中的sine-Gordon模型在pAQFT中，我们需要以下物理输入：•全局双曲时空M。对于二维sine-Goordon模型，M=M2，即二维Minkowski时空配置空间E（M）：我们想在理论中研究的对象的选择（标量、向量、张量…）。对于标量场：E（M）≡C∞（M，R）动力学：我们使用拉格朗日形式主义的修正。可观测项是E（M）上的泛函。对于自由无质量标量场，运动方程为P=0，其中P=−✷是（减去）波算子。对于M全局双曲线，P允许延迟和高级格林函数∆R，∆A。它们满足：P◦∆R/A=idD（M），∆R/A◦（P）=id D（M。对于二维无质量标量场：∆R（x）=−1θ（t−|x|）∆A（x）=−1σ（−t−| x|），x=（t，x）∈M2。22 . 它们的区别在于Pauli-Jordan“函数”：∆=∆R−∆A。自由理论的泊松括号为DE{F，G}=F（1），∆G（1）。我们定义了⋆-乘积（逐点乘积的变形）：X∞nDE。（F⋆G）（）=F（n）（б），W⊗nG（n）！n=0，其中W是Hadamard态的2点函数，通过对称双分布与2i∆不同，用H表示。对于二维无质量标量场，可以方便地使用Hadamard-参数W（x）=（∆R（x）−∆a（x））+H（x）=-ln−x·x+iεt 24πµ2，其中µ>0是我们需要修正的尺度参数。哈达玛参数线W与哈达玛状态的两点函数不同，它是一个光滑对称函数v，Wv=2i（∆R-∆a）+Hv=W+v。定义为Wv诱导的星积，而⋆表示参数线W诱导的星乘。这些乘积通过“规范变换”αDEH=e.2DH相互交织，其中DH=。H、 δδ22=RH（x，y）δ（x）δб（y）δ2dxdy。因此，⋆，\8902；和各种等效产品。自由QFT被定义为A0（M）=（F（M）[[]]，⋆，∗），其中F∗（）=F（б）。和F（M）是一个适当的函数空间（W在F（n）（）s上诱导的一些波前集条件）。3328Oberwolfach报告55/2017对于交互领域的构建，我们需要时序产品。我们将时序算子T定义为：X∞1DE T F（）=n！F（2n）（），（2∆F）⊗n，n=0，其中∆F=2i（∆A+∆R）+H和H=W−i2∆。形式上，T对应于与振荡高斯测度“具有协方差i∆F”的卷积算符，Z T F（）formal=F（б−б）dµi∆F（б）。我们定义了时序产品·Tby:。F·TG=T（T−1F·T−1 G）在sine-Gordon模型中，顶点算子起着重要作用。这些被定义为Va（g）=。Rexp（iaΦx）g（x）dx，其中Φx（）=（x）是评估值。注意，我们首先构造抽象代数，没有参考Fock空间。使用可交换乘积·Twe定义S-矩阵：。S（V）=eiV/T=T（eT−1（iV/））。相互作用场由Bogoliubov公式定义：RV（F）=（eiV/T）⋆-1 \8902'（eiV/T·TF）=−i dS（V）−1S（V+µF）dµµ=0从\8902]传递到\8902；V意味着改变Wick顺序。表示α−1HvF=：F:.V.两个正常有序观测值F的乘积的期望值，G处于准自由Hadamard态，具有2点函数Wvis:。ωv（：F:v⋆：G:v）=αv（：F:v⋆：G:v）（0）=（F⋆vG）（0）。与S-矩阵类似：ωv（S（λ：v:v））=αveiλ：v：Tv/（0）=eiλv/T（0）。这里v·Tv是对应于v的时序乘积。定理2.1。v=12（Va（f）+v−a（f））且0<β=a2/4π<1，f∈D。在[BFR17]中，表明通过选择适当的阿达玛态（基于[DM06]的构造），可以表明相互作用场形成冯-诺依曼代数的网络。此外，对于具有非零质量的标量场理论，这些哈达玛态是局部正规到真空态。反射积极性3329参考文献[BDF09]R.Brunetti，M.D¨utsch和K.Fredenhagen，{微扰代数量子场}{理论和重整化群}，Adv.Theor。数学。物理学。13（2009），第5期，1541-1599。[BF00]R.Brunetti和K.Fredenhagen，微观局域分析和相互作用量子场，Commun。数学。物理学。208（2000），第3期，623-661。[BFR17]D.Bahns，K.Fredenhagen，和K.Rejzner，{{it sine-Gordon模型}中von Neumann代数的局部网，[arXiv:math-ph/1712.02844]。