闫伟;张巧巧;段金桥;杨梅华 具有粗糙数据和随机数据的Ostrovsky方程的收敛性问题。 （英语） Zbl 1504.42072号 印第安纳大学数学。J。 71，第5期，1897-1921（2022）. 作者摘要：本文分别考虑了具有粗糙数据和随机数据的自由Ostrovsky方程的收敛性问题。他们证明了具有初始粗糙数据的自由Ostrovsky方程在（H^s（mathbb{R}）中对于（s\geq\frac{1}{4}）几乎处处点态收敛。构造了一个反例，表明如果（s<frac{1}{4}），与自由Ostrovsky方程相关的最大函数估计可能失败。他们还显示了具有初始随机数据的自由Ostrovsky方程在（L^2（mathbb{R}））处的随机连续性。审核人：Ferit Gürbüz（哈卡里语） 引用于1文件 MSC公司： 42B25型 极大函数，Littlewood-Paley理论 42B15号机组 多变量谐波分析的乘数 第35季度53 KdV方程（Korteweg-de-Vries方程） 42B37型 谐波分析和偏微分方程 关键词：随机逐点收敛;自由奥斯特罗夫斯基方程;粗略数据;随机数据 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛W.Yan｝等人，印第安纳大学数学系。J.71，No.5，1897--1921（2022；Zbl 1504.42072） 全文： 内政部 参考文献： [1] Á. BéNYI，T.OH，和O.POCOVNICU，关于Rd上三次非线性Schrödinger方程的概率Cauchy理论，d≥3，Trans。阿默尔。数学。Soc.系列。B 2（2015），1-50。https://dx.doi.org/10.1090/btran/6。3350022马来西亚令吉·Zbl 1339.35281号 ·doi:10.1090/btran/6.MR3350022 [2] ，无界域上的Wiener随机化和NLS几乎确定适定性的应用，调和分析中的偏移。第4卷，应用。数字。哈蒙。分析。，Birkhäuser/Spriger，Cham，2015年，第3-25页。3411090令吉·Zbl 1375.42040号 [3] ，R3上三次非线性薛定谔方程概率局部Cauchy理论的高阶展开，Trans。阿默尔。数学。Soc.系列。B 6（2019），114-160，网址：https://arxiv.org/abs/arxiv:11709.01910。 https://dx.doi.org/10.1090/btran/29。MR3919013型·Zbl 1339.35281号 ·doi:10.1090/btran/6 [4] J.BOURGAIN，振荡积分的一些新估计，Elias M.Stein的傅里叶分析论文（新泽西州普林斯顿，1991），普林斯顿数学。序列号。，第42卷，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1995年，第83-112页。MR1315543型·Zbl 0840.42007号 [5] ，周期非线性薛定谔方程和不变测度，Comm.Math。物理学。166（1994），第1期，第1-26页。https://dx.doi.org/10.1007/BF02099299。MR1309539型·Zbl 1410.35195号 ·doi:10.1090/btran/29 [6] ，《二维散焦非线性薛定谔方程的不变测度》，Comm.Math。物理学。176（1996），第2期，421-445。https://dx.doi.org/10.1007/BF02099556。1374420马来西亚令吉·Zbl 1410.35195号 ·doi:10.1090/btran/29 [7] ，关于高维的Schrödinger极大函数，Tr.Mat.Inst.Steklova 280（2013），编号：Ortogonal′nye Ryady，Teoriya Priblizheniȋi Smezhnye Voprosy，53-66（俄语）·Zbl 1291.35253号 [8] 英语翻译。，程序。Steklov Inst.数学。280（2013），第1期，46-60。https://dx.doi.org/10。1134/s0081543813010045。MR3241836号·doi:10.1134/s0081543813010045.MR3241836 [9] ，关于薛定谔极大函数的注记，J.Ana。数学。130 (2016), 393-396. ·Zbl 1361.35151号 [10] https://dx.doi.org/10.1007/s11854-016-0042-8。MR3574661型·Zbl 0852.35131号 ·doi:10.1007/BF02099556 [11] N.BURQ和N.TZVETKOV，超临界波动方程的随机数据柯西理论I：局部理论，发明。数学。173（2008），第3号，第449-475页。https://dx.doi.org/10.1007/s00222-008-0124-z.MR2425133·Zbl 1156.35062号 ·doi:10.1007/s00222-008-0124-z.MR2425133 [12] 《超临界波动方程的随机数据柯西理论II：全局存在性结果》，发明。数学。173（2008），第3期，477-496。https://dx.doi.org/10.1007/s00222-008-0123-0。