命题演算

A类命题演算（或a句子演算)是一个正式的系统，它代表了命题逻辑（或语句逻辑). 命题逻辑是形式主题的一个领域，即直到同构为止，由数学对象的结构关系构成，称为命题.

一般来说，微积分是由一组语法表达式组成的形式系统(格式良好的公式或世界粮食基金会)，这些表达式的一个可分辨子集，加上一组转换规则，这些规则定义了表达式空间上的二进制关系。

当出于数学目的解释表达式时，转换规则通常旨在保留表达式之间的某种类型的语义等价关系。特别是，当表达式被解释为逻辑系统时，语义等价通常是指逻辑等价。在此设置中，转换规则可用于从任何给定表达式派生逻辑等效表达式。这些推导包括特殊情况（1）简化表达式和（2）确定给定表达式是否等价于可分辨子集中的表达式的问题，通常被解释为逻辑表达式的子集公理.

公理集可以是空的、非空的有限集、可数无限集，也可以由公理模式给出。形式语法递归地定义了语言的表达式和格式良好的公式（wffs）。此外，还给出了定义真理和估值（或解释）的语义。它允许我们确定哪些wff是有效的，也就是说，是定理。

命题演算的语言由（1）一组原始符号组成，这些符号被称为原子公式,占位符,命题信，或变量，和（2）一组运算符符号，不同的解释为逻辑运算符或逻辑连词.A型格式良好的公式(世界粮食基金会)是任何原子公式或可以通过运算符符号从原子公式中建立的任何公式。

以下概述了标准命题演算。存在着许多不同的公式，这些公式或多或少是等价的，但在（1）它们的语言中有所不同，即原始符号和运算符符号的特定集合，（2）公理集或区别公式，以及（3）可用的转换规则集。

抽象与应用

虽然可以构造一个抽象的形式演算，但它没有直接的实际用途，在明显的应用程序中几乎什么都没有微积分指出这类形式系统的起源是由于其原型成员在实际计算中的效用。一般来说，任何数学演算都是为了表示形式对象的给定域而设计的，并且通常是为了方便需要在此表示中进行的计算和推断。因此，在开发微积分本身之前，给出了预期表示的一些概念，即微积分公式要表示的形式对象。

纵观其历史发展过程，任何给定主题的形式演算通常都是通过一个逐步抽象、逐步细化、以及由一系列非正式符号系统的试错综合过程产生的，这些符号系统为先前的使用提供了信息，其中每一个仅部分地或从特定角度覆盖对象域。

命题演算的一般描述

A类命题演算是一个正式的系统 ${\displaystyle{\mathcal{L}}={\matchal{L{}}\（\mathrm{A}，\\Omega，\\mathrm}Z}，\mathrm{I}）}$ ，其公式按以下方式构造：

这个阿尔法集 ${\显示样式\mathrm{A}}$ 是一组有限的元素，称为命题符号或命题变元从句法上讲，这些是形式语言最基本的要素 ${\显示样式{\mathcal{L}}，}$ 否则称为原子公式或终端元件。在接下来的示例中 ${\显示样式\mathrm{A}}$ 通常是字母第页,q个,对等等。

这个欧米伽集合 ${\显示样式\Omega}$ 是一组有限的元素，称为运算符符号或逻辑连词.套装 ${\显示样式\Omega}$ 按如下方式划分为不相交的子集：

{\displaystyle\Omega=\Omega_{0}\cup\Omega _{1}\cupt\ldots\cup\欧米茄_{j}\cup \ldots \cup\ Omega _{m}.}

在这个分区中，

{\显示样式\Omega _{j}}

是的运算符符号集arity公司

{\显示样式j.}

在更为常见的命题演算中，

{\显示样式\Omega}

通常按以下方式进行分区：

｛\displaystyle\Omega_｛1｝=\｛\lnot\｝，｝

{\显示样式\Omega_{2}\subseteq\{\land，\lor，\rightarrow，\leftrightarror\}.}

一个常用选项将常量逻辑值视为arity零的运算符，因此：

{\显示样式\Omega_{0}=\{0,1\}.}

有些作者用波浪号（~）代替（-），有些作者用与号（&）代替（∧）。对于逻辑值集，表示法的变化甚至更大，使用的符号有{false、true}、{F、T}、}0、1}和{

{\显示样式\bot}

,

{\显示样式\top}

}所有这些都可以在不同的背景下看到。

根据精确的形式语法或正在使用的语法形式主义，可能需要左括号“（”和右括号“）”等句法辅助词来完成公式的构造。

这个语言属于 ${\显示样式{\mathcal{L}}}$ ，也称为其集合公式,格式良好的公式或世界粮食基金会，由以下规则归纳或递归定义：

基础。alpha集的任何元素 ${\显示样式\mathrm{A}}$ 是的公式 ${\显示样式{\mathcal{L}}}$ .
步骤（a）。如果第页是一个公式，那么第页是一个公式。
步骤（b）。如果第页和q个是公式，那么(第页∧q个), (第页∨q个), (第页→q个)、和(第页↔q个)是公式。
关闭。没有其他东西是公式 ${\显示样式{\mathcal{L}}}$ .

