对于任何正整数N，序列S公司我可以通过放置 S公司0=N个
以及所有人i>0：
| S公司我=Si-1号机组/ 2 |
如果S公司i-1号机组是偶数
|
| S公司我=Si-1号机组* 3 + 1 |
如果S公司i-1号机组很奇怪
|
后一个公式通常为序列命名，这个3倍+1问题，有时也称为Collatz问题，雪城问题或其他名称。因此，对于N=13，我们发现S公司0=13，S1=40，S2=20，S三=10，S4= 5S公司5=16，S6=8，S7=4，S8=2，S9=1，S10= 4
从现在开始，这个过程将重复。注：虽然在流程应用于本页处理的负整数积极的只有整数，也称为自然数。因此，本页上的所有结果都应理解为参考仅限自然数。
我们现在定义
- Mx（牛顿）
- Mx（N）=极限k→∞最大值（S0,S公司1, ..., S公司k个)
- 锰（N）
- Mn（N）=lim k→∞最小值（S0,S公司1, ..., S公司k个)
因此，我们将调用任何正整数
- 收敛
- 如果Mn（N）=1
- 发散的
- 如果Mx（N）不存在
- 循环（Cyclic）
- 否则
没有已知的可能发散的正整数N，因此我们到达广为相信但尚未证实的地方：
- 猜想1a：（弱3x+1猜想）
- 没有整数N是发散的。
存在严重迹象，但除了简单的4-2-1循环外，没有其他循环循环存在。事实上，众所周知，任何其他循环都必须至少包含大量元素。请参阅循环第页查找确切数字以及他们如何从问题的当前状态出发。因此，陈述并非不合理
- 猜想1b：（强3x+1猜想）
- 所有正整数N都是收敛的。
这一推测至今尚未得到证实。虽然这方面的大多数作者主要关注的是证明猜想1b，在这些页面上，我们将从这里开始假设猜想1b成立并研究3x+1序列的一些其他属性。
- 滑翔机
- 对于任意正整数N>1，设k为其中的最小指数S公司k个<否。
我们将称k为滑翔机并将其写为G（N）。
计算任何正整数的Glide等于显示它是收敛，只要已知所有较小的数也是收敛的。因此，我们可以将推测1b重述如下：
- 猜想1b：（强3x+1猜想，重述）
- 所有正整数N>1都有一个有限滑动
这个推测显然也没有得到证实。然而Terras公司证明了一个非常重要但较弱的定理：
- 定理（Terras）：
- 几乎所有的正整数N都有有限的Glide。
关于这个定理的非正式证明，请看Terras定理页面
从序列的定义中可能无法立即看出必须存在任意高的Glides。但请注意$N=2^{p} -1个$p>1$的$将具有$S_{2}=3*2^{p-1}-1$，因为$S_2$是奇数：$S_4=3*3*2^{p-2}-1$，最终$S_{2p}=3^{p} -1个$.
因此，至少$2p$的$S_i$不会低于$N$，因此$G（N）>2p$。
尽管Glides是无界的，但要找到一个截然不同的命题$G（N）\gt k$的最小数字。对于任何给定的$k$。
- 滑翔记录
- 正整数N称为滑翔记录
如果所有$M\lt N$都有$G（M）\lt G（N）$
跳过第一个滑行记录中的琐碎数字1和2N=3 G（N）=6N=7 G（N）=11N=27克（N）=96N=703 G（N）=132
等等。作者计算了一段时间内的Glides，迄今为止发现的滑翔记录见滑翔记录表.
- 延迟
- 对于任何正整数N，让k是其中的最低指数$S_k=1$。
我们将称k为延迟并将其写成$D（N）$。
- 延迟记录
- 正整数N称为延迟记录
如果所有$M\lt N$都有$D（M）\lt D（N）$。
为了找到延误记录，我们进行了长时间的计算。所有当前已知的延迟记录都在延迟记录表.
注意：要自己计算任何数字的延迟，请尝试3x+1计算器页面.
- 残留
- 对于任何正整数$N$，让$E（N）$和$O（N）@表示从$S_0$到的元素$S_{D（N）-1}$偶数或奇数，分别是。显然$O（N）+E（N）=D（N）$.
