梅森素数：历史、定理和列表

内容：

  1. 早期历史
  2. 完美数和几个定理
  3. 已知梅森素数表
  4. 卢卡斯·莱默测试与近代史
  5. 猜想和未解决的问题
  6. 另请参见下一个较大的在哪里梅森素数？和梅森启发式

1.早期历史

许多早期作家认为，形式2的数字n个-1个素数全部的素数n个但1536年，胡达尔里库斯·雷吉斯（Hudarlicus Regius）表明211-1=2047不是质数（它是23.89).到1603年彼得罗卡塔尔迪已正确验证217-1和219-1都是质数，但后来被错误地表述为2n个-1也是质数为23、29、31和37。1640年费马表明加泰罗蒂在23岁和37岁时是错的；然后欧拉1738年的数据显示，29岁左右的加泰罗迪也是错的过一段时间欧拉证明了卡塔尔迪关于31岁的断言是正确的。

进入法国僧侣马林·梅森(1588-1648).梅森在他的序言中说Cogitata物理数学（1644）数字2n个-1人是

n个= 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19,31、67、127和257 

和是所有其他正整数的合成n个<257.梅森氏（不正确）推测的结果只比Cataldi的略好，但还是得到了他的名字附在这些数字上。

定义：当2n个-1是质数，据说是梅森素数.

梅森的同龄人很明显，他不可能测试所有这些数字（事实上他也承认了同样多），但他们也无法测试它们。  直到100多年后的1750年，欧拉才验证了下一个数字在梅森和雷吉斯的名单上，231-1，是最好的。再过一次1876年，卢卡斯已验证2127-1也是最好的。七年后，Pervouchine展示了261-1是最好的，所以梅森错过了这一次。在19世纪初，鲍尔斯表明梅森也错过了黄金时段289-1和2107-1.最后，到1947年梅森范围，n个 <258，已完全检查，确定正确列表为：

n个=2、3、5、7、13、17、19、31、61、89、107和127。

请参阅已知梅森表下面的素数。

2.完全数和几个定理

许多古代文化都关心数字与它的除数之和，常常给出神秘的解释。我们担心的是只有一种关系：

定义：一个正整数n个称为很 完美数如果它等于其所有正除数之和，不包括n个自身。

例如，6是第一个完全数，因为6=1+2+3。其次是28=1+2+4+7+14接下来的两个是496和8128。这四个人在基督时代之前都是众所周知的。  以以下部分因素形式查看这些数字：

2.3, 4.7, 16.31, 64.127

你注意到他们都有相同的表格2吗n个-1(2n个-1) （用于n个分别=2、3、5和7）？每种情况下2n个-1是梅森总理吗？事实上，很容易证明以下定理：

定理一： k个甚至是完美的数字当且仅当其具有形式2n个-1(2n个-1) 和2n个-1是质数。[证明。]
定理二：如果2n个-1是素数，那么也是素数n个. [证明。]

因此，对梅森的搜索也是对甚至完美数字的搜索！

您可能还注意到，上面列出的完美数字（6、28、496、，8128）全部以数字6或数字8结尾--这也很容易以证明（但不是，他们不会继续交替6、8、6、8…）。如果如果你喜欢这个数字模式，看看二进制中的前四个完美数字：

110
11100
111110000
1111111000000

（二进制数字模式是定理一的结果。）它是未知不管是否有一个奇数完美数，但如果有一个，它就很大！这可能是所有数学中最古老的未解决问题。

当检查梅森数是否为素数时，我们通常首先寻找任何小除数。欧拉和费马的以下定理非常在这方面很有用。

定理三：让第页和问是奇数素数。如果问除以M第页= 2第页-1，然后

问=+/-1（8版）和问= 2千帕+ 1

对于某个整数k个  [证明]. 最后，我们提供以下内容供您阅读：

定理四：让第页=3（mod 4）为素数。2第页+1也是素数当且仅当2第页+1除以M第页. [证明].
定理五：如果你对任何偶数的位数求和（6除外），然后将结果数字的位数相加，并重复此过程在你得到一个数字之前，这个数字就是一。[证明.]