MR2425134·Zbl 1361.35151号 ·doi:10.1007/s11854-016-0042-8 [13] L.CARLESON，《与统计力学有关的一些分析问题》，欧几里德调和分析（马里兰州大学Proc.Sem.，College Park，MD，1979），数学课堂讲稿。，第779卷，施普林格，柏林，1980年，第5-45页。MR576038型·Zbl 1156.35062号 ·数字对象标识代码：10.1007/s00222-008-0124-z [14] Y.CHEN和H.GAO，随机影响下Hartree方程的Cauchy问题，J.微分方程259（2015），第10期，5192-5219。https://dx.doi.org/10.1016/j。2015年6月21日。MR3377523型·Zbl 1187.35233号 ·doi:10.1007/s00222-008-0123-0 [15] 陈先生和张先生，具有二阶导数非线性的四阶薛定谔方程的随机数据柯西问题，非线性分析。190 (2020), 111608, 23. https://dx.doi.org/10.1016/j.na.2019.111608。MR3997682号·Zbl 1433.35356号 ·doi:10.1016/j.na.2019.111608.MR3997682 [16] C.-H.CHO、S.LEE和A.VARGAS，薛定谔方程解的点态收敛问题，J.Fourier Ana。申请。18（2012），第5期，972-994。网址：https://dx.doi.org/2007/10041-012-9229-2。2970037美元·Zbl 1326.60090号 ·doi:10.1016/j.jde.2015.06.021 [17] G.M.COCLITE和L.DI RUVO，Ostrovsky方程到Ostrovsky-Hunter方程的收敛性，J.微分方程256（2014），第9期，3245-3277。https://dx.doi.org/10.1016/2001年2月14日。MR3171774型·Zbl 1297.35203号 ·doi:10.1016/j.jde.2014.02.001.MR3171774 [18] E.COMPAAN、R.LUC ali和G.STAFFILANI，薛定谔流的点态收敛，国际数学。Res.不。IMRN 1（2021），599-650，网址：https://arxiv.org/abs/arxiv: 1907.11192. https://dx.doi.org/10.1093/imrn/rnaa036。MR4198507型·Zbl 1476.35231号 ·doi:10.1093/imrn/rnaa036.MR4198507 [19] J.COLLIANDER和T.OH，L2（T）以下三次非线性薛定谔方程的几乎确定适定性，杜克数学。J.161（2012），第3期，367-414。https://dx.doi.org/10.1215/ 00127094-1507400. MR2881226型·Zbl 1297.35203号 ·doi:10.1016/j.jde.2014.02.001 [20] M.G.COWLING，薛定谔方程解的点态行为，调和分析（Cortona，1982），数学讲义。，第992卷，施普林格，柏林，1983年，第83-90页。https://dx.doi.org/10.1007/BFb0069152。729347英镑·Zbl 1476.35231号 ·doi:10.1093/imrn/rnaa036 [21] B.E.J.DAHLBERG和C.E.KENIG，关于薛定谔方程解的几乎处处行为的注释，意大利-美国调和分析研讨会（明尼阿波利斯，明尼苏达州，1981年），数学讲义。，第908卷，施普林格出版社，纽约柏林，1982年，第205-209页。654188号MR·Zbl 1260.35199号 ·doi:10.1215/00127094-1507400 [22] G.DA PRATO和J.ZABCZYK，《无限维随机方程》，《数学及其应用百科全书》，第44卷，剑桥大学出版社，剑桥，1992年。https://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511666223。MR1207136型·Zbl 0761.60052号 ·doi:10.1007/BFb0069152 [23] C.DEMETER和S.GUO，Schrödinger通过伪共形变换估计最大函数（2016年8月），预印本，网址：https://arxiv.org/abs/arxiv:1608.07640。 [24] C.DENG和S.CUI，T 3上Navier-Stokes方程的随机数据Cauchy问题，J.微分方程251（2011），第4-5期，902-917页。https://dx.doi.org/10.1016/j.jde。 2011.05.002. MR2812576·Zbl 1228.35168号 ·doi:10.1016/j.jde.2011.05.002.MR2812576 [25] X.DU，R 2中Schrödinger极大值的尖锐估计，伊利诺伊大学香槟分校博士学位，2017年8月·Zbl 1140.60034号 ·doi:10.1017/CBO9780511666223 [26] X.DU，L.GUTH，和X.LI，《数学年鉴》，R 2中的一个尖锐的Schrödinger极大估计。