[BFV03]R.Brunetti，K.Fredenhagen，and R.Verch，{it广义协变局域原理-}{it局域量子场论的新范式}，Commun。数学。物理学。237 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Neumann代数族{a（I）}I⊂S1、M¨opius群PSL（2，R）的酉表示U和“真空”向量ΩU的不变量，满足Haag-Kastler公理，即同位素、局部性、M–obius协方差、能量正性和真空的周期性[GF93，定义2.5]。3330Oberwolfach报告55/2017根据这些公理，Ω是循环的，并且对每个代数A（I）都是分离的（Reeh-Schlieder属性），因此我们可以定义模对象：SI:A（I。让我们回忆一下，光线R被赤平投影识别为S1的子集。有了这个标识，正半线R+是S1中的一个区间。对于M¨obius协变网络，Bisonano-Wichmann性质成立[GF93，定理2.19]：∆itR=U（DR（2πt）），其中D++R+是PSL（2，R）扩张的单参数子群，它明确地保留了R+。现在，观察协方差，它认为当t≥0时，Ad∆it（A（R++1））⊂A（R++）。这种代数包含，称为半边模包含，结果包含了给定网络的许多信息。2.半边模包含LetN⊂M是von Neumann代数，Ω是一个向量循环且对N和M都是分离的。然后我们可以定义关于Ω的模群∆itMofM。如果Ad∆itM（N）N对t≥0，则此三元组（N \8834.; M，Ω）称为半边模包括（HSMI）。从这个简单的对象来看，有许多有趣的特性，其中包括∆itM和∆is Ngenerate平移-位移群的正能量表示[Wie93][AZ05，定理2.1]。此外，如果Ω是N′′M的循环算子（N′是与N交换的所有有界算子的集合），则此包含称为标准包含。设（A，U，Ω）是M¨obius协变网。如果A（I1）∧A（I2）=A（I）成立，则称其为强加性，其中I1和I2是由区间I移除一点而形成的两个区间，A（I1）∧A（I2）表示由A（I1）和A（I2）生成的冯·诺依曼代数。•标准半边模包含（N⊂M，Ω）•强可加M¨obius协变网络（a，U，Ω）之间存在一对一的对应关系，对应关系由N=a（R++1），M=a（R+）[GLW98，推论1.9]给出。这种对应关系允许我们从标准HSMI构造新的M¨obius协变网络。例如，考虑Virasoro网Vircwith c>1（仅由应力能张量生成的网）。已知它们不具有强相加性[BSM90，第4节]，因此，从标准HSMI（N=Virc（R++1），M=Virc（R+），Ω）中可以获得不同于Virc的M¨obius协变网络a。这些网络尚未与任何已知的M¨obius协变网络相识别。另一种构造如下：对于给定的M¨obius协变网络a，我们考虑其对实线R的限制a | R。如果取KMS状态on a | R，并用GNS矢量ΩSS表示π，相对于平移群，则包含（πб（I⋐R+a（I）））⊂（I[8912]RA（I）’，Ω）是标准HSMI，因此可以构建M¨obius协变网络[Lon01，命题3.2]。我们在Virc上连续构造了许多不同的KMS状态反射积极性3331，c≥1[CLTW12，第5节]，因此，从这些标准HSMI可以构造（可能是新的）M¨obius协变网络。问题2.1。确定这些M¨obius协变网络是否与任何已知网络同构。3.来自自由积的非标准HSMI如果a是一个1+1或更多维的Haag-Kastler网，具有BisonanoWichmann性质（意味着模群是Lorentz boost），则（a（W+a）⊂a（W），Ω）是一个半边模包含，其中W是一个楔形区域，a是W中过去的类光向量。一般来说，如果a不是自由场网络，那么很难确定这样一个给定的HSMI是否是标准的。一些成功的例子来自二维相互作用网络[Tan14]，它们是所谓U（1）-电流网络张量积的一些不动点子网[BT15，第5.3节]。许多其他案件尚未结案。问题3.1。确定来自[Lec08]的交互网络的HSMI是否是标准的。现在，一个自然的问题是，是否存在一个HSMI（N⊂M，Ω），其中N′M是平凡的，即只包含单位算符的倍数。我们通过用免费产品[LTU17]构建一个例子来积极回答这个问题。von Neumann代数族的自由积{马克}克∈Kwith相对于循环和分离向量{Ωk}k∈Kis是一个大型的von Neumann代数，其中包含所有Mk的同构图像，这些图像高度非交换，并配有循环分离向量Ω[Voi85]。