3.已知梅森素数表

设M(第页) = 2第页-1和P(第页) = 2第页-1(2第页-1).  所有已知素数的列表第页其中M(第页)是梅森素数（因此P(第页)是一个完美的数字）如下：

## 第页
（指数）		 数字
单位：M第页		 数字
单位：P第页		 年 发现者 注释
1 2 1 1 ---- ----  
2 3 1 2 ---- ----  
3 5 2 3 ---- ----  
4 7 3 4 ---- ----  
5 13 4 8 1456 匿名的  
6 17 6 10 1588 卡塔尔迪  
7 19 6 12 1588 卡塔尔迪  
8 31 10 19 1772 欧拉  
9 61 19 37 1883 佩尔武申  
10 89 27 54 1911 权力  
11 107 33 65 1914 权力 笔记
12 127 39 77 1876 卢卡斯  
13 521 157 314 1952 罗宾逊  
14 607 183 366 1952 罗宾逊  
15 1279 386 770 1952 罗宾逊  
16 2203 664 1327 1952 罗宾逊  
17 2281 687 1373 1952 罗宾逊  
18 3217 969 1937 1957 里塞尔  
19 4253 1281 2561 1961 赫尔维茨  
20 4423 1332 2663 1961 赫尔维茨  
21 9689 2917 5834 1963 吉利斯  
22 9941 2993 5985 1963 吉利斯  
23 11213 3376 6751 1963 吉利斯  
24 19937 6002 12003 1971 塔克曼 [塔克曼71]
25 21701 6533 13066 1978 诺尔&镍 [NN80型]
26 23209 6987 13973 1979 诺尔 "
27 44497 13395 26790 1979 纳尔逊&斯洛文斯基 [斯洛文斯基79]
28 86243 25962 51924 1982 斯洛文斯基 [鄂温克83]
29 110503 33265 66530 1988 科尔奎特语和威尔士语 [第91周]
30 132049 39751 79502 1983 斯洛文斯基  
31 216091 65050 130100 1985 斯洛文斯基  
32 756839 227832 455663 1992 斯洛文斯基&量规等。 (网页)
33 859433 258716 517430 1994 斯洛文斯基和盖奇  
34 1257787 378632 757263 1996 斯洛文斯基和盖奇 （网页）
35 1398269 420921 841842 1996 阿蒙加德,沃尔特曼,
等。(GIMPS公司)		 （网页）
36 2976221 895932 1791864 1997 斯彭斯沃尔特曼，
等（GIMPS）		 （网页）
37 3021377 909526 1819050 1998 克拉克森、沃尔特曼、，库洛夫斯基
等（GIMPS，PrimeNet公司)		 （网页）
38 6972593 2098960 4197919 1999 哈吉拉特瓦拉, 库洛夫斯基·沃尔特曼
等（GIMPS、PrimeNet）		 （网页）
39 13466917 4053946 8107892 2001 卡梅隆、沃尔特曼、，库洛夫斯基
等人（GIMPS、PrimeNet）		 （网页）
40 20996011 6320430 12640858 2003 谢弗, 库洛夫斯基·沃尔特曼
等（GIMPS、PrimeNet）		 （网页）
41 24036583
 7235733
 14471465
 2004 芬德利, 库洛夫斯基·沃尔特曼
等（GIMPS、PrimeNet）		 （网页）
42 25964951
 7816230
 15632458
 2005 诺瓦克,库洛夫斯基·沃尔特曼
等（GIMPS、PrimeNet）		 （网页）
43 30402457
 9152052
 18304103
 2005 库珀,布恩, 沃尔特曼，库洛夫斯基
等（GIMPS、PrimeNet）		 （网页）
44 32582657 9808358 19616714 2006 库珀、布恩、，库洛夫斯基·沃尔特曼
等（GIMPS、PrimeNet）		 （网页）
45 37156667 11185272 22370543 2008 Elvenich、Woltman、Kurowski
等（GIMPS、PrimeNet）		 （网页）
46 42643801 12837064 25674127 2009 斯特林莫、沃尔特曼、库洛夫斯基
等（GIMPS、PrimeNet）		 （网页）
47 43112609 12978189 25956377 2008 Smith、Woltman、Kurowski
等（GIMPS、PrimeNet）		 （网页）
48 57885161 17425170 34850339 2013 库珀、沃尔特曼、库洛夫斯基
等（GIMPS、PrimeNet）		 （网页）
49? 74207281 22338618 44677235 2016 库珀、沃尔特曼（prime95）、库洛夫斯基和布洛瑟（PrimeNet）、，GIMPS等人。 （网页）
50? 77232917 23249425 46498850 2017 Pace、Woltman（prime95）、Kurowski&Blosser（PrimeNet）、GIMPS等人。 （网页）
51? 82589933 24862048 49724095 2018 Laroche、Woltman（prime95）、Blosser（PrimeNet）、GIMPS等人。 （网页）

