球体的最佳照明
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总结
光通量撞击表面产生亮度图案这取决于目标曲面和入射光。下面讨论了以下问题，并给出了一些数值解决方案如下：
如何安排等N个光通量的方向矢量用完全漫反射照明目标球体的强度在该球体上生成满足以下条件之一的亮度图案下列的3个标准
给出了N≤20的数值解，包括可视化产生的亮度模式。
目录
有什么新功能？ 按日期排序的结果。（上次更新时间：2011年7月23日）。
- 问题的详细描述
- 一个相关的问题
- 球面上的优化问题
- 数字程序
- 结果可视化
- 找到的最佳配置表,
- 最佳亮度分布的对称性
- 关于对称性和“明显”结果的注记
- 一些次优对称配置
为了初步了解亮度分布，以下是一个示例：
标准是最小化12个光源产生的最大局部亮度。光源的排列具有镜像对称性，但存在稍微好一些的非对称排列。所示视图垂直于镜像平面。单击图片加载一个pdf文件，其中包含此排列的完整视图集。所有结果的链接都位于本页末尾.
如果你只是好奇，不想浏览问题的细节，我建议你只看几个由光源对称排列产生的非常好的亮度分布。每个配置都记录在一个相关的pdf文件中（大小约300kB），其中显示了源位置的投影和封闭立方体6个面上的亮度模式：
最小化8个源的最大值，循环对称顺序4,
最大化6个源的最小值，二面体对称阶12,
最小化8个源的差异，二面体对称阶数为8,
使用修改的光束轮廓，将13个光源的差异降至最低.
问题的详细描述
如果我们忽略了所有使“最先进”光线跟踪的功能图片看起来“真实”，例如镜面反射、环境照明、，颜色依赖性等，则被照明表面的亮度为仅由曲面法向量的几何关系确定和入射光的方向。
描述光测量时使用的术语的简明描述如下“辐射和光度测定常见问题解答”通过詹姆斯·帕尔默.
有关术语的讨论，另请参见“亮度、亮度和混淆”通过查尔斯·霍尔斯特德
以及关于“照明”的段落（由约翰·贝科维茨)在中“透镜教程“.
如果我的术语不准确，甚至错误，请原谅。虽然我在20世纪70年代初学习物理，但光不是我的专业，我的母语不是英语
或者更好：给我发个建议，帮助我改进通过电子邮件发送。
对于n个光源，我们有
I=j上的总和，j=1..n(N个点L（左）j个)*我j个
哪里
- N个是曲面法向量，
-
- L（左）j个是来自第j个光源的入射光的方向单位矢量
-
- 我j个是第j个源的强度。
-
在以下只有同等强度的光源中，我j个=1。
如果光源距离目标很远，则源的影响仅取决于其方向矢量或更精确地说是源和目标之间的差向量（“平行光”）及其强度。
最简单的照明对象是球体。假设目标球体的照明只能通过完全漫反射实现反思。如果朗伯定律成立，则视角没有影响观察者看到的亮度。环境反射和镜面反射假设没有反射。
下面是一些创建的示例POVRAY 3.0版。当前版本可以在以下位置找到POVRAY的网站.