（2） 186（2017），第2期，607-640。https://dx.doi.org/10.4007/annals.2017.186.2.5。MR3702674型·Zbl 1378.42011号 ·doi:10.4007/annals.2017.186.2.5.MR3702674 [27] X.DU，L.GUTH，X.LI，R.ZHANG，薛定谔解的点态收敛性和多线性改进的Strichartz估计，论坛数学。Sigma 6（2018），论文编号e14，18。https://dx.doi.org/10.1017/fms.2018.11。MR3842310型·Zbl 1228.35168号 ·doi:10.1016/j.jde.2011.05.002 [28] X.DU和R.ZHANG，高维薛定谔极大函数的Sharp L2估计，数学年鉴。（2） 189（2019），第3期，837-861。https://dx.doi.org/10.4007/annals。 2019.189.3.4. 3961084加元·Zbl 1433.42010年4月 ·doi:10.4007/annals.2019.189.3.4.MR3961084 [29] D.ECEIZABARRENA和R.LUC ali，《周期薛定谔方程的分形收敛》（2020年5月），预印本，网址：https://arxiv.org/abs/arxiv:2005.07581。 [30] G.GIGANTE和F.SORIA，关于与薛定谔方程相关的最大平方函数在H 1/4中的有界性，J.Lond。数学。Soc.（2）77（2008），第1期，51-68。https://dx。doi.org/10.112/jlms/jdm087。MR2389916号·Zbl 1395.42063号 ·doi:10.1017/fms.2018.11 [31] O.A.GIL’MAN、R.GRIMSHAW和Yu。A.STEPAN’YANTS，平稳Ostrovsky方程的近似解析解和数值解，Stud.Appl。数学。95（1995），第1期，第115-126页。https://dx.doi.org/10.1002/sapm1995951115。1342073加元·Zbl 1433.42010年4月 ·doi:10.4007/年鉴2019.189.3.4 [32] R.GRIMSHAW，旋转流体中弱非线性长内波的演化方程，Stud.Appl。数学。73（1985），第1期，第1-33页。https://dx.doi.org/10.1002/sapm19857311。797556令吉·Zbl 1218.42005号 ·doi:10.1112/jlms/jdm087 [33] G.GUI和Y.LIU，关于具有正色散的Ostrovsky方程的Cauchy问题，Comm.偏微分方程32（2007），编号10-121895-1916。https://dx.doi。org/10.1080/03605300600987314。MR2372492号·Zbl 0843.76008号 ·doi:10.1002/sapm1995951115 [34] 郭斌，霍振中，阻尼强迫奥斯特罗夫斯基方程的全局吸引子，J.Math。分析。申请。329（2007），第1期，392-407。https://dx.doi.org/10.1016/j.jmaa.2006.06。63MR2306810型·Zbl 0572.76102号 ·doi:10.1002/作业19857311 [35] H.HIRAYAMA和M.OKAMOTO，具有导数非线性的非线性薛定谔方程的随机数据Cauchy问题，离散Contin。动态。系统。36（2016），第12期，6943-6974。https://dx.doi.org/10.3934/dcds.2016102。MR3567827型·Zbl 1354.35139号 ·doi:10.3934/dcds.2016102.MR3567827 [36] HUO和Y.JIA，Ostrovsky方程的低正则解，Proc。爱丁堡。数学。Soc.（2）49（2006），第1期，87-100。https://dx.doi.org/10.1017/S0013091504000938。MR2202144型·兹比尔1103.35004 ·doi:10.1017/S0013091504000938.MR2202144 [37] G.HWANG和C.KWAK，广义KdV的概率适定性，Proc。阿默尔。数学。Soc.146（2018），第1期，267-280。https://dx.doi.org/10.1090/proc/13718。3723139英镑·Zbl 1391.35341号 ·doi:10.1090/proc/13718.MR3723139 [38] P.ISAZA和J.MEJíA，低正则性空间中Ostrovsky方程的Cauchy问题，J.微分方程230（2006），第2期，661-681。https://dx.doi.org/10.1016/j.jde。 2006.04.007. MR2269938型·Zbl 1354.35139号 ·doi:10.3934/dcds.2016102 [39] ，Ostrovsky方程的全局Cauchy问题，非线性分析。67（2007），第5期，1482-1503。https://dx.doi.org/10.1016/j.na.2006.07.031。