我们为最后一条梅森河打了问号而不是数字素数，因为不知道中间是否有其他梅森素数直到GIMPS完成检查和复核。请参见这个GIMPS状态页了解更多信息。  并非所有较小的指数都经过了测试。

4.卢卡斯·莱默测试和近代史

梅森素数（因此偶数完全数)是使用以下定理发现：

卢卡斯·莱默测试：对于第页一个奇怪的素数，梅森素数数字2第页-1是素数当且仅当2第页-1 除以S(第页-1） 其中S(n个+1） =S(n个)2-2和S（1）=4。[证明.]

（也可以从S（1）=10和某些其他值开始，具体取决于在第页.）在伪代码中，此测试是：

卢卡斯·莱默测试（p）：秒：=4；对于i从3到p，做s：=s2-2模块2第页-1;如果s==0，则    2第页-1是质数其他    2第页-1为复合型；

这个测试的理论是由卢卡斯在19世纪70年代末，然后由莱默在1930年左右进行了这个简单的测试。序列S(n个)为计算模2第页-1以节省时间。  此测试非常适合二进制计算机，因为它被2除第页-1 （二进制）只能使用旋转和加法。（请参见关于证明素性的几页了解更多信息证明数是素数的。）

1811年彼得巴洛在他的文本《数论》中写道30（2）31-1) “是将要发现的最大[完美数字]，因为它们只是好奇，没有用处，不太可能有人会尝试我想知道他会怎么看待第一个尝试攀登珠穆朗玛峰、跑得更快或跳得更远跳转——其他有趣但没用的任务。显然没有人在19世纪末，人们对现代计算机的威力有任何概念。什么可能我们知道50年后的机器吗？（另请参见“为什么找到大素数？")

美国伊利诺伊州邮票第23届梅森盛会之后伊利诺伊大学的数学系非常自豪他们部门的主席贝特曼博士更换了邮资表加盖“211213-每个信封上都写着“1是质数”直到1976年四色定理被证明。（1985年贝特曼博士印刷早期印记的几个副本——左边的图像来自这些。）

第25和26次梅森素数是由高中生劳拉发现的镍和兰登·科特·诺尔但谁呢他们几乎不了解所涉及的数学，使用卢卡斯的简单在当地大学的主机（CSUH的CDC 174）上进行测试，以找到下两个素数。他们发现了第一个黄金时段，这一消息引起了全国电视台的关注新闻和《纽约时报》头版。他们分开了找到第一个素数后，Noll继续运行程序来查找第二个——所以诺尔声称拥有全部所有权。诺尔后来找过了虽然他从来没有找到过另一个梅塞纳总理，但他是一支坚持不懈的球队最大非梅森素数的记录。他目前为Silicon Graphics公司。

斯洛文斯基他在克雷电脑公司工作，写了一个卢卡斯测试的版本，他说服了许多克雷实验室在业余时间跑遍全世界（否则会浪费时间）。  在获得许可之前，他不得不推迟公布自己的一张主要唱片开始寻找它。斯洛文斯基对记录素数的搜索“不是正如你想象的那样条理分明”（他的话），因为他没有系统地搜索事实上，看一下梅森内斯的排名，你会发现他错过了第29个黄金赛季但找到了第30和第31个。Colquit&Welsh致力于填补找到第29个缺口。

输入乔治·沃尔特曼，优秀程序员和组织者。从1995年末开始，他收集了不同的数据库并将其合并为一个数据库。然后他把这个数据库和一个免费的，高度优化的程序，用于在网上搜索Mersennes。这一切开始了GIMPS公司（伟大的互联网梅森Prime Search）现已发现已知最大的Mersennes在之前的素数记录中，所有未被探索的区域都结合在一起数十名专家和数千名专家的努力业余选手免费软件适用于大多数计算机平台。

