乘法算术函数

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不要混淆乘法函数，中使用的术语代数.

在数论,乘法算术函数是算术函数 ${\显示样式\脚本样式a（n），\，n\，\ in，\mathbb{n}^{+}，}$这样的话

${\显示样式m\perp n\右箭头a（mn）=a（m）a（n），\四元m，\，n\in\mathbb{n}^{+}，\，}$

哪里${\显示样式\脚本样式m\，\perp\，n}$方法${\显示样式\脚本样式m}$是互质到$｛\displaystyle\scriptstyle n｝$显然，${\显示样式\脚本样式a（1）}$必须为1。

例如，欧拉函数 ${\displaystyle\scriptstyle\varphi（n）}$是乘法的：注意${\displaystyle\scriptstyle\varphi（3）=2}$和${\displaystyle\scriptstyle\varphi（7）=6，}$因此${\displaystyle\scriptstyle\varphi（21）=\ varphi$然而，${\displaystyle\scriptstyle\varphi（24）\neq\phi（4）\valphi（6）}$作为${\显示样式\脚本样式\gcd（4,6）=2}$; 相反，我们应该这样做${\displaystyle\scriptstyle\varphi（24）=\ varphi$.即使数字不是互质，恒等式仍然成立的函数也被调用完全乘法的.

Erdős证明如果一个函数是乘法的并且是递增的，那么有${\displaystyle\scriptstyle\alpha\geq 0}$这样的话${\displaystyle\scriptstylea（n）=n^{\alpha}}$对于${\显示样式\脚本样式n\geq 1.}$事实上，递减函数也有类似的结果，因此，如果一个函数是乘法和单调的，那么它要么是${\displaystyle\scriptstylea（n）=n^{\alpha}}$对一些人来说${\displaystyle\scriptstyle\alpha}$或${\显示样式\脚本样式a（n）=0}$对于${\显示样式\脚本样式n>2.}$

另请参阅

• 乘法算术函数
• 完全乘法算术函数
• 加法算术函数
• 完全加法算术函数