米尔斯定理的推广

作者：Chris Caldwell

四十年代末，米尔斯[磨机47]证明了存在一个实数a>1[]总是一个质数(n个= 1,2,3,...). 这个简短注释的目的是证明以下定理（来自Ellison的练习[EE85标准，练习1.23]），其中Mills定理是一个特例。另外，这个定理表明有无穷多个c（c）每个都有无穷多个A总是质数（实际上A有无数个选择[Wright1954年]. 然后，我们估计最小值A表示素数序列（与c（c）=3)之后这个证据。

定理：

让S={一_n个}是满足以下属性的任意整数序列：

（1）存在实数x个_o个和w个使用0<w个<1，其中打开间隔(x个,x个+x个^w个)包含所有实数的S元素x个>x个_o个.

然后对于每个实数c（c）>最小值（1/（1-w个)，2）有一个数字a是S的子序列。

证明：

使用（1）定义子序列{b条_n个}的递归

(2)b条₁=S的最小成员b条₁^c（c） > x个_o个.
(3)b条_n个+1=满足S的最小成员b条_n个^c（c）<b条_n个+1<b条_n个^c（c）+b条_n个^厕所.

因为c（c） >1/(1-w个)、和c（c） >2（参见下面的引理)我们在（3）的以下修订中得到了最后两个不等式：

b条_n个^c（c）<b条_n个+1< 1+b条_n个+1< 1+b条_n个^c（c）+b条_n个^厕所 <1+b条_n个^c（c）+b条_n个^c（c）-1 <(1+b条_n个)^c（c）.

对于所有正整数n个我们可以把这个提升到c（c）^-(n个+1)获得的权力

显示序列聚合。称其极限为A。最后，

所以=b条_n个，S的选定子序列——完成证明。∎

对于素数序列，已知属性（1）与w个=7/12和x个_o个足够大，所以我们可以跟着米尔斯c（c）=3.注意，没有必要从满足（2）的最小素数开始(b条_o个>x个_o个)只要我们能找到满足（3）的必要素数，直到我们找到一个大于x个_o个（然后我们知道所有以下素数都存在）。

问题是，即使在连续的整数立方体（大于1）之间确实存在一个素数，我们仍然无法证明它！最佳有效下限可能与程的论文草稿中的下限一样大[成2003a]: 10^{6000000000000000000}但要证明，如果黎曼假设成立，那么在连续的整数立方体之间总是存在素数，从开始b条_o个= 2 [CC2005年].

米尔斯没有给出明确的A，但对于作者来说，从一开始就很传统b条_o个=2（尽管米尔斯写结果的方式，从2开始就被排除了）。从开始b条_o个=2，每一步取最小素数得到最小序列（给定RH）：

2,
11,
1361,
2521008887,
16022236204009818131831320183,
4113101149215104800030529537915953170486139623539759933135949994882770404074832568499,
695838043769627416085392765735385928648359…（254位）。。。257390268487534179757699110378097045955949,
336918228195740742277307753365919464724735980446…（762位）。。。405013138097469593692676561694614253113386536243,

…（请参见米尔斯底漆)显示常数A以以下数字开头（参见米尔斯常数更多数字）：

1.3063778838 6308069046 8614492602 6057129167 8458515671 3644368053 7599664340 5376682659 8821501403 7011973957 0729696093 8103086882 2388614478 1635348688 7133922146 1943534578 7110033188 1405093575 3558319326 4801721383 2361522359 0622186016 1085667905 7215197976 0951619929 5279707992 5631721527 8412371307 6584911245 6317518426 3310565215 3513186684 1550790793 7238592335 2208421842 0405320517 6890260257 9344300869 5290636205 6989687262 1227499787 6664385157 6619143877 2844982077 5905648255 6091500412 3788524793 6260880466 8815406437 4425340131 0736114409 41376503643793012676 7211713103 0265228386 6154666880 4874760951 4410790754 0698417260 3473107746 7757406400 7810935083 4214374426 5420408531,

目前（直到找到适当的有效界），上述数字被推测为最小米尔斯常数，通常称为这个米尔斯数当然，还有无穷多个其他素数（可以从任何其他素数开始，或者注意，如果A起作用，那么A也起作用^三，或…）

虽然很有趣，但这种公式对于确定素数来说毫无用处，因为我们需要知道所确定的素数之前我们找到了A（并且所表示的素数的子序列太小了！）

我们通过证明上述证明中使用的不等式来结束这一注释。

引理：

如果x个 >1和c（c） >2，然后1+x个^c（c）+x个^c（c）-1 <(1 +x个)^c（c）.

证明：

除以x个^c（c）和更换x个带有1/x个我们得到了等价的不等式

0<(1 +x个)^c（c）- (1 +x个+x个^c（c）). (0 <x个 <1)

当c（c）=2（因为它减少到x个 >0）以及何时x个= 0. 现在如果x个>0，区分右侧c（c）得到

(1 +x个)^c（c）日志（1+x个) -x个^c（c）对数（x）

这显然是积极的，因此上述不平等适用于所有人c（c）> 2.∎

（另请参阅我们的词汇表条目米尔斯定理和Mills Prime公司。)