可以根据（Mk，Ωk）[Bar95，引理1]确定（M，Ω）的模对象。设（N0⊂M0，Ω0）是标准HSMI，且{（Nk \8834；Mk，Ωk）}k∈k∈k（N0 \8834；M 0，Ω）的k对称副本。然后我们可以构造自由积von Neumann代数（N⊂M，Ω）的包含。正如模对象已知的那样，很快就会看到这是一个HSMI。定理1。如果|K|=∞，那么对于自由积HSMI（N⊂M，Ω），N′‖M是微不足道的。问题3.2。当|K|<∞时，确定N′∈M，如果它是非平凡的，则研究相应的M¨obius协变网。3332Berwolfach报告55/2017参考文献[AZ05]Huzihiro Araki和L´aszl´o Zsid´o。Borchers结构定理的推广及其在半边模包含中的应用。{数学物理评论}，17（5）：491-5432005。https://arxiv.org/abs/math/0412061。[Bar95]兰斯·巴内特。III型自由积von Neumann代数。｛\it Proc.Amer.Math.｝｛\it Soc.｝，123（2）：543-5531995。http://www.ams.org/journals/proc/1995-123-02/S0002-9939-1995-1224611-7/S0002-99939-1995-1224611-7。pdf格式。[BT15]马塞尔·比肖夫和尤·塔尼莫托。可积QFT和Longo-Witten自同态。{it Ann.Henri Poincar´}，16（2）：569-6082015。https://arxiv.org/abs/1205。2171[BSM90]德特列夫·布赫霍尔茨（Detlev Buchholz）和汉斯·舒尔兹·米尔巴赫（Hanns Schulz-Mirbach）。共形量子场论中的Haag对偶。{数学物理评论}，2（1）：105-1251990。https://www.researchgate.net网站/出版物/246352668。[CLTW12]保罗·卡马萨、罗伯托·隆戈、尤·塔尼莫托和米哈利·韦纳。共形QFT中的热状态。二、。{\it公共数学物理}，315（3）：771-8022012。https://arxiv。org/abs/1109.2064。[FST89]P.Furlan、G.M.Sotkov和I.T.Todorov。二维共形量子场论。｛\it Riv.Nuovo 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Verch[1]的一篇文章。主要结果是Osterwalder-Schrader定理[2,3]的推广，该定理建立了d维欧氏空间Rd上的欧氏量子场论与d维Minkowski时空R1，d−1上的Wightman量子场论之间的（双射）对应关系，到底层空间/时间由于莫亚尔变形而不可交换的情况。对于用于应用的方法，重要的是莫亚尔变形不作用于时间坐标，或欧几里德坐标，欧几里得量子场论对其施加反射正性条件。在建立这一结果的过程中，我们依赖于由Schlingemann[4]将奥斯特瓦尔德-施拉德定理推广或重新表述为量子场论的算符代数框架这反过来又在很大程度上依赖于基于某种类型的反射正性的虚拟群表示理论，作为Osterwalder-Schrader定理的另一个推广分支，该定理由Fr¨ohlich、Osterwarder和Seiler[5]、Klein和Landau[6,7]、Jorgensen和Olafsson[8]在其著作中发展而来。Schlingemann的结果表明，如果M表示算子代数设置下的Minkowski时空量子场理论（具有诸如Poincar′e协方差、局域性、谱条件和真空状态等特性），ifE表示算子代数设置中的欧几里德量子场论（以欧几里得协方差、交换性和反射正泛函的存在性为特征），如果理论满足一个称为时间零条件的性质（让人联想到双曲场方程的解是由它们的柯西数据决定的条件），那么欧几里德量子场论E唯一地确定了闵可夫斯基时空量子场论M=M（E）；这是物理学中所谓的“威克旋转”的一种抽象形式。对于具有Rdby自同构的群作用τx，x∈Rd的任何算子代数a，可以通过赋予a一个新的算子乘积×θ，即Moyal-Rieffel乘积[9]，得到一个新算子代数aθ，该乘积由Z 1（2π）ddp-dx-ei（p，x）τθp（a）τx（B）（a，B∈a）给出。