重复应用这些规则可以构造复杂的公式。例如：

根据规则1，第页是一个公式。
根据规则2第页是一个公式。
根据规则1，q个是一个公式。
根据规则3第页∨q个)是一个公式。

这个zeta集合 ${\显示样式\mathrm{Z}}$ 是有限集转换规则被称为推理规则当他们获得逻辑应用程序时。

这个iota集合 ${\显示样式\mathrm{I}}$ 是有限集初始点被称为公理当他们接受逻辑解释时。

示例1。简单公理系统

让 ${\displaystyle{\mathcal{L}}_{1}={\matchal{L{}}\（\mathrm{A}，\\Omega，\\mathrm}，\mathrm{I}）}$ ，其中 ${\displaystyle\mathrm{A}，\\Omega，\\mathrm}Z}，\\nathrm{I}}$ 定义如下：

阿尔法集 ${\显示样式\mathrm{A}}$ 是一组有限的符号，其大小足以满足给定讨论的需要，例如：

{\显示样式\mathrm{A}=\{p，q，r，s，t，u\}\，.}

在表示连接、析取和蕴涵的三个连接词中（∧、∨和→），一个可以被视为原语，另外两个可以用it和否定（-）来定义。事实上，所有的逻辑连接词都可以用唯一充分算子.双条件(↔) 当然可以用连词和隐含来定义↔ b定义为（a→b）∧（b→a）。

采用否定和蕴涵作为命题演算的两个基本运算，等于拥有欧米伽集 ${\displaystyle\Omega=\Omega_{1}\cup\Omega _{2}}$ 分区如下：

{\displaystyle\Omega_{1}=\{\lnot\}\，，}

｛\displaystyle\Omega_｛2｝=\｛\Rightarrow\｝\，.｝

发现的公理系统扬·卢卡西维茨用这种语言表述命题演算如下：

${\显示样式p\右箭头（q\右箭头p）}$

${\显示样式（p\右箭头（q\右箭头r））\右箭头$

${\显示样式（\neg p\右箭头\neg q）\右箭头（q\右箭头p）}$

推理规则是桥式起重机:

发件人第页, (第页⇒q个)，推断q个.

然后我们有以下定义：

第页∨q个定义为第页⇒q个.

第页∧q个定义为(第页⇒ ¬q个).

示例2。自然扣除制度

让 ${\displaystyle{\mathcal{L}}_{2}={\matchal{L{}}\（\mathrm{A}，\\Omega，\\mathrm}，\mathrm{I}）}$ ，其中 $｛\displaystyle\mathrm｛A｝，\\Omega，\\mathrm｛Z｝，\\mathrm｛I｝｝$ 定义如下：

阿尔法集 ${\显示样式\mathrm{A}}$ 是一组有限的符号，其大小足以满足给定讨论的需要，例如：

{\显示样式\mathrm{A}=\{p，q，r，s，t，u\}\，.}

欧米茄套装 ${\displaystyle\Omega=\Omega_{1}\cup\Omega _{2}}$ 分区如下：

{\displaystyle\Omega_{1}=\{\lnot\}\，，}

｛\displaystyle\Omega_｛2｝=\｛\land，\ lor，\ rightarrow，\ left-rightarrow \｝\，.｝

在下面的命题演算示例中，转换规则旨在解释为所谓的自然扣除制。这里介绍的特定系统没有初始点，这意味着它对逻辑应用的解释衍生出它的定理从一个空的公理集。

初始点集为空，即， ${\displaystyle\mathrm{I}=\varnothing\，.}$

转换规则集， ${\显示样式\mathrm{Z}，}$ 描述如下：

继续…

图形结石

主要文章 :逻辑图

形式语言的定义可以从有限基上的一组有限序列中推广到包括许多其他数学结构集，只要它们是通过有限手段从有限材料中建立起来的。此外，这些形式结构家族中的许多特别适合在逻辑中使用。

例如，有许多图形族与形式语言非常相似，因此微积分的概念很容易自然地扩展到它们。事实上，许多种类的图都是这样出现的解析图形在句法分析中对应的语篇结构家族。形式语言实际计算的迫切性经常要求将文本字符串转换为解析图的指针结构表示形式，只需检查字符串是否为wffs。一旦完成这项工作，开发字符串上微积分的图形模拟将获得许多好处。从字符串到解析图的映射称为解析并且通过一个名为穿越图表。

工具书类

Brown，Frank Markham（2003），布尔推理：布尔方程的逻辑第1版，Kluwer学术出版社，马萨诸塞州诺维尔。第2版，多佛出版社，纽约州米诺拉，2003年。

Chang，C.C.和Keisler，H.J.（1973），模型理论荷兰阿姆斯特丹北荷兰。

Kohavi，Zvi（1978），切换与有限自动机理论第1版，麦格劳-希尔出版社，1970年。第二版，麦格劳-希尔出版社，1978年。

Robert R.Korfhage（1974），离散计算结构，学术出版社，纽约，NY。

Lambek，J.和Scott，P.J.（1986），高阶范畴逻辑导论，剑桥大学出版社，英国剑桥。

埃利奥特·门德尔森（1964），数学逻辑导论D.Van Nostrand公司。

资源

逻辑教学大纲

Kevin C.Klement（2006），“命题逻辑”，载于James Fieser和Bradley Dowden（编辑），互联网哲学百科全书.在线的.

马格纳斯，P.D。Forall x：形式逻辑导论.

命题演算基础.

数学逻辑导论.

文档历史记录