函数亚纯无法找到参数任意值的答案:

假设是一个正整数，函数亚纯成功：

默认情况下，函数亚纯可能会在符号参数上生成条件：

使用生成条件->无,函数亚纯失败，而不是给出有条件的结果：

这将返回一个条件有效的结果，而不声明条件：

默认情况下，会报告所有条件：

使用生成条件->自动，一般为真的条件不会被报告：

使用绩效目标为了避免潜在的昂贵计算：

默认设置使用所有可用的技术来尝试生成结果：

有理函数是亚纯的：

棕褐色,秒和第二是亚纯的：

可视化这些功能：

在平面上可视化函数表明，它们的奇点并不比极点差：

具有分支切割的功能，如日志不是亚纯的：

两者都不是平方米或任何非整数功率：

反三角函数和双曲函数，如ArcSin（电弧正弦）,ArcTan公司和ArcCsch公司同样是非亚纯的：

不可微函数，如防抱死制动系统,签名和重新不是亚纯的：

可视化其中一些功能：

仅为实际输入定义的函数，如UnitStep（单位步进）和三角波，不能是亚纯的：

这些函数不是为复杂值定义的：

复平面中的每个解析函数都是亚纯的：

亚纯函数的算术组合是亚纯的：

由于所有三角函数和双曲函数都是费用，它们都是亚纯的：

更一般地说，亚纯函数的任何有理组合都是亚纯的：

可视化费用以及八个非分析三角函数和双曲函数：

亚纯函数的组成不一定是亚纯的：

亚纯的奇点可能在组合下聚集，导致非极性奇点：

原点处存在一个基本的奇异性，如下极限所示：

然而，亚纯函数与解析函数的组合总是亚纯的：

可视化复合函数：

多元有理函数是亚纯函数：

与单个变量的函数不同，奇点位于曲线上，在第一个函数中:

在中绘制第二个函数平面图显示了沿双曲线的放大:

通过与解析单变量函数组合，可以生成更多的解析函数：

完整的贝塔功能是亚纯的：

它可以被认为是中的一个多元有理函数伽马射线:

可视化函数：

这个限制亚纯函数的值总是一个数或复杂性无限:

平方米具有极限不存在的点，因此它不能是亚纯的：

亚纯函数的奇点（称为极点）有一个残留与它们关联：

残差是在函数的幂级数展开中：

亚纯函数围绕封闭轮廓的积分等于乘以曲线所包围的极点的残差之和。计算的积分围绕原点，这显然是它的唯一极点：

这必须等于残留物:

任何其他闭合轮廓都会产生相同的结果，例如圆形轮廓：

可视化功能和轮廓：

如果轮廓不包含奇点，积分将为零：

使用此交替轮廓可视化函数：

如果函数的所有奇点都有相同或相关的残数，则可以使用闭合轮廓上的积分来计算封闭的极点数。例如，有一根残渣杆每半整数倍:

的积分在横跨实轴的矩形上，计算随函附上的：

轮廓积分的一个常见应用是通过将轮廓延伸到上半平面或下半平面中有半圆的闭合轮廓来计算实线上的积分。如果半圆上的积分部分消失，轮廓积分必须等于实积分。考虑.被积函数是亚纯的：

分母为零时，被积函数出现奇点：

使用上半平面中的半圆完成轮廓，并使用留数计算积分：

半圆上的积分是有序的作为，因此实积分必须具有相同的值：

对于形式的被积函数具有,亚纯的，连续打开、和对于大型，积分可以计算为乘以在上半平面。使用此计算。首先，验证是亚纯的：

根据需要，该函数也会无限衰减：

上半平面中有一个单极:

因此，积分:

自和是偶数，是之前结果的一半：

通过直接计算验证结果：