现在，由于序列的构造，我们可以写
$2^{E（N）}=3^{O（N）{*N*Res（N）$
其中$Res（N）$是等于
$（1+1/（3*S_i））$对于$0≤i\lt D（N）$，接管奇数元素$S_i$。
我们将称$Res（N）$为残留第页，共N页。
事实证明，$Res（N）$通常很小，而且通常是谎言在1.10和1.25之间。因此，建议
- 猜想2a：（弱剩余猜想）
- 存在一个数字$Res_{max}$，对于每个正整数
$Res（N）\lt Res_{max}$。
但有严重迹象表明可以推测：
- 猜想2b：（强剩余猜想）
- 对于所有$N:Res（N）≤Res（993）$。
要获得支持这一推测的证据，请查看残数页.无论猜想2b是真是假，我们从现在开始假设最小猜想2a成立，而且$Res_｛max｝\ll 6$。
假设猜想1b成立，我们可以将正整数分为延迟类$DC _k（k=0,1,2,3…）$，其中表示整数$N$属于$D（N）$类。
我们注意到，对于$N=2^k美元$我们有D（N）=k$。
- 课堂记录
- 延迟类$DC_k的最低元素$被称为its课堂记录，用$R_k$表示。
连续课堂的课堂记录通常是“相关的”，较低的一个出现在较高的一个的序列中。假设猜想2a成立，而$Res_{max}\lt 6$为：
- 定理2：
- 设$R_k$和$R_{k+1}$是的记录延迟等级分别为$k$和$k+1$。
然后$O（R_k）\le O（R{k+1}）$和$E（R_k）\le E（R_{k+1}）$。
- 证明：
- 设$R_k$和$R_{k+1}$分别是类$k$和类$k+1$的记录。
假设$O（R_k）-O（R{k+1}）=x$，$x\gt 0美元。那么$R_{k+1}/R_k$等于2^{x+1}*3^x*分辨率（R_k）/分辨率（R_{k+1}）$对于正$x$，它肯定是$\gg 2$。
因为$N=2*R_k$有延迟$k+1$并且小于$R_{k+1}$，这意味着$R{k+1}$将不是类记录。
因此$O（R_k）\le O（R{k+1}）$。假设$E（R_k）-E（R_{k+1}）=x$，$x\gt 0$。然后$R_k/R_{k+1}$等于$2^x*3^{x+1}*Res（R_{k+1}）/Res（R_k）$哪个代表阳性x绝对是$\gg 3$。
由于$N=3*R_{k+1}+1$或$N=R_{k+1}/2$具有延迟$k$，并且两者都小于$R_k$，这意味着$R_k$将不是类记录。
因此$E（R_k）\le E（R{k+1}）$。
从上述结果我们可以很容易地得出
- 定理3：
- 让$N$成为任何完整性记录。
那么$N$也是一个班级记录。
- 证明：
- 假设存在一个数字$M\lt N$，其中$D（M）=D（N）$。
•如果$O（M）=O（N）$，则$E（M）=E（N）美元，则$C（M）=C（N）$，因此$N$将不是完整性记录。
•如果$O（M）\gt O（N）$，则$C（M）\ gt C（N）$$N$将不是完整性记录。
•最后，如果$O（M）\lt O（N）$，则仍假设猜想2a成立，$M$不会是$\lt N$。因此，这种$M$不存在，因此$N$是一种类别记录。
理论上，完整性记录不一定也必须是延迟记录，因为可能存在延迟较高但完整性较低的较低数字。然而，所有当前已知的完整性记录也是延迟记录。截至2023年5月，已知的所有类别记录多达2317份。
已知类记录的完整列表可以在课堂记录表.