其中θ=（θν）dµ，ν=1是一个实的反对称矩阵，（p，q）是欧几里德标量积（如果基础Rd被解释为闵可夫斯基时空，则为闵可夫斯基度量积）。对于具体性，关注情况d=4（对其他维度d3334Oberwolfach Report 55/2017的推广是显而易见的），取0000θ=0010θ0-100θ0000，然后算符代数M和E都携带平移群的自守作用，可以将Moyal-Rieffel变形为Mθ和Eθ。结果表明，Eθ仍然满足Schlingemann结果的条件（尽管协方差组较小），因此可以将Minkowski时空理论M（Eθ）指定给Eθ。另一方面，Moyal-Rieffel也可以将Minkowski时空量子场理论M=M（E）变形为M（E”θ。[1]的一个重要结果是M（Eθ）和M（E）θ是同构的。（关于描述这一点的交换图，请参阅[1]。）我们提到，在非交换空间和时空上考虑量子场论有多种动机。在量子引力方法中，时空坐标之间的不确定性关系与量子力学中位置和动量之间的不确定关系类似[10,11]。另一方面，Moyal-Rieffel形变（以及其他使时空非交换的方法）具有离域效应，可能有助于“软化”在构建相互作用量子场论时遇到的短程/紫外问题。事实上，在这方面有一些有希望的结果[12,13,14]。实际上，这就是斯奈德1947年在变形的闵可夫斯基时空中引入量子场的最初动机[15]。目前尚不清楚结果是否或如何推广到θ可逆的情况，因此时空坐标之间存在非对易关系。众所周知，在这种情况下，威克旋转不能天真地进行[16]。工具书类 [221] H.Grosse、G.Lechner、T.Ludwig、R.Verch。量子场论在退化Moyal空间（-时间）上的Wick旋转，J.Math。物理学。54 (2013), 022307 ·Zbl 1280.81136号 [222] K.Osterwalder，R.Schrader，{欧几里德-格林函数公理}，Commun。数学。物理学。31 (1973), 83-112 ·兹比尔0274.46047 [223] K.Osterwalder，R.Schrader，{欧几里德-格林函数公理。2.}，Commun。数学。物理学。42 (1975), 281 ·Zbl 0303.46034号 [224] D.Schlingemann，《从欧几里德场论到量子场论》，《数学评论》。物理学。11 (1999), 1151-1178 ·Zbl 0969.81036号 [225] 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ZEΦ2+（κ+νE+ζE2）Φ+12µ2bareΦ2+13λbareΦ3。在Schwinger-Dyson方程中直接实现了BPHZ归一化条件，得到了N，V的Z，κ，ν，ζ，µ2bare，λbareas函数和E的给定谱的精确公式。结果表明λbare是Z32乘以一个运行耦合常数，该常数对应于实际λ，λbreat的正β函数。然而，没有兰多鬼魂；该模型可以求解到任何比例∧。经过重正化处理，我们得到了一个单点函数的封闭非线性方程。该方程与f2（x）+λ2Rabtρ（t）f（x）x−f（t）−t=x x x（x）=√x+c+λ22Rab（√x+c+dtρ。我们证明：设E的谱收敛于正函数E（x）的所考虑的极限，并设x（x）：=（2e（x）+1）2。然后，对于D=6，1点函数读取考虑的极限p√（X+c）（1+c）−c−X（2）G（X）=Z2λ-1（T-12））2 T e′（e−1（T−12））（√1+c+√T+c）3√T+c。我们检查了Taylor展开到O（λ3）与重整化Feynman图计算一致。见[4]。更高的N点函数可以看作是置换群的表示。每个置换都是循环的产物。收集相同循环长度（N1，…，NB）的排列导致将（总）N点函数分解为N1++NB-点函数G（x11，…，x1N1|…|xB1，…，xBNB）。将它们减少到1+是很简单的[3]+1点函数：（3）G（x11，…，x1N|…|xB，…，xB）11NB XN1XNBYBYNβλB··G（x|1k1|…|x{zBkB}）（2e（xβ）+1）24λ，k1=1β=1lβ=1kβ−。求解1+的方程式+1-函数是一个困难的组合问题。正反射3337我们证明了Bell多项式的基本用法（X（xi）=（2e（xi）+1）2）：G（x1|x2）=ppp4λ2p X（x1）+cX（x2）+c（X（x1）+c+X（x2）+c）2G（x1|…|xB）=dB−3（−2λ）3B−411！