不同x的π（x）和Δ（x）值

这些表格由安德烈·V·库尔沙（Andrey V.Kulsha）编制。请参见在下面Δ（x）的解释。

x的值	桌子			Δ（x）的局部极小值	Δ（x）的局部最大值
1到10	步骤10^-3	步骤10^-4	步骤10^-5	Δ(5-0) = -0.3952461978	Δ(1+0) = +1.0000000000
10¹到10²	步骤10^-2	步骤10^-3	步骤10^-4	Δ(11-0) = -0.5492343329	Δ(19+0) = +0.5607597113
10²到10^三	步骤10^-1	步骤10^-2	步骤10^-3	Δ(223-0) = -0.6051733874	Δ(113+0) = +0.7848341482
10^三到10⁴	步骤1	步骤10^-1	步骤10^-2	Δ(1423-0) = -0.7542604400	Δ(1627+0) = +0.6754517455
10⁴到10⁵	步骤10¹	步骤1	步骤10^-1	Δ(19373-0) = -0.7278356754	Δ(24137+0) = +0.7457431860
10⁵到10⁶	步骤10²	步骤10¹	步骤1	Δ(302831-0) = -0.6995719492	Δ(355111+0) = +0.7008073861
10⁶到10⁷	步骤10^三	步骤10²	步骤10¹	Δ(1090697-0) = -0.6389660809	Δ(3445943+0) = +0.6809987397
10⁷到10⁸	步骤10⁴	步骤10^三	步骤10²	Δ(36917099-0) = -0.7489165055	Δ(30909673+0) = +0.7157292126
10⁸到10⁹	步骤10⁵	步骤10⁴	步骤10^三	Δ(516128797-0) = -0.6775687236	Δ(110102617+0) = +0.7878100197
10⁹到10¹⁰	步骤10⁶	步骤10⁵	步骤10⁴	Δ(7712599823-0) = -0.6889577485	Δ(1110072773+0) = +0.6833192028
10¹⁰到10¹¹	步骤10⁷	步骤10⁶	步骤10⁵	Δ(11467849447-0) = -0.7251609705	Δ(10016844407+0) = +0.6386706267
10¹¹到10¹²	步骤10⁸	步骤10⁷	步骤10⁶	Δ(110486344211-0) = -0.7355462679	Δ(330957852107+0) = +0.7533813432
10¹²到10¹³	步骤10⁹	步骤10⁸	步骤10⁷	Δ(1635820377397-0) = -0.6892596608	Δ(2047388353069+0) = +0.6808028098
10¹³到10¹⁴	步骤10¹⁰	步骤10⁹	步骤10⁸	Δ(36219717668609-0) = -0.8360329846	Δ(21105695997889+0) = +0.6896466780
10¹⁴到10¹⁵	步骤10¹¹	步骤10¹⁰	步骤10⁹	Δ(348323506633621-0) = -0.6494959371	Δ(117396942462053+0) = +0.6789107425
10¹⁵到10¹⁶	步骤10¹²	步骤10¹¹	步骤10¹⁰	Δ(1212562524413153-0) = -0.7750460589	Δ(1047930291039067+0) = +0.7042622330
10¹⁶到10¹⁷	步骤10¹³	步骤10¹²	步骤10¹¹	Δ(18019655286689201-0) = -0.5710665212	Δ(16452596773450399+0) = +0.7144542025
10¹⁷到10¹⁸	步骤10¹⁴	步骤10¹³	步骤10¹²	Δ(266175790131587543-0) = -0.7599282036	Δ(125546149553907317+0) = +0.6572554320
10¹⁸到10¹⁹	步骤10¹⁵			Δ(5805523423155128399-0) = -0.6804259482	Δ(1325005986250807813+0) = +0.7839983342
10¹⁹到10²⁰	步骤10¹⁶			Δ(55496658217283199013-0) = -0.8042730098	Δ(11538454954199984761+0) = +0.7574646817
10²⁰到10²¹	步骤10¹⁸			（待办）	（待办）
10²¹+	214个条目			Δ（x）没有全局最小值	Δ（x）没有全局最大值

x<10时π（x）的值¹⁷大部分都是经过计算的具有原筛由Kim Walisch和也有用一个步骤，共10步⁹（完全双重检查）。数据编码为连续四舍五入值之间的2字节差异流（π（x）-li（x））·3/2，并提供一个小的delphi程序来获得纯文本文件。乘数3/2并不能消除差异2字节范围[-32768…+32767]，并允许使用绝对值计算li（x）误差高达1/6，因此具有扩展精度的Ramanujan方法工作良好至少对于x<10¹⁸.

