此处给出的列表计数适用于以下多面体 在拓扑上 不同。 因为允许的拓扑变换是 相对于平面(或点)的对称性,两者不同 镜像 手性的 多面体不被视为独特的。 例如,有一个 (而且只有一个) 手性的 六面体( 四方抗磨 有4个三角形面和两个正方形面)。 如果 正方反楔 被计算为不同的,将有3个多面体 具有6个面和6个顶点(而不是2个,包括 五角形金字塔 ), 而且会有 8 六面体 (而不是7)。 同样,有11个手性七面体:3个有7个顶点,5个有8个顶点,2个有9个顶点 一个具有10个顶点的单一手性七面体(如果计算出不同的手性 作为独特的多面体,将有45个七面体,而不是34个)。 - The
二元性 多面体使这张桌子对称。 任何多面体的边 可以考虑连接两个 面孔 而不是两个 顶点 . 以这种方式交换面和顶点的角色可以得到两个多面体 据说是 二重的 彼此之间。 (手性多面体的对偶是手性的, 因为如果不是的话, 它的 对偶(即原始多面体)不会是手性的。) 例如 凸面的 多面体 相等的 其面由两种或两种以上不同类型的规则多边形组成的顶点是 打电话 阿基米德多面体 。它们的对偶称为 加泰罗尼亚固体 . (多面体的两个节点称为 相等的 当一个匹配 一些中的其他 对称 多面体。) 每个 节点 (面或顶点)由至少3条边和每条边连接 正好连接2个节点。 这意味着边缘数E的两倍必须至少为 等于节点数V(或F)的三倍。 笛卡尔-欧拉公式V-E+F=2意味着2(V+F-2)至少等于3V或3F。 这可以用两个不等式重写: (V-4) £ 2(F-4)和 (F-4) £ 2(V-4)。 这解释了为什么上表只列出了 斜率2和1/2的两条“线”之间的非零条目。。。 当上述不等式之一是等式时,我们有一个多面体,其中 所有节点的阶数为3(多面体称为a 简单的 多面体) 或者所有的面都是三角形,这样的多面体有时被称为 (不规则) 三角多面体 (术语 三角多面体 其本身通常意味着 等边面; 只有8个 凸面的 常规deltahedra)。 具有n个节点的单纯形多面体的数量是已知的,其值比 上表的范围。
从n=4开始,顺序为: 1, 1, 2, 5, 14, 50, 233, 1249, 7595, 49566, 339722, 2406841, 17490241, 129664753, 977526957, 7475907149, 57896349553, 453382272049 ... 与上述相邻的序列( 内部的 border)对应 到具有2n-5个顶点的n面体(所有顶点都是3度, 除了4度的一个)。 “其他”内边界对应于 具有n个顶点和2n-5个面(一个四边形和 2n-6个三角形)。
从n=5开始,顺序为: 1, 2, 8, 38, 219, 1404, 9714, 70454, 527235, 4037671, 31477887, 249026400, 1994599707, 16147744792, ... 具有n个节点和n个面的多面体的数量也已知 如表所示。
从n=4开始,序列为:1,1,2,8,42,296,2635, 25626, 268394, 2937495, 33310550, 388431688, 4637550072, 56493493990, 700335433295, ... 具有n+1个节点的n面体的数量也是如此。
从n=4开始,顺序为:0,1,2,11,74,633,6134, 64439, 709302, 8085725, 94713809, 1134914458, 13865916560, 172301697581, 2173270387051, ... 具有n条边的多面体的数量大致由经验公式给出 公式(n-6) (n-8)/3 .
从n=6开始,顺序为: 1, 0, 1, 2, 2, 4, 12, 22, 58, 158, 448, 1342, 4199, 13384, 43708, 144810, 485704, 1645576, 5623571, 19358410, 67078828, 233800162, 819267086, 2884908430, 10204782956, 36249143676, 129267865144, 462669746182, 1661652306539, 5986979643542, ... 最后,n面体的总数为 非常 大约2/3(n-3)! (n-5)(n-8)。
从n=4开始,顺序为:1、2、7、34、257、2606、32300、440564、6384634、, 96262938, 1496225352, 23833988129, 387591510244, 6415851530241, 107854282197058, ...