约翰·米尔茨;迈克尔·乌尔布里希 风险中性半线性PDE约束优化的样本容量估计。 （英文） Zbl 07817041号 SIAM J.Optim公司。 34，编号1，844-869（2024）. 摘要：将样本平均逼近（SAA）方法应用于由随机输入的半线性椭圆偏微分方程控制的风险中性优化问题。在构造了一个包含SAA临界点的紧集之后，我们使用覆盖数方法导出了SAA临界点非共态样本容量估计。因此，我们通过SAA临界点导出了获得风险中性PDE约束优化问题的精确临界点所需样本数量的上限。我们使用期望值和指数尾界来量化准确性。给出了数值示例。 MSC公司： 90立方厘米15 随机规划 90立方 非线性规划 90C60型 数学规划问题的抽象计算复杂性 49J20型 偏微分方程最优控制问题的存在性理论 49J55型 随机性问题最优解的存在性 49公里45 随机问题的最优性条件 49K20型 偏微分方程问题的最优性条件 第35页第61页 半线性椭圆方程 关键词：随机优化;不确定性下PDE约束优化;样本平均近似;蒙特卡罗抽样法;样本复杂性;不确定性量化 软件：FEniCS公司;SyFi系统;杜芬伴随物;github PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Milz}和\textit{M.Ulbrich}，SIAM J.Optim。34，编号1，844--869（2024；Zbl 07817041） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Alns，M.s.、Blechta，J.、Hake，J.，Johansson，A.、Kehlet，B.、Logg，A.、Richardson，C.、Ring，J.和Rognes，M.E.，以及Wells，G.N.，FEniCS项目1.5版，架构。数字。软件，3（2015），第9-23页，doi:10.11588/ans.2015.100.20553。 [2] Aubin，J.-P.和Frankowska，H.，集值分析，Springer，Boston，2009，doi:10.1007/978-0-8176-4848-0·Zbl 1168.49014号 [3] Bauschke，H.H.和Combettes，P.L.，希尔伯特空间中的凸分析和单调算子理论，Springer，纽约，2011，doi:10.1007/978-1-4419-9467-7·Zbl 1218.47001号 [4] Benner，P.、Dolgov，S.、Onwunta，A.和Stoll，M.，受随机Navier-Stokes方程约束的最优控制问题的低秩解，国际。J.数字。方法流体，92（2020），第1653-1678页，doi:10.1002/fld.4843。 [5] 伯曼，M.Š。和Solomjak，M.Z.，类\（W_p^\alpha\）函数的分段多项式逼近，数学。苏联Sb.，2（1967），第295-317页，doi:10.1070/sm1967v002n03abeh002343。 [6] 伯曼，M.Š。和Solomjak，M.Z.，《Sobolev嵌入定理的定量分析及其在谱理论中的应用》，AMS，Providence，RI，1980年，由F.A.Cezus从俄语翻译，doi:10.1090/trans2/114·Zbl 0426.46020号 [7] Bonnans，J.F.和Shapiro，A.，优化问题的扰动分析，Springer，纽约，2000年，doi:10.1007/978-1-4612-1394-9·Zbl 0966.49001号 [8] 《偏微分方程控制的系统的计算优化》，Borz，A.和Schulz，V.著，SIAM，费城，2011年，doi:10.1137/1.9781611972054·Zbl 1240.90001号 [9] Boucheron，S.、Lugosi，G.和Massart，P.，《浓度不等式：独立性的非渐近理论》，牛津大学出版社，牛津，2013年，doi:10.1093/acprof:oso/9780199535255.001.0001·Zbl 1279.60005号 [10] Buldygin，V.V.和Kozachenko，Yu。V.，随机变量和随机过程的度量表征，AMS，Providence，RI，2000，V.Zaiats翻译，doi:10.1090/mmono/188·兹比尔0998.60503 [11] Casas，E.，Herzog，R.和Wachsmuth，G.，具有\（L^1\）代价函数的双线性椭圆控制问题的最优性条件和误差分析，SIAM J.Optim。，22（2012），第795-820页，doi:10.1137/10834366·Zbl 1278.49026号 [12] Chen，M.、Mehrotra，S.和Papp，D.，通过稀疏网格方法生成随机优化问题的场景，计算。最佳方案。申请。，62（2015），第669-692页，doi:10.1007/s10589-015-9751-7·Zbl 1331.90043号 [13] Conway，J.B.，《函数分析课程》，纽约斯普林格，1985年，doi:10.1007/978-1-4757-3828-5·Zbl 0558.46001号 [14] Cucker，F.和Smale，S.，《关于学习的数学基础》，Bull。阿默尔。数学。Soc.（N.S.），39（2002），第1-49页，doi:10.1090/S0273-0979-01-00923-5·兹伯利0983.68162 [15] Dontchev，A.L.和Zolezzi，T.，《井位优化问题》，Springer，Berlin，1993年，doi:10.1007/BFb0084195·Zbl 0797.49001号 [16] Edmunds，D.E.和Triebel，H.，《函数空间，熵数，微分算子》，剑桥大学出版社，1996年，doi:10.1017/CBO9780511662201·Zbl 0865.46020号 [17] Foucart，S.和Rauhut，H.，压缩传感的数学介绍，Birkhäuser，Bosten，2013，doi:10.1007/978-0-8176-4948-7·Zbl 1315.94002号 [18] Funke，S.W.和Farrell，P.E.，自动化PDE约束优化框架，预打印，https://arxiv.org/abs/1302.3894, 2013. 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