10的π（x）值¹⁷≤x≤10²⁰取自[1]。

10的π（x）值²⁰<x<10²¹是使用计算素数作者：Kim Walisch。

x≥10时π（x）的值²¹取自[1]、[2]还有斯隆的A006988号,A007097号。另请参阅1月的结果Büthe[3]、David J.Platt[4]、Thomas R.Nicely[5]和Xavier Gourdon[6].

|Δ（x）|超过0.75的一些极端区域

x的值	桌子	#条，共条
从1.100·10⁸至1.102·10⁸步长为10¹	最大08（01）09.txt	20 001
自2010年3月30日¹¹至3.310·10¹¹步长为10⁴	最大11（04）12.txt	10 001
自3.309578·10¹¹至3.309580·10¹¹步长为10¹	最大11（01）12.txt	20 001
从3.590·10¹³至3.625·10¹³步长为10⁷	最小13（07）14.txt	35 001
自3.62194·10¹³至3.62200·10¹³步长为10⁴	最小13（04）14.txt	60 001
来自3.62197176·10¹³至3.62197178·10¹³步长为10¹	最小13（01）14.txt	20 001
自1.212·10¹⁵至1.214·10¹⁵步长为10⁸	最小15（08）16.txt	20 001
自1.212556·10¹⁵至1.212565·10¹⁵步长为10⁵	最小15（05）16.txt	90 001
自1.212562517·10¹⁵至1.212562526·10¹⁵步长为10²	最小15（02）16.txt	90 001
从3.2949·10开始¹⁵至3.2957·10¹⁵步长为10⁷	最小15（07）16.txt	80 001
自2.6615·10¹⁷至2.6635·10¹⁷步长为10¹⁰	最小17（10）18.txt	20 001
自2.661751·10¹⁷至2.661760·10¹⁷步长为10⁷	最小17（07）18.txt	90 001
自2.6617579011·10¹⁷至2.6617579017·10¹⁷步长为10^三	最小17（03）18.txt	60 001
从1.3245·10开始¹⁸至1.3260·10¹⁸步长为10¹¹	最大18（11）19.txt	15 001
从1.3250059·10开始¹⁸至1.3250067·10¹⁸步长为10⁷	最大18（07）19.txt	80 001
来自1.32500598624·10¹⁸至1.32500598626·10¹⁸步长为10^三	最大18（03）19.txt	20 001
自1.1536·10¹⁹至1.1542·10¹⁹步长为10¹¹	最大19（11）20.txt	60 001
自1.15384544·10¹⁹至1.15384551·10¹⁹步长为10⁷	最大19（07）20.txt	70 001
来自1.153845497419·10¹⁹至1.153845497421·10¹⁹步长为10^三	最大19（03）20.txt	20 001
自5.5496655·10¹⁹至5.5496662·10¹⁹步长为10⁸	最小19（08）20.txt	70 001
来自5.54966582172·10¹⁹至5.54966582174·10¹⁹步长为10⁴	最小19（04）20.txt	20 001

这些结果证实了之前进行的一些计算[7][8]。另见[9]和[10]，关于Δ（x）在较大x处的振荡。

Δ（x）来自哪里？

素数计算函数π（x）可以用解析方法计算。这个它的显式公式对x>1有效，如下所示

$\pi_0}（x）=\mathrm{R}$

哪里

$\pi{0}（x）=\lim{\varepsilon\rightarrow0}\frac{\pi$

$\矩阵{R}（x^\rho）=1+\sum_{k=1}^\infty\frac{（rho\lnx）^k}{k！k\zeta（k+1）}$

和在非平凡（即正实部）零上运行Riemannζ函数的绝对值假想部分。这个和描述了π（x）的波动，而其余术语给出了其中的«平滑»部分，可以用作π（x）的很好估计：

Pi（x）的平滑部分

这里可以看到π（x）（紫色线）与蓝色线的对比图

$\mathrm{R}（x）-\frac{1}{\lnx}+\frac}{\pi}\arctan\frac[\pi}{\linx}$

这两种启发性振荡之间的差异振幅约为

$\压裂{\sqrt x}{\ln x}$

因此，我们得到了Δ（x）的以下表达式，该函数清楚地表示素数分布的波动：

$\Delta（x）=\左（\pi_{0}（x）-\mathrm{R}（x）+\frac{1}{\lnx}-\frac}1}{\ti}\arctan\frac[\pi}{\linx}\right）\frac\\lnx}{\sqrt-x}$

对数刻度上有Δ（x）的曲线图：

对数刻度上的增量（x）

在[11]和[12]中给出了Δ（x）的对数密度的一些估计。

关于π（x）的显式公式

奇怪的是，这个公式似乎从未在文献中出现过[13]，所以让我们描述一下它的起源。这个公式来自于Möbius反演

$\pi_{0}（x）=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu（n）}{n}\pi_{0{（x^{\frac}{n{}）$

