最小求反运算符