单个光源照亮球体的一侧，产生角度位置的最大亮度为1.0。如果目标球体位于原点，半径为1.0光源方向正好位于北极（0,0,1）上方，则I=最大值（0，z）。
以下描述来自詹姆斯·帕尔默的“辐射和光度测定常见问题解答”：
由远点光源照明的朗伯球体将显示辐射度在局部法线与入射光束。在终止符。如果观看时强度（面积上的积分辐射）是统一的从源头看，从侧面看时的强度为1/p。
等亮度线是等亮度圆纬度（θ=球面φ中的常数，θ坐标系），如下图所示：
如果垂直于光线方向观察亮度显示为直线，看起来有点令人惊讶的是：
与光源相对的部分保持完全黑暗（I=0）。如果存在多个光源，则组合亮度模式已创建。在以下图片中
垂直于震源平面的赤道平面视图：
两个光源现在，一个在北极之上，另一个在角度上分开右下角120度。在球体区域由两个光源照明，I=1（=2*cos（60度））的最大值为创建，即两个源创建3个大小相等的最大值（=1）。
下图显示了亮度模式的不同视图由此安排创建。
赤道平面、震源平面视图：
北极视图：
在下图中
等亮度线用颜色表示（红色=明亮，蓝色=深色）。这些图片是由轮廓创建的使用三角形网格和用于说明亮度分布的直线段（更多详细信息请参见在下面).有两个来源，也有三个来源，总有一个地区（位于当n=3）时，I=0。
n=2的“最佳”配置是将源放在相反的位置球体的侧面（例如，北极和南极上方），留下一个赤道周围的暗环。
三个来源提出了第一个琐碎的优化问题：如何安排3个光源以最小化亮度的最大值在整个球体上？唯一的解决方案是在平面包含原点的任意等边三角形方向（例如赤道平面）。这是唯一的配置避免相互角度小于120度，这将创建两个源之间的组合强度最大值>1.0。
从四个源开始，在整个球体上以I>0排列可以构造。4个来源最明显的安排是正四面体。下图
显示的一个视图四面体光源排列产生的亮度图案用相应的等高线图。POVRAY生成第一张图片的输入文件可用在这里.
当看到这个图时，问题出现了，如果光源可以放在某种“最佳”安排中，产生“统一”球体整个表面的亮度分布。
要描述安排的“质量”，有几个选择对于目标函数，有3种不同的目标函数考虑：
- 最大化亮度的最小值（使球体尽可能明亮）
- 最小化亮度最大值（使球体尽可能暗（格言的解决方案）
- 将最亮和最黑暗的地方-社会解决方案）
除了小n（n<6）的少数例外情况外，最佳配置为预计这三个标准会有所不同。
下面是这个问题的另一种表述：
远离球体的点光源（例如，恒星照射在地球在地表产生亮度分布是曲面法线和入射光的方向。亮度由简单的余弦定律。如果光源正好位于北方上方极点，等亮度线是等纬度线。在赤道亮度降到了零。因为星星是看不见的，南半球的亮度（黑暗）将为零北极上方的星星。如果有多个恒星（光源）目前，任何点的亮度都是标量的总和局部曲面法向量与从所有来源收到的捐款。只有可见源才会贡献，另一个半球的人对局部亮度。
问题是如何将N个强度相等的光源与与目标球体的无限距离，以满足上述标准。
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一个相关的问题
这类问题与惯性约束有关聚变（ICF）装置，其中高能激光的多光束聚焦于小型氘/氚靶，目的是压缩使目标材料达到聚变反应所需的条件。LLNL的前一版本惯性聚变能网页
有显示“惯性聚变如何工作”的示意图所谓的“直接驱动”目标，从所有方向。如下图所示：
由于靶周围等离子体的折射和吸收特性，从光束到靶材料的能量转移过程相当复杂。直接驱动方法现在被认为几乎不可行，并且已经被放弃，取而代之的是所谓的间接驱动方法。
有关更详细的说明，请参见：S.Skupsky、K.Lee：激光驱动聚变的能量沉积均匀性。J.应用。物理学。54（7） ，第362-3671页，1983年7月。
在一封私人信件中，有人向我指出，这个问题的几何部分甚至有一个完美的解决方案，如果能给激光束一个强度分布，从而产生能量沉积~ cos2（θ)在目标上，θ是相对于入射光束方向的角度。然后可以找到在整个目标球体上产生恒定照明的排列。以下参考文献中首先描述了最佳布置的条件：
A.J.施密特：激光聚变的绝对均匀照明Pellets，NRL备忘录报告5221，华盛顿特区海军研究实验室，1984年2月17日，也发表在Appl。物理学。莱特。44第399-401页（1984年）。NRL报告可用于下载.