如果猜想2a成立，则$Rmax\ll 6$，这也意味着延迟类的元素出现在离散级别，它们大致相距6倍。例如，类别13的元素是34、35、192、208、212、213、226、，227、1280、1344、1360、1364、1365和8192。分成四组不同的“子类”是显而易见的。
为了使用级别，我们首先定义了一个更基本的参数，称为“强度”：
- 力量
- 对于所有正整数$N$，$D（N）=k$这个力量$S（N）$定义如下
$S（N）=5*O（N）-3*E（N）$。
大多数数字的强度远低于零，而正强度则相当罕见。尽管如此，似乎应该存在武断的高强度。
- 强度记录
- 正整数$N$称为强度记录
如果所有$M\lt N$都有$S（M）\lt S（N）$。
力量记录非常罕见。只有五个非平凡的记录是已知的，最高的一个其中已有18位数字。它们可以在力量页面再加上一些目前最知名的下一个记录的候选数字。根据强度，很容易定义级别。请注意，对于所有数字$N$，其中$D（N）=k$我们必须$S（N）等于5k（mod 8）$
- 水平
- 对于所有正整数$N$，$D（N）=k$这个水平$L（N）$定义为
$L（N）=-[S（N）/8]$
（其中$[x]$是指最大整数$≤x$）
因此，S（34）=5*3-3*10=-15$。因此$L（34）=-[-15/8]=2$类似地，$L（192）=3$，$1L（1280）=4$和$L（8192）=5$。对于任何延迟$k$，可能的最高水平出现在$N=2^k$，如这是这个延迟的最大值。0级可视为$C（N）≥0.60$的最高级别。随着数字的减少，数字的“有限可用性”使得统计成为一种危险的方法，但随着数字的增加，我们可以说该水平产生了有关相对“排他性”的信息记录。从统计角度来看，“接近0”的水平越低水平，在该水平上发现的数字越少。尽管存在负水平的数字非常罕见。这个只有低于$10000\，000\，000$的数字，其中$L（N）< 0$发生在$N=63\，728\，127$，其中$L（N）=-1$。
接下来是$L（12，235，060，455）=-1$$（D（N）=1184）$和$L（13，371，194，527）=-1$$（D（N）=1210）$。高达21000美元，还有三个1级数字，但随后令人惊讶的是，直到$R{1408}=1\，444\，338\，092\，271$，下一个才出现，这个数字几乎是其前身的70倍。在第二级的第一个数字出现：$R{1549}=3\，743\，559\，068\，799$。此数字显示令人惊讶的高延迟，超过之前的延迟记录不少于100次。
高达$10000000000（10^{14}）$one可以找到大约100个一级，仅为二级中的一级，这充分表明了它们的稀有性。因此，在该间隔之外发现第一个级别-3的数字是相当意外的当N=100、759、293、214、567美元时。延迟$1820$此数字为不仅是一项延迟记录，以不少于158步的速度超过了之前的记录，而且是一项实力以及完整性记录。值得注意的是，一个更高的3级数字几乎立即弹出$R{1789}$位于$N=104、797、092、792、063$。
在$100*10^{12}$和$531*10^}$之间共有15个3级数字，但此后没有其他人很快出现。事实上，在$10^{16}$以下不存在进一步的三级数字。下一个是$N=12、769、884、180、266、527$，比前一个。
更低的级别更难获得。随着数量的增加，搜索速度变慢，搜索间隔变宽。最低等级-4，现在确认为延迟和强度记录，有18个数字。到目前为止发现的最小级别-5有21位数字，是当前最低的数字已知级别-10不少于36位。
任何正整数N都可以完全由延迟、电平和余数定义，即从这些三个数据N可以精确计算。然而，这些都没有提供任何关于序列$S_i$。特别是，没有关于$Mx（N）$的信息，最高数字出现在3x+1序列。这个数字也很重要，因为它表示最小值计算机算法在不发生溢出的情况下计算特定序列所需的比特数。
注意：要自己计算任何数字的最大值，请尝试3x+1计算器页面.