MR2323296型·Zbl 1103.35004号 ·doi:10.1017/S0013091504000938 [40] Ostrovsky方程的局部适定性和定量适定性，非线性分析。70（2009），第6期，2306-2316。https://dx.doi.org/10.1016/j.na.2008.03。10MR2498315号·Zbl 1391.35341号 ·doi:10.1090/proc/13718 [41] ，关于具有负色散的Ostrovsky方程的解的支持，J.Differential Equations 247（2009），no.6，1851-1865。https://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2009.03。222553862令吉·Zbl 1110.35075号 ·doi:10.1016/j.jde.2006.04.007 [42] ，关于具有正色散的Ostrovsky方程解的支持，非线性分析。72（2010），第11期，4016-4029。https://dx.doi.org/10.1016/j.na.2010.01。33MR2606761型·兹比尔1170.35510 ·doi:10.1016/j.na.2008.03.010 [43] C.E.KENIG、G.PONCE和L.VEGA，《振荡积分和色散方程的正则性》，印第安纳大学数学系。J.40（1991），第1期，33-69。https://dx.doi.org/10.1512/iumj.1991。 40.40003. MR1101221型·Zbl 1175.35125号 ·doi:10.1016/j.jde.2009.03.022 [44] ，广义Korteweg-de-Vries方程通过收缩原理的适定性和散射结果，Comm.Pure Appl。数学。46（1993），第4期，527-620。https://dx.doi。org/10.1002/cpa.3160460405。MR1211741型·Zbl 1185.35231号 ·doi:10.1016/j.na.2010.01.033 [45] R.KILLIP、J.MURPHY和M.VISAN，能量临界NLS的几乎必然散射，ra-dial数据低于H 1（R 4），Comm.偏微分方程44（2019），编号1，51-71，网址：https://arxiv.org/abs/arxiv:1707.09051。 https://dx.doi.org/10.1080/03605302。 2018.1541904. MR3933623型·Zbl 0738.35022号 ·doi:10.1512/iumj.1991.40.40003 [46] J.L.LEBOWITZ、H.A.ROSE和E.R.SPEER，非线性薛定谔方程的统计力学，J.Statist。物理学。50（1988年），第3-4期，第657-687页。https://dx.doi.org/10.1007/BF01026495。MR939505型·兹比尔0808.35128 ·doi:10.1002/cpa.3160460405 [47] S.LEE，《关于R 2中薛定谔方程解的逐点收敛性》，《国际数学》。Res.不。（2006年），第32597条，第21页。https://dx.doi.org/10.1155/IMRN/2006/32597MR2264734号·Zbl 1416.35241号 ·doi:10.1080/03605302.2018.1541904年 [48] 李毅，黄建华，阎伟，临界正则条件下负色散Ostrovsky方程的Cauchy问题，《微分方程》259（2015），第4期，1379-1408。https://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2015.03.007。3345855英镑·Zbl 0925.35142号 ·doi:10.1007/BF01026495 [49] F.LINARES和A.米兰埃斯，奥斯特罗夫斯基方程的局部和全局适定性，《微分方程》222（2006），第2期，325-340。https://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2005。 07.023. MR2208048型·Zbl 1089.35061号 ·doi:10.1155/IMRN/2006/32597 [50] R.LUC ali和K.M.ROGERS，Schrödinger最大估计的一个改进的必要条件（2015年6月），预印本，网址：https://arxiv.org/abs/arxiv:1506.05325。 [51] 《分形上的相干性与薛定谔方程的逐点收敛》，Comm.Math。物理学。351（2017），第1期，341-359。https://dx.doi.org/10.1007/s00220-016-2722-8。MR3613507型·Zbl 1331.35092号 ·文件编号：10.1016/j.jde.2015.03.007 [52] J.LüHRMANN和D.MENDELSON，R 3上幂型非线性波动方程的随机数据Cauchy理论，Comm.偏微分方程39（2014），第12期，2262-2283。https://dx.doi.org/10.1080/03605302.2014.933239。