由方位角均匀间距的光束环和上下半球环上的成对相对光束构成的类似推导和示例如下：
W.W.西蒙斯：球形目标均匀辐照的简单解析解。摘自：第一届固体激光器应用于惯性约束聚变国际年会，编辑Michel Andre和Howard T.Powell，Proc。SPIE 2633，第249-254页（1995年）
只有当N偶数且>=6时，才有可能实现具有完美解的最优安排。
我试图找到奇数N的一些好的（最小化差异）数值解，假设余弦形状的光束轮廓，并且目标球体上的吸收没有角度依赖性。解的性质不同于恒定强度光束的解，如以下N=17的示例所示：
这是我的N=4和奇数N<=21的结果:对于那些对ICF的更多信息感兴趣的人，这里有一些链接：
来自维基百科的惯性约束聚变。
惯性约束聚变概念。
ICF的工作原理
这个美国海军的Nike设施（44+12束，设计用于射击平面目标）
这个Nova设备于1999年拆除，最终采用了由2圈5根梁组成的布置。照片Nova靶室。这个国家点火设施它于2009年投入使用，有192束光束聚焦在装有聚变舱的一个小金属圆筒的两端。这个靶室NIF也有24个端口用于直接驱动实验。
这个大学激光能量实验室在纽约州罗切斯特市，运营着专门为直接驱动ICF实验量身定制的60束OMEGA设施。OMEGA的详细描述见国家激光用户设施用户指南，包括光束配置和光束径向强度分布的图片（图2.11），它确实离余弦分布不远上述.
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球面上的优化问题
几年前，我对简单的优化问题产生了兴趣定义，适用于测试全局的数值方法优化。查找困难优化的示例时问题，尤其是那些具有多个极值的问题，我的注意力是被名人抓住a上的点的放置问题球这些问题的定义非常简单，但实际上很难解决。
对于这些问题的历史和解决方案指向书L.Fejes托斯：拉格朗根（Lagerungen in der Ebene auf der Kugel und）im Raum，Zweite Auflage，Springer-Verlag，Berlin，Heidelberg 1972（年德语）
读起来仍然很有趣。经典文章也值得一读（德语；-）K.Schütte和B.L.van der Waerden：Auf welcher Kugel haben 5，6，7，8 order 9 Punkte mit Mindstabstand Eins Platz？数学。安娜伦，Bd.123第96-124页（1951年）
至少有四个不同标准的众所周知的问题，在的主页上进行了描述 尼尔·J·A·斯隆.
- 包装问题:一个人应该如何在一个球体上放置n个点，以便最大化他们之间的最小距离？（敌对的邻居问题）
如果你真的对这个问题感兴趣，“必读”是戴夫·科特维茨：球面上等圆圈的最密堆积。《水晶学报》。(1991). A47，第158-165页
最优配置的凸壳的大多数边缘具有相同（最小）的长度。我已经编译了一个边长表和光线追踪图片显示了N≤50时最小边的分布。许多配置是对称的；有一个表描述了N<=50的对称性（循环和对称群）在这里（注意：德语文本：-）。下面给出了一个带有坐标（Phi、Theta、X、Y、Z）、边列表和连接性的示例N=14。另请参阅：此配置的可视化
带有对称组顺序的列表可以作为条目找到A080865号斯隆的整数序列在线百科全书（OEIS）。由于缺少N>15且N不等于24的所有配置的最佳性证明，因此该序列相当具有推测性。
对于几个N值（15,62,76117），已知的最佳解并不唯一。有关这些配置的讨论和动态可视化，请参见詹姆斯·布登哈根的网页.
- 覆盖问题:如何在球体上放置n个点，以便使球面上任意点与n个点中最接近的一个？此最大距离称为覆盖半径。（盖上相等的盖子或加油站位置问题）对称组。
- 最大体积问题:如何在球体上放置n个点以便使其凸包的体积最大化？ 对称组如所示OEIS A081314公司,光线跟踪可视化对于n≤21。
- 排列N个带电粒子（例如电子）到使所得配置的势能最小化。应如何在球体上放置n个点，以最小化势能总和1/dist（P_i，P_j）？
提供了“球体上电子的最小能量配置”的描述和图片在这里. 对称组。
据我所知，这些问题的最著名的解决方案都是汇编的尼尔·斯隆的网站上。也有更高级别的扩展尺寸大于3。有关此主题的更多信息，请参阅关于球体的常见问题在Dave Rusin的数学地图集.安东·舍伍德保持一个链接列表关于球面上点的最佳排列的。
在我尝试将覆盖和最大体积问题用作各种数值优化方法的测试用例时，我创建了一些结果的光线追踪图片.