- 路径记录
- 正整数$N$称为路径记录
如果所有$M\lt N$都有$Mx（M）\lt Mx（N）$
第一个路径记录是$N=2$$Mx（N）=2$$N=3$$Mx（N）=16$$N=7$Mx（N）=52$$N=15$Mx（N）=160$$N=27$$Mx（N）=9232$
等等。可以方便地按照以下顺序对路径记录进行编号它们发生了什么。因此$P_1=2$，$P_2=3$，等等。
关于$Mx（N）$值的一个奇怪观察是
- 定理4：
- 设$N$是任意奇数$\gt 2$。如果$Mx（N）\gt 3N+1$然后$Mx（N）\equiv 16\pmod{36}$。
- 证明：
- 设$q$为$Mx（N）$，其中$q\equiv a\pmod{36}$。我们注意到$a$不能是奇数，因为$q$必须是偶数。我们还注意到我们不能有$a\equiv 2\pmod 4$，否则$q/2$将是奇数，这将收益率高于$q$。因此，$a\equiv 0\pmod 4$。
由于q必须由$3n+1$迭代生成，因此我们有$a\equiv 1\pmod 3$。这只剩下$a$可能的值$4,16$和$28$。
假设$a=4$。然后让$q=36n+4$。q的前身一定是120亿美元+1$。然后它的前身是24n美元+2美元。因为这个数字是不是$\equiv 4\pmod 6$，它的前身一定是$48n+4$。但这个数字大于$q$，这与$q$是$Mx（N）$的假设相矛盾。
类似地，对于$a=28$，我们发现前辈$12n+9$、$24n+18$和$48n+36$，这再次与q是Mx（N）的假设相矛盾。
因此我们只能有$a=16$，因此$Mx（N）\equiv 16\pmod{36}$（序列中的前身是$12n+5$、$24n+10$和$8n+3$）。
对于所有路径记录$P_i\ge 3$，我们确实有$Mx（P_i）\gt 3.P_i+1$，因此，对于$i\ge 2$all$（P_i）\equiv 16\pmod{36}$。所有当前已知路径记录的列表可以在路径记录表.
- 扩展
- 这个扩展对于$Q$，$N$的$X_Q$定义为
$X_Q（N）={Mx（N）\超过N^Q}$
很容易看出$X_1（N）$是无界的，因为如果$N=2^p-1$那么，正如我们前面看到的，$S_{2p}=3^p-1$并且${Mx（N）\ over N}$至少近似等于${3^p\ over 2^p}$。当我们询问哪一个$p$$X_p时，出现了一个更有趣的问题$可能保持有界。以下结果众所周知：
- 定理5：
- 对于ln（2）}上的$Q\lt{ln（3）\$X_Q$是无界的$
- 证明：
- 我们之前看到，$N=2^p-1$Mx（N）$将至少为$3^p-1$。
因此，对于$p\to\infty$，我们发现$\log（X_Q（N））=\log$
因此，对于$Q\lt\log（3）/\log。
当$^2\log（Mx（P_i））$以图形方式描述时$^2\log（P_i）$曲线显示出一种线性趋势，斜率约为2。目前尚不清楚这种趋势是否可能持续下去。如果是这样，则表示$X_Q（N）$有界于$Q\gt 2$。
- 开放式问题1：
- 做一个数字C类存在于其中X（X）2（N） <C为所有人N个?
如果是这样C类?
多年来，已知的最高$X_2（N）$是$P_{62}（约15.054）$而且在不久的将来，似乎不太可能找到更高的。然而，在2005年托马斯·奥利维拉·席尔瓦找到$P_{88}$，其展开式为$\约16.315$。从中可以看出路径记录表记录扩展非常罕见。函数$X_2（N）$达到临时最大值$N=27$时为$12.66$，持续到$P_{43}=319\，804\，831$达到了10000美元以上的数字。同样，$P_{43}达到了$13.83$的值$直到得分15.05$的$P_{62}$才被超越。$P_{62}$大于$1000$，是$P__{43}$的倍数。最后，目前已知的最高膨胀是$P_{88}$，其中达到16.32$$P_{88}$比其前身大50万美元以上。如果函数的更高值之间存在连续间隙$X_2（N）$继续保持这种规模，这看起来不太可能我们知道的扩展记录不只是少数。
只要（计算机）时间可用，对新记录的探索仍在继续！
该计划目前侧重于使用（NVIDIA）GPU卡取得最大进展。
该程序完全无人值守，因此任何使用NVIDIA GPU的人都可以加入3x+1搜索！只需看看3x+1搜索页来看看如何加入或查看课堂记录进度图.
特别感谢凯文·赫布他花了很多时间和精力多年来，数十人日夜为这个问题工作方文杰对于创建程序的最新GPU版本。
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