零阶逻辑

零阶逻辑是一个非正式的术语，布尔函数、逻辑连接词、一元谓词演算、，命题演算和句子逻辑。这个术语标志着一个抽象的层次，在这个层次上，这些主题之间更无关紧要的差异可以归入适当的同构中。

两个变量上的命题形式

通过初始定向，表1列出了混凝土类型16个函数的等效表达式${\显示样式X\次Y\到\mathbb{B}}$和抽象类型${\显示样式\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}}$在许多不同的语言中用于零阶逻辑。

${\displaystyle{\text{表1.}}~~{\text{两个变量上的命题形式}}}$

$显示样式{\begin{matrix}{\mathcal{L}}_{1}\\{\text{Decimal}}\end{matrix2}}}$	$显示样式{\begin{matrix}{\mathcal{L}}_{2}\\{\text{Binary}}\end{matrix2}}}$	$显示样式{\begin{matrix}{\mathcal{L}}_{3}\\{\text{Vector}}\end{matrixe}}}}$	$显示样式{\begin{matrix}{\mathcal{L}}_{4}\\{\text{Cactus}}\end{matrix2}}}$	$显示样式{\begin{matrix}{\mathcal{L}}_{5}\\{\text{English}}\end{matrix2}}}$	$显示样式{\begin{matrix}{\mathcal{L}}_{6}\\{\text{普通}}\end{matrix2}}}$
	${\显示样式x\冒号}$	${\显示样式1~1~0~0}$
	${\显示样式y\冒号}$	${\显示样式1~0~1~0}$
${\显示样式{\开始{矩阵}f_{0}\\[4pt]f{1}\\[4pt]f{2}\\[4pt]f{3}\\[4点]f{4}\\[4点]f{5}\\[4点]f{6}\\（4点）f{7}\结束{矩阵}}}}{矩阵}f_{0}\\[4pt]f{1}\\[4pt]f{2}\\[4pt]f{3}\\[4点]f{4}\\[4点]f{5}\\[4点]f{6}\\（4点）f{7}\结束{矩阵}}}}$	${\显示样式{\开始{矩阵}f_{0000}\\[4pt]f{0001}\\[4pt]f{0010}\\[4pt]f{0011}\\[4点]f{0100}\\[4点]f{0101}\\[4点]f{0110}\\[4点]f{0111}\结束{矩阵}}}{矩阵}f_{0000}\\[4pt]f{0001}\\[4pt]f{0010}\\[4pt]f{0011}\\[4点]f{0100}\\[4点]f{0101}\\[4点]f{0110}\\[4点]f{0111}\结束{矩阵}}}$	$｛\displaystyle｝开始{矩阵}0~0~0~0 \\[4pt]0~0~1\\[4pt]0~0 ~1~0 \\[4pt]0~0 ~ 1~1\\[4 pt]0~1~0 ~ 0\\[4 PT]0~1 ~ 0~1\\[4 pt]0~1~1 \\[4 pt]0~1~0\\[4pp]0~1 ~1~1~1{矩阵}0~0~0~0 \\[4pt]0~0~1\\[4pt]0~0 ~1~0 \\[4pt]0~0 ~ 1~1\\[4 pt]0~1~0 ~ 0\\[4 PT]0~1 ~ 0~1\\[4 pt]0~1~1 \\[4 pt]0~1~0\\[4pp]0~1 ~1~1~1$	${\显示样式{\开始{矩阵}{\texttt{（}}~{\texttt{）}}\\[4pt]{\textt{{\textt{）}\\[4pt]{\texttt{$	${\显示样式{\开始{矩阵}{\text{false}}\\[4pt]{\text{nother}}~x~{\text}nor}}~y\\[4pt]y~{\text{without}}~x \\[4ps]{\text}not}}~x-\\[4ppt]x~{text{without{}}~y \\[4pt]{\txt{nother{}~y\[4pt]{\text{\text{不同时}}~x~{\text}和}}~y\end{matrix}}$	${\显示样式{\开始{矩阵}0\\[4pt]\lnot