3259556令吉·Zbl 1089.35061号 ·doi:10.1016/j.jde.2005.07.023 [53] C.MIAO，J.YANG，J.ZHENG，2D分数阶Schrödinger算子的改进最大不等式，Studia Math。230（2015），第2期，121-165。https://dx.doi.org/10。4064/sm8292-1-2016。3476484英镑·Zbl 1343.42027号 ·doi:10.4064/sm8292-1-2016.MR3476484 [54] C.MIAO、J.ZHANG和J.ZHENG，具有反平方势的薛定谔方程的最大估计，太平洋数学杂志。273（2015），第1期，第1-19页。https://dx.doi.org/10.2140/pjm。 2015.273.1. 3290442马来西亚令吉·Zbl 1309.35103号 ·doi:10.2140/pjm.2015.273.1.MR3290442 [55] A.MOYUA，A.VARGAS，和L.VEGA，Schrödinger极大函数和傅里叶变换的限制性质，国际。数学。第16号决议公告（1996），793-815。网址：https://dx.doi.org/10.1155/S1073792896000499。MR1413873型·Zbl 1353.47116号 ·doi:10.40064/sm8292-1-2016 [56] A.MOYUA和L.VEGA，与一维色散方程周期解相关的最大函数的界，布尔。伦敦。数学。Soc.40（2008），第1期，117-128。https://dx.doi.org/10.112/blms/bdm096。MR2409184型·Zbl 1309.35103号 ·doi:10.2140/pjm.2015.273.1 [57] J.MURPHY，L2中质量次临界NLS的随机数据最终状态问题，Proc。阿默尔。数学。Soc.147（2019），第1期，339-350。https://dx.doi.org/10.1090/proc/14275MR3876753型·Zbl 0868.35024号 ·doi:10.1155/S107379289600499 [58] A.R.NAHMOD、T.OH、L.REY-BELLET和G.STAFFILANI，周期导数NLS的不变加权维纳测度和几乎确定的全局适定性，J.Eur.数学。Soc.（JEMS）14（2012），第4期，1275-1330。https://dx.doi.org/10.4171/JEMS/333。MR2928851型·Zbl 1146.35020号 ·doi:10.1112/blms/bdm096 [59] A.R.NAHMOD、N.PAVLOVI cch和G.STAFFILANI，超临界Navier-Stokes方程几乎肯定存在整体弱解，SIAM J.Math。分析。45（2013），第6期，3431-3452。https://dx.doi.org/10.1137/120882184。3131480马来西亚令吉·Zbl 1406.35366号 ·doi:10.1090/proc/14275 [60] A.R.NAHMOD和G.STAFFILANI，能量空间下周期性3D五次非线性薛定谔方程的几乎可以肯定的适定性，J.Eur.Math。Soc.（JEMS）17（2015），第7期，1687-1759。https://dx.doi.org/10.4171/JEMS/543。MR3361727型·Zbl 1251.35151号 ·doi:10.4171/JEMS/333 [61] T.OH、M.OKAMOTO和O.POCOVNICU，关于具有非代数非线性的非线性薛定谔方程的概率适定性，离散Contin。动态。系统。39（2019），编号6，3479-3520，可在https://arxiv.org/abs/arxiv:1708.01568。 https://dx。doi.org/10.3934/dcds.2019144。MR3959438号·兹比尔1355.76018 ·doi:10.1137/120882184 [62] T.OH和O.POCOVNICU，R3上能量临界离焦五次非线性波动方程的概率全局适定性，J.Math。Pures应用程序。（9） 105（2016），第3期，342-366（英文，附英文和法文摘要）。https://dx.doi.org/10.1016/j.matpur。 2015.11.003. MR3465807号·Zbl 1326.35353号 ·doi:10.4171/JEMS/543 [63] L.A.OSTROVSKII，旋转海洋中的非线性内波，Okeanologiya 18（1978），181-191。 [64] R.PALEY和A.ZYGMUND，关于一些函数系列，第1版。外倾角。菲洛斯。Soc.26（1930），第3期，337-357。https://doi.org/10.1017/S0305004100016078。 ·doi:10.1017/S0305004100016078 [65] ，关于一些函数系列，2，Proc。外倾角。菲洛斯。Soc.26（1930），第4期，458-474·Zbl 1343.35167号 ·doi:10.1016/j.matpur.2015.11.003 [66] https://doi.org/10.1017/S0305004100016212。 ·Zbl 1343.35167号 ·doi:10.1016/j.matpur.2015.11.003 [67] ，关于一些函数系列，3，Proc。