如果你认为你有一个很好的全局优化方法，尝试在任何这些问题上运行此方法都会给您带来现实印象，为多维问题-将您的解决方案与中列出的解决方案进行比较尼尔·斯隆的桌子！
N个点的放置问题产生一个2*N-3变量的问题，因为1个点可以保持固定，例如球体的北极，一个角度可以保持固定第二点（例如φ=0）。对于其余的点，角度（φ，θ）在球面坐标系中可用作优化变量。
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数值程序
我使用了一个非常健壮的优化程序（FMINSI，由我自己在Fortran 77中，它是基于Nelder-Mead多面体搜索方法），以搜索此问题的解决方案，嵌入到策略中用于全局搜索。FMINISI位于GNU LESSER通用公共许可证.以下文件可供下载：
寻找最优配置的问题由两个耦合的全局优化问题。“内部”问题是确定整体I=总和j=1..n（n点I_j）的全局最小值和/或最大值球面曲面法向量的可能方向，其中然后用作源位置问题的目标函数。作为我也没有找到可靠、优雅的技术来找到所有optima通过分析或数值优化程序，我想避免两个全局数值优化的相当棘手的耦合问题，对此问题使用暴力方法。
等间距测试点网格（方向）在球体上具有规定的角度间隔创建并存储。对于全局搜索，角度分辨率为1使用Deg，创建大约41000个测试方向，而0.25个测试方向Deg分辨率用于产生最终结果（约660000测试说明）。
从北极开始，与选定的将创建间距。在每个圆圈上进行等距测试将创建点。绕北极的第一圈将有6个测试点，而赤道圈将产生360个测试点1度角分辨率。
数值优化的每个功能评估要求使用局部曲面法向量（=单位球面上测试点的坐标），仅限于积极贡献（光线不照射目标球体）。必须对目标上的所有测试点重复此操作球体。两者的最小值、最大值或差值（取决于选择的标准）然后用作目标函数的值。对于α[度]的角分离，测试点的数量为大约（（360/alpha）2)/圆周率。
由于切断特性（黑色后侧）和许多潜在的最大值和最小值目标函数有很多其衍生物的不连续性，尤其是mimima附近。
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优化策略
- 使用一种方法创建N个震源方向的随机配置中描述的
乔治·马尔萨格里亚：从曲面中选择点球体。数理统计年鉴，43，第645-646页
对于那些可以访问IMSL库，的用于在球体上创建随机点的相应IMSL Stat/Library子例程称为RNSPH。在sci.mah新闻组中详细讨论了在球体上创建均匀分布点的方法。可以获得Dave Seaman和George Marsaglia的新闻组文章摘要在这里包括George Marsaglia的以下描述。
生成u和v，在[-1,1]中一致，直到S=u^2+v^2<1，
然后返回（1-2*S，u*r，v*r），r=2*sqrt（1-S）。
根据Donald E.Knuth，TAOCP第2卷第3版，第136页，该方法首先由CACM的Robert E.Knop描述13(1970), 326.
通常会创建100000个随机配置。使用随机数生成.