x\land\lnot y\\[4pt]\lnot x \land y \\[4pt]\lnotx \\[4pt]x\land \ lnot y \\[4 pt]\l not y \\[4 pt]x\neq y \\[4mt]\lnote x\lor \ lnot y\end{矩阵}}}{矩阵}0\\[4pt]\lnot x\land\lnot y\\[4pt]\lnot x \land y \\[4pt]\lnotx \\[4pt]x\land \ lnot y \\[4 pt]\l not y \\[4 pt]x\neq y \\[4mt]\lnote x\lor \ lnot y\end{矩阵}}}$
${\显示样式{\开始{矩阵}f_{8} [4pt]f{9}\\[4pt]f{10}\\[4pt]f{11}\\[4点]f{12}\\[4点]f{13}\\【4点】f{14}\\（4点）f{15}\结束{矩阵}}}}{矩阵}f_{8} [4pt]f{9}\\[4pt]f{10}\\[4pt]f{11}\\[4点]f{12}\\[4点]f{13}\\【4点】f{14}\\（4点）f{15}\结束{矩阵}}}}$	${\显示样式{\开始{矩阵}f_{1000}\\[4pt]f{1001}\\[4pt]f{1010}\\[4pt]f{1011}\\[4点]f{1100}\\[4点]f{1101}\\【4点】f{1110}\\（4点）f{1111}\结束{矩阵}}}}{矩阵}f_{1000}\\[4pt]f{1001}\\[4pt]f{1010}\\[4pt]f{1011}\\[4点]f{1100}\\[4点]f{1101}\\【4点】f{1110}\\（4点）f{1111}\结束{矩阵}}}}$	${\显示样式{\开始{矩阵}1~0~0~0 \\[4pt]1~0~01\\[4pt]1~0~1~0 \\[4pt]1~0 ~1~1\\[4pt]1~1~0 \[4pt]1~1 ~ 0~1\\[4 pt]1~1~1~0{矩阵}1~0~0~0 \\[4pt]1~0~01\\[4pt]1~0~1~0 \\[4pt]1~0 ~1~1\\[4pt]1~1~0 \[4pt]1~1 ~ 0~1\\[4 pt]1~1~1~0$	${\显示样式{\开始{矩阵}x~y\\[4pt]{\texttt{（（}}x{\texttt{，}}~y{\texttt{））}}\\[4pt]y\\[4 pt]{\t文本{（}}x~{\textt{（{}y{\ttexttt{）（}}x{\texttt{）（}}y{\texttt{））}}\\[4pt]{\texttt{（}}~{\texttte{）}}\end{矩阵}}{矩阵}x~y\\[4pt]{\texttt{（（}}x{\texttt{，}}~y{\texttt{））}}\\[4pt]y\\[4 pt]{\t文本{（}}x~{\textt{（{}y{\ttexttt{）（}}x{\texttt{）（}}y{\texttt{））}}\\[4pt]{\texttt{（}}~{\texttte{）}}\end{矩阵}}$	${\显示样式{\开始{矩阵}x~{\text{和}}~y\\[4pt]x~{\text{等于}}~y \\[4pt]y\\[4 pt]{\text}不带}}~x~{text{不带{}}的~y \\[4pt]x\\[4 pt]{\text不带}{}的~ y~{\ttext{没有}}}的{矩阵}x~{\text{和}}~y\\[4pt]x~{\text{等于}}~y \\[4pt]y\\[4 pt]{\text}不带}}~x~{text{不带{}}的~y \\[4pt]x\\[4 pt]{\text不带}{}的~ y~{\ttext{没有}}}的$	${\显示样式{\开始{矩阵}x\land y\\[4pt]x=y\\[4 pt]y\\[4 pt]x\右箭头y\\[4 pt]x\\[4pt]x\Leftarrow y\\〔4 pt]x \lor y\\（4 pt]1\end{矩阵}}}{矩阵}x\land y\\[4pt]x=y\\[4 pt]y\\[4 pt]x\右箭头y\\[4 pt]x\\[4pt]x\Leftarrow y\\〔4 pt]x \lor y\\（4 pt]1\end{矩阵}}}$