1997年末斯科特·库洛夫斯基（和其他）已建立PrimeNet公司实现自动化GIMPS的范围选择和结果报告，现在几乎任何人可以加入此搜索！

5.猜想和未解决的问题

有一个奇数完美数吗？ 
我们知道，所有的偶完美数都是梅森素数的幂共两个(上述定理一)但是奇怪的完美呢数字？如果有一个，那么它就是完美平方乘以奇数单素数的幂；它至少可以被八个素数整除至少有75个基本因子（不一定不同[兔子2006],[兔子2005],[IS2003年])至少有9个不同[尼尔森2006];它至少有300个十进制数字[BCR91号]; 它有一个更大的素除数那个1020[科恩87].有关更多信息，请参阅[里宾博伊姆95]或[盖94].
有无限多的梅森素数吗？ 
等价地，我们可以问：是否存在无穷多个甚至完美的数字？  答案是可能是的（因为调和级数发散）。
梅森复合材料有无限多吗？ 
Euler表示：
定理：如果k个>1和第页=4k个+3是质数，然后是2第页+1是素数当且仅当如果2第页=1（模式2第页+1).
所以如果第页=4k个+3和2第页+1是素数，然后是梅森数2第页-1是复合的（似乎可以推测有无限多这样的素数对第页, 2第页+1).
新梅森猜想:
贝特曼、塞弗里奇和瓦格斯塔夫推测[英国标准W89]以下内容。
让第页是任意奇数自然数。如果以下两个条件成立，那么第三个条件也成立：
  1. 第页= 2k个+/-1或第页= 4k个+/-3
  2. 2第页-1是素数（显然是梅森素数）
  3. (2第页+1） /3是质数。
注意这个猜想是如何与前面的猜想中的定理相联系的。  查看我们的页面新梅森猜想以获取状态信息。
每个梅森都是2号第页-1平方米自由？
这更属于一个悬而未决的问题（我们对此没有回答知道答案），而不是猜测（我们猜测这是真的）[94号人物第A3节]。是的容易的显示如果素数的平方第页把一只梅森犬分开，然后第页是一个威弗里奇首要的这些都很罕见！只有两个已知值低于400000000000这两个平方都不能除以梅森函数。
让C0=2，然后让C1= 2C类0-1中，C类2= 2C类1-1、C3= 2C类2-1中，……这些都是顶级的吗？ 
根据迪克森的说法[迪克森加泰罗尼亚人于1876年回应卢卡斯的说法127-1（C4) 是这个序列的素数。这些数字增长很快：
C类0= 2 （主要）
C类1= 3 （主要）
C类2= 7 （主要）
C类3= 127 （主要）
C类4= 170141183460469231731687303715884105727 （主要）
C类5> 1051217599719369681875006054625051616349 （是C5素数？）
C似乎不太可能5（或许多更大的术语）最好的，所以这无疑是盖伊的另一个例子小强定律数字。请注意，如果其中甚至有一个组合项序列，然后按定理一以下所有内容术语是复合的。  (兰登·科特·诺尔告知我他用过他的程序计算验证C5没有小于5*10的素数51.)
有更多的双梅森素数吗？
另一个常见的早期误解是，如果n个=M第页是素数，那么M也是n个; 让我们把这个号码叫做MM第页（一种“双重梅森”）。事实上，前四个数字中的每一个都是素数：
MM（毫米）2 =  23-1   =  7,
MM（毫米）3 =  27-1   =  127,
MM（毫米）5 =  231-1  =  2147483647,
MM（毫米）7 =  2127-1 =  170141183460469231731687303715884105727.
然而，接下来的四个（MM13MM（毫米）17MM（毫米）19和MM（毫米）31)所有因素都是已知的，合成因素也是如此。有吗这个序列中还有素数吗？可能不会，但它仍然是开放的问题。托尼·福布斯领先一计划搜索下学期的一个因素：MM61，你可能想加入并提供帮助！

请注意加泰罗尼亚层序以上是以下内容的子序列这个。

从PrimePages打印<t5k.org>©Reginald McLean。