外倾角。菲洛斯。Soc.28（1932），编号2190-205·Zbl 0006.19802号 [68] https://doi.org/10.1017/S0305004100010860。 ·doi:10.1017/S0305004100010860 [69] O.POCOVNICU，Rd上能量临界散焦非线性波动方程的几乎确定全局适定性，d=4和5，《欧洲数学杂志》。Soc.（JEMS）19（2017），第8期，2521-2575。https://dx.doi.org/10.4171/JEMS/723。3668066奈米·Zbl 1375.35278号 ·doi:10.1017/S0305004100016078 [70] S.SHAO，关于薛定谔极大算子的局部化（2019年6月），预印本，网址：https://arxiv.org/abs/arxiv:arxiv:1006.2787v1。 ·doi:10.1017/S0305004100016212 [71] P.SJLIN，薛定谔方程解的正则性，杜克数学。J.55（1987），第3期，699-715。https://dx.doi.org/10.1215/S0012-7094-87-05535-9 . 904948美元·doi:10.1017/S0305004100010860 [72] K.TSUGAWA，Ostrovsky方程的井位性和弱旋转极限，《微分方程》247（2009），第12期，3163-3180。https://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2009.09。9MR2571572型·Zbl 1375.35278号 ·doi:10.4171/JEMS/723 [73] T.TAO，抛物面的双线性限制估计，Geom。功能。分析。13（2003），第6期，1359-1384。https://dx.doi.org/10.1007/s00039-003-0449-0。MR2033842型·Zbl 1068.42011号 [74] T.TAO和A.VARGAS，圆锥乘数的双线性方法。二： 应用，Geom。功能。分析。10（2000），第1期，216-258。https://dx.doi.org/10.1007/s000390050007。1748921先生·Zbl 0949.42013号 ·doi:10.1007/s000390050007.MR1748921 [75] L.VEGA，薛定谔方程：点态收敛到初始数据，Proc。阿默尔。数学。Soc.102（1988），第4期，874-878。https://dx.doi.org/10.2307/2047326。MR934859型·Zbl 0654.42014号 ·doi:10.2307/2047326.MR934859 [76] V.VARLAMOV和Y.LIU，Ostrovsky方程的Cauchy问题，离散Con-tin。动态。系统。10（2004），第3期，731-753。https://dx.doi.org/10.3934/dcds.2004.10。731MR2018877型·Zbl 1059.35035号 ·doi:10.3934/dcds.2004.10.731.MR2018877 [77] X.WANG和C.ZHANG，流形上薛定谔方程解的点态收敛性，加拿大。数学杂志。71（2019），第4期，983-995。https://dx.doi.org/10.4153/cjm-2018-001-4。3984026马来西亚令吉·兹伯利0949.42013 ·doi:10.1007/s000390050007 [78] 阎伟，李毅，黄建华，段建安，正离散Ostrovsky方程的Cauchy问题，NoDEA非线性微分方程应用。25（2018），第3期，第22号论文，第37页。https://dx.doi.org/10.1007/s00030-018-0514-x。MR3805879型·Zbl 1059.35035号 ·doi:10.3934/dcds.2004.10.731 [79] 张长川，薛定谔型方程解的点态收敛性，非线性分析。109 (2014), 180-186. https://dx.doi.org/10.1016/j.na.2014.06.019。MR3247302型·Zbl 1421.35312号 ·doi:10.4153/cjm-2018-001-4 [80] 张涛，方迪，不可压缩三维Navier-Stokes方程的随机数据Cauchy理论，Proc。阿默尔。数学。Soc.139（2011），第8期，2827-2837。https://dx。doi.org/10.1090/S0002-9939-2011-10762-7。MR2801624号·Zbl 1421.35312号 ·doi:10.4153/cjm-2018-001-4 [81] ，广义不可压缩Navier-Stokes方程的随机数据Cauchy理论，J.Math。流体力学。14（2012），编号2311-324。https://dx.doi.org/10.1007/s00021-011-0069-7。MR2925111型·Zbl 1394.35380号 ·doi:10.1007/s00030-018-0514-x 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。