当B=2和B≥3时，dtB−3（R（t））B−2pX（x1）+c−2t3··pX（xB）+c−2t3 t=0，其中R（t）是一个显式积分[3，方程（4.9）]，它取决于D，λ，e（.）。2.Schwinger函数与反射正性推测时空可能是一个非对易流形。在欧几里德公式中，标量场是非交换代数a的元素，在许多情况下，非交换代数由矩阵近似。一个方便的例子是D维Moyal空间，Schwartz函数R通过平移的Rieffel变形，（f⋆g）（ξ）=R2Dd（k，y）（2π）Df。函数fmn（z）=2（−1）mqm！不！q2θz n−mLnm−m2|z|θ2e−|z|θ，其中z∈C Select R2，满足（fmn⋆fkl）（z）=δnkfml（z）和RCdz-fmnP（z）=2πθδmn。因此，在Moyal空间上展开标量场⌀=m，nΦmnfmn QD/2的作用泛函，其中m=（m1，…，mD/2）和fmn（z）=i=1fmini（zi），在此矩阵基础上返回到矩阵QFT模型的起点（1）。因此，Moyal空间上的连通Schwinger N点函数可以通过（4）X（−i）NNlogˆZ（J）Sc（z1，…，zN）：=limfm1n1JmNnNJ=0 RP，其中形式上ˆZ（J）=DΦexp（−S（Φ）+iVabΦabJab）。我们证明了只有严格构造的矩阵相关函数（3）的对角线G（x1，…，x1|…|xB，…，xB）对极限有贡献。通过插入显式公式，我们能够检查反射的积极性[6]。应该知道，对于动量空间Schwinger函数ˆS，反射正性意味着以下内容：对于所有空间动量pj，从独立能量p0j到时间差τj>0的时间傅里叶变换是Rm+上的正定函数。根据Hausdorff-Bernstein-Widder定理，（i）正定性等价于（ii）正测度的Laplace变换和（iii）完全单调函数。我们检查的是后一个属性。我们发现λΦ3Don-Moyal空间的2点函数是反射正的，当D=4，6（非D=2！）和λ∈R（其中配分函数没有定义测度）。明确计算了K¨all´en-Lehmann测度；它√由一个宽度为2µ2−c的“加宽质量壳”和一个支撑在p2≥2µ2上的“散射部分”组成，“加宽质量壳”的中心位于p2=µ2（3338Oberwolfach报告55/2017 c在（2）之后给出，|λ|≤λc用Lambert W函数表示）。见[4，Thm 6.1+6.2]。在未发表的工作中，我们证明了对角矩阵相关函数的投影违反了较高Schwinger N点函数中的反射正性。因此，上述限制程序需要修改。一个自然的建议是将（4）中的逐点积fm1n1（z1）··fmNnN（zN）替换为状态ωz1，。。。，A N上的zN（fm1n1··fmNnN）。研究国家的选择是否允许足够的灵活性来拯救反思的积极性，将是一件有趣的事情。工具书类 [237] M.Disertori，R.Gurau，J.Magnen和V.Rivasseau，{非}β函数的消失{交换}Φ44{所有阶的理论}，物理学。莱特。B 649（2007）95-102[hep-th/0612251]·Zbl 1248.81253号 [238] H.Grosse和R.Wulkenhaar，{自对偶非对易}4{四维理论是}{非微扰可解非平凡量子场论}，Commun。数学。物理学。329（2014）1069-1130[arXiv:1205.0465]·Zbl 1305.81129号 [239] H.Grosse，A.Sako和R.Wulkenhaar，{矩阵的精确解}Φ32{量子场论}，Nucl。物理学。B 925（2017）319-347[arXiv:1610.00526]·Zbl 1375.81170号 [240] H.Grosse，A.Sako和R.Wulkenhaar，{it。}Φ34{it和}Φ36{it矩阵QFT模型具有reflec-}{it正两点函数}，Nucl。物理学。B 926（2018）20-48[arXiv:1612.07584]·Zbl 1380.81193号 [241] Y.Makeenko和G.W.Semenoff，外部}{it域}中Hermite矩阵模型的性质，Mod。物理学。莱特。A 6（1991）3455-3466·Zbl 1020.81863号 [242] K.奥斯特瓦尔德 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。