十六个布尔函数的这六种语言按以下顺序方便地描述：

• 语言${\显示样式{\mathcal{L}}_{3}}$描述每个布尔函数${\显示样式f:\mathbb{B}^{2}\to\mathbb{B}}$通过四个布尔值的序列，${\显示样式f（1,1），}$ ${\显示样式f（1,0），}$ ${\显示样式f（0,1），}$ ${\显示样式f（0,0）.}$这样的序列，可能是另一种顺序，也可能具有逻辑值${\显示样式\mathrm{F}}$和$｛\displaystyle\mathrm｛T｝｝$而不是布尔值${\显示样式0}$和$｛\displaystyle 1，｝$分别显示为真理表.

• 语言${\显示样式{\mathcal{L}}_{2}}$在表格中列出了16个函数${\显示样式f{i}，}$其中索引${\显示样式i}$是由中的布尔值序列形成的位字符串$显示样式{\mathcal{L}}_{3}.}$

• 语言${\显示样式{\mathcal{L}}_{1}}$标记布尔函数${\显示样式f{i}}$带有索引${\显示样式i}$它是中二进制数字索引的十进制等价物$显示样式{\mathcal{L}}_{2}.}$

• 语言$｛\displaystyle｛\mathcal｛L｝｝_｛4｝｝$用以下术语表达十六种功能逻辑连词以产品的方式连接函数名或命题表达式，再加上最小否定运算符，其中的前几个符号在以下变体符号中给出：

${\displaystyle{\begin{matrix}{\texttt{（）}}&=&0&=&\mathrm{false}\\[6pt]{\texttt{}&=&x^{prime}y\lorxy^{primer}\\[6pt]{\texttt{（}}x{\textt{，}}y{\texttt，}}z{\texttte{）}&=&{\ttilde{x}}yz\lorx{\tillde{y}}z\lorxy{\波浪线{z}&=&x^{prime}yz\lor xy^{prime}z\lor-xyz^{primer}\end{matrix}}}z\lorxy{\波浪线{z}&=&x^{prime}yz\lor xy^{prime}z\lor-xyz^{primer}\end{matrix}}$

值得注意的是$｛\displaystyle｛\texttt｛（｝）｝x｛\texttt｛，｝｝y｛\texttt｛）｝｝$功能与${\显示样式x+y}$和${\显示样式x\neq y.}$指示的包含析取${\显示样式{\texttt{（}}x{\texttt{，}}y{\textt{）}}$和用于${\显示样式{\texttt{（}}x{\textt{，}}y{\textt1{，{}z{\textth{）}}}$在不影响含义的情况下，可以用排他析取替换，因为被析取的术语已经是不相交的。然而，函数${\显示样式{\texttt{（}}x{\textt{，}}y{\textt1{，{}z{\textth{）}}}$与函数不同${\显示样式x+y+z.}$

• 语言${\显示样式{\mathcal{L}}_{5}}$列出了16个函数的普通语言表达式。许多其他的释义也是可能的，但这些释义提供了最简单的对等示例。

• 语言$显示样式{\mathcal{L}}_{6}}$用形式逻辑中常用的几种符号之一表示十六个函数。

资源

• 逻辑教学大纲

文档历史记录

上述文章的部分内容根据GNU自由文档许可证、其他适用许可证或版权所有者的许可改编自以下来源。

• 零阶逻辑,国际科学维基
• 零阶逻辑,维基大学
• 零阶逻辑,维基百科
• 零阶逻辑,Altheim.com网站