- 选择为选定的优化标准，作为数值的初始配置使用通用优化方法进行优化并运行到汇聚。在开始优化之前，随机配置必须旋转到标准方向，将一点带到北方极点和第二个点φ=0。选定的角度分离α步骤1和2中为1度，因此产生约41250个测试点。
同时，对该程序进行了修改；请参阅相应的注释日期“2001/09/22”。
- 检查结果配置的对称性。我正在使用艾达我的同事编写的程序（可根据要求提供）沃尔特·莫利斯博士.如果发现对称性，则使用减少的变量数描述来源的安排。
- 以更高的目标测试点分辨率运行优化球体，使用前面步骤的结果作为起点。到期对于可用的计算机资源，我当前使用的分辨率结果为Alpha=0.25[Deg]，相当于约660000次测试目标球体上的点。有时，结果的改进可以通过旋转整个配置来实现，带来另一点进入北极位置并重新开始优化。
- 可选：将最佳配置旋转为一些标准配置方向。首选方法是计算目标球体上源的最低点，并使用进入北极的汇合边缘的最大数量。对于对称配置的方向是对齐现有对称N-S方向上的最大多重数轴或选择y=0作为镜像平面。
- 生成光源位置和亮度的图形可视化目标球体上的分布。
结果可视化
基于用二十面体对称覆盖球体，可从N.J.A.斯隆使用R.J.Renka的ACM算法772生成。
参考文献：罗伯特·伦卡，“算法772。条纹：Delaunay球面上的三角剖分和Voronoi图”，ACM事务处理。数学。软件，卷。23第3期，1997年9月，第416-434页。
Fortran程序的源代码可从网络库。
还有几个用这种方法创建的网格示例在这里.
5072点网格的坐标和三角形列表可用于下载（每条线一个坐标：x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3…）源位置和亮度图案在包含目标的立方体的六个表面上的投影球体被打印并转换为可以显示的PDF文件使用Adobe阅读器。只有三角形网格的可见部分是显示。网格由10140个三角形组成，创建于5072年目标球体上的点。使用的配置是二十面体Neil Sloane的“球形代码”中标记为“13,13”的最佳覆盖二十面体对称”。
第一个标题行表示优化标准，第二个标题行航向显示获得的最佳值。第三个线表示视图。
这些图显示缩放的亮度值。使用的缩放比例为
均匀分布的数量越多，接近100%来源。（对于激光辐照问题.）由于使用的网格分辨率相对较低对于绘图，缩放后的最小值和最大值显示在等高线图可能与标题行。该值是在0.25度的细网格上计算的角度分辨率，而缩放值是在节点处计算的仅具有3的典型角分辨率的粗略绘制网格度。结果显示N=4。。16个来源。方向的数值源向量存储在名为XXXXNN的ASCII文件中。TXT，其中XXXX表示优化标准（MIMA、MAMI、DMMM）和NN指示源的数量。那些文件的第一行是4数字
- 不。。震源数量
- NF。。用于非对称配置最终优化的变量数量（=2*N-3）
- 我。。最佳结果
- CRIT。。所用优化标准的指标，即。
- …最大化最小值
- …最小化最大值
- …最小化最大差异
以下各行包含震源的方向向量，归一化为长度1。每行有6个条目
我PHI THETA X Y Z，其中
- 我。。。向量个数
- PHI。。。经度角[度]
- 泰塔。。。纬度角[度]，0=北极，90=赤道，180=南极
- 十、 向量的Y、Z分量，带X（X）2+Y（Y）2+Z轴2= 1.
所有位置文件都是单个ZIP文件的一部分，该文件名为illumtab.zip公司.返回目录
找到的最佳配置表
对于每个数量的源点，在一个PDF中收集12个图文件。为了可视化源位置，需要使用一些人工轮廓线围绕每个源的“足迹”绘制。这样做的好处技术也来源于投影的外围变得可见。
结果的准确性
结果坐标的准确性当然受到目标球体上测试点的选定角度分辨率，这也限制了所获得的最佳强度的准确性。A类保守估计是在悲观者中加上sin（Alpha）找到最佳结果的方向。
例子：
对于N=9个源“最大最小”问题是I=2.1173186，使用Alpha=0.25度角分离的目标球体。悲观主义者真实结果的估计值为I_true>I_0.25-sin（0.25Deg）=2.1130。在大多数情况下，根据不同Alpha值的数值实验sin（0.5*Alpha）似乎是对差异的更现实的估计在数值解和真解之间，给出I_true>2.1151。
不同标准的结果比较
有一个图表比较了最佳结果与绝对均匀亮度的偏差，并对3种不同标准的解决方案的一般特征进行了一些说明在这里.
