威尔逊定理

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威尔逊定理关系到阶乘和质数.戈特弗里德·莱布尼茨在John Wilson和爱德华·沃林来了。

定理W1。（威尔逊）同余 ${\显示样式（n-1）！\equiv-1\mod n}$成立当且仅当${\显示样式n}$是质数。换句话说，数字${\显示样式（n-1）！+1}$是的倍数${\显示样式n}$只有当${\显示样式n}$是质数。

证明。如果${\显示样式n}$是复合的，那么它至少有一个素因子${\显示样式1<p<（n-1）}$。对于${\显示样式n=4}$，我们看到了${\显示样式3！\equiv 2\mod 4}$对于所有较高的复合材料${\显示样式n}$，我们看到数字${\显示样式（n-1）！=\prod_{i=1}^{n-1}i}{n-1}i}$是一个贯穿于${\显示样式n}$以及重复许多相同素因子的其他复合数，因此${\显示样式（n-1）！\equiv 0\mod n}$不是-1。

素数2的情况很容易通过检查解决，只剩下我们需要关心的奇数素数。我们也可以通过检查处理3个。奇素数的唯一除数${\显示样式p}$是1和它本身，因此${\显示样式\gcd（j，p）=1}$为所有人${\显示样式1<j<p-1}$对于每个${\显示样式j}$，正好有一个整数${\显示样式1<k<p-1}$这样的话$｛\displaystyle jk\equiv 1\mod p｝$。这意味着每个从2到的整数${\显示样式p-2}$可以配对，使其产品比${\显示样式p}$，因此${\显示样式\prod_{i=2}^{p-2}i\等于1\mod p}{p-2}i\等于1\mod p}$这没有达到阶乘，因为它省略了由1和${\显示样式p-1}$我们看到了$｛\displaystyle1\times（p-1）\equiv-1\mod p｝显示样式1\times（p-1）\equiv-1\mod p｝$，因此${\显示样式（p-1）！}$满足定理规定的同余。□

因此，如果我们取一个素数，例如7，我们会发现数字1的阶乘小于该素数的倍数，例如6！+的情况1=721，即103乘以7（参见A060371型和A007619号).

当然，有很多方法可以证明这个定理。几十年前，博克使用多项式代数并调用费马小定理.

另请参见

• A061006号