属于

$\Pi_{0}（x）=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{\Pi（x-\varepsilon）+\Pi$

哪里

$\Pi（x）=\sum_{p^n\lex}\frac{1}{n}=\sum_{n=1}^{infty}\frac{1}{n}\Pi（x^{\frac}{n{}}）$

是所谓的黎曼素数函数（第一个和超过素数的幂）。∏的表达式如下₀（x）【13】：

$\Pi_{0}（x）=\mathrm{li}（x）-\sum_{\rho}\mathrm{li}（x^{\rho}）-\ln2+\int\limits_x^\infty\frac{dt}{t（t^2-1）\lnt}$

其中li是对数积分；li（x^ρ)应该是考虑为Ei（ρlnx），其中Ei是从正实到复平面的指数积分函数树枝沿着负界切开。和以前一样，总和在ζ函数的非平凡零点也是如此。因此，公式直接从这四个等式得出：

$\sum{n=1}^{\infty}\frac{\mu（n）}{n}=0$

$\sum_{n=1}^{infty}\frac{\mu（n）}{n}\mathrm{li}（x^{frac{1}{n{}}）=\mathrm{R}（x）$

$\sum_{n=1}^{infty}\frac{\mu（n）}{n}\left（-\frac}n}{2\lnx}+\int\limits_{x^{1/n}}^{infty}\ frac{dt}{t（t^2-1）\lnt}\right）=\frac{1}{pi}\arctan\frac{\pi}{\lnx}$

$\sum{n=1}^{infty}\frac{\mu（n）}{n}\left（\sum{\rho}\mathrm{li}（x^{\frac}\rho{n}}）-\ frac{n}{2\lnx}\right）=\sum{\rho}\mathrm{R}（x^{\rhoS}）+\ frac}{1}{\lnx}$

前两个是众所周知的[14]；第三个直接来了从[15]中的（32）开始，而如果我们允许广义求和，最后一个是显而易见的

$\sum{n=1}^{\infty}\mu（n）=\frac{1}{\zeta（0）}=-2$

工具书类

[1]托马斯·奥利维拉·席尔瓦。 pi（x）和pi2（x）值表.http://sweet.ua.pt/tos/primes.html

[2]道格拉斯·B·斯塔普。 素数计数功能记录。 http://www.mersenneforum.org/showthread.php？t=19863

[3]简·比瑟。 π（x）的解析计算。 http://www.math.uni-bonn.de/people/jbuethe/topics/AnalyticPiX.html

[4]大卫·J·普拉特。 分析计算π（x）。 http://arxiv.org/abs/203.5712

[5]托马斯·R·尼切利。 素数pi（x）到1e16的表.http://www.trnicely.net/pi/pix_0000.htm

[6]泽维尔·古尔登（Xavier Gourdon）。 计算素数.http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/countingPrimes.html

[7]努娜·达·科斯塔·佩雷拉。 一些素数函数的计算结果.http://mat.fc.ul.pt/ind/ncpereira网站/

[8]泰迪·科特尼克。 素数函数及其解析逼近高级Comp。数学。，第29卷，第1期（2008年），第55-70页

[9]道格拉斯·A·斯托尔（Douglas A.Stoll），帕特里克·德米切尔（Patrick Demichel）。 对于x<10，ζ（s）复零点对π（x）-li（x）的影响^10¹³。数学。压缩机。，第80卷，N.276（2011），第2381-2394页。

[10]帕特里克·德米切尔。 素数计数函数及相关主题.http://sites.google.com/site/dmlpat2/li_crossover_pi.pdf

[11]迈克尔·鲁宾斯坦（Michael Rubinstein）、彼得·萨纳克（Peter Sarnak）。 切比雪夫的偏见.实验。数学。，第3卷第3期（1994年），第173-197页

[12]科林·迈尔斯咳嗽。 精确余项在剩余类分布计算中的应用将在《数学》杂志上发表。公司。

[13]乔纳森·博文（Jonathan M.Borwein）、戴维·布拉德利（David M.Bradley）、理查德·克兰德尔（Richard E.Crandall）。 黎曼-泽塔函数的计算策略J.公司。应用程序。数学。，第121卷（2000年），第247-296页

[14]爱德华兹阁下。 黎曼Zeta函数.学术出版社，1974年

[15]Hans Riesel，Gunnar Gohl。 关于黎曼素数公式的一些计算。数学。压缩机。，第24卷，N.112（1970），第969-983页

于2016年12月31日星期六更新