要查看配置和结果，点击在表中的数字上。
问题：N>20的结果在哪里？
答案：随着N的增加，存在许多解，这些解实际上与所选目标函数的实现值相等。对于“最小化差异”问题，可以为接近0.25的差异选择所需的值，然后运行优化过程，直到找到满足此要求的配置。增加N的最优解的渐近行为是一个悬而未决的问题，至少对我来说是这样。当然，这也是一个可用计算机资源的问题，即继续搜索的距离。如果1000处理器MPP机器上有太多空闲时间，给我发送一个电子邮件我们可以继续搜索到您想要的任何N；-）
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最佳亮度分布的对称性
虽然我没有找到证据，但亮度分布所有最佳源配置似乎都会在目标球体上产生拥有财产
即，对极位置的强度相等（对于N>1）。
这种特性也适用于非对称源配置。
这个数值解对于具有余弦形径向强度剖面指出以下推测：
此问题的最优解决方案满足
换句话说：反足点的能量密度之和是恒定的。
我目前最好的数字N=11的解决方案不符合此标准。如果我找不到更好的解决方案，那么猜想只能限制在N>11。
我最近的结果表明，对于奇数N>=15，有一种系统的方法可以构造出很好的（也许是最好的）解：在赤道环中排列具有相等角距离的最大可能奇数束流。剩余的偶数束流被分成两个环，在两极附近具有反方向。对于N=15和N=17，两个磁极环分别由3根梁组成，对于N=19,21根（共4根梁）。。。极点环中所需的光束数量由赤道环在赤道产生的强度决定，赤道环必须在极点位置保持平衡。
示例：9根或11根光束的赤道环需要3根光束的极环，13根和15根赤道光束需要4个环。。。，49和51个赤道光束需要13个环。
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关于对称性和“明显”结果的注记
几乎每个人都要求直观地解决球体问题照明问题可能会猜测高度对称配置是最佳的，或者至少提供接近最佳的。令人惊讶的是，没有一个高度对称的安排满足了这一期望，但N=4除外，其中正四面体确实是这三个问题的最佳解决方案不同的标准。
下面是这些安排的比较对应于正多面体（柏拉图立体）的顶点N=6,8,12,20的溶液。为了查看配置，点击在第一列中的名称上。
与柏拉图立体图的比较 |
柏拉图式的
固体 |
N个 |
最小值（_M） |
最好的 |
最大值（_M） |
最好的 |
差异（_M） |
最好的 |
| 八面体 |
6 |
1 |
1.334 |
1.732 |
1.651 |
0.732 |
0.344 |
| 多维数据集 |
8 |
1.633 |
1.830 |
2.309 |
2.113 |
0.676 |
0.336 |
| 二十面体 |
12 |
2.753 |
2.907 |
3.236 |
3.085 |
0.483 |
0.208 |
| 多德卡赫德。 |
20 |
4.780 |
4.880 |
5.236 |
5.089 |
0.456 |
0.228 |
即使是完全对称的二十面体对称排列与非对称排列相反用于照明问题时的最佳配置此处进行了讨论。然而，对于少量震源，最佳结果具有对称性：
已知的最佳对称解决方案：
最大化最小值：N<=10且N=12
最小化最大值：N<=10
最小化差异：N<=7，N=9，N=11，N=12；N=14非常接近镜像对称，但对称解不稳定。
源排列的对称类型和对称组的顺序在XXXXBEST中表示。属于“illumtab.zip”的TXT文件。
返回内容
一些次优对称配置
还有一些对称配置，其结果接近我最好的非对称解。一些示例的源位置在文件中编译illoktab.zip公司，使用命名约定XXXXNNL编号。TXT，其中XXXXNN与结果命名类似用于最佳配置的文件，L表示局部最优，n是计数器。可以对该列表的最近更新发表一些评论在这里.
要查看配置，点击最后一列中的值。
本页已于2014年9月13日更新雨果·普福尔特纳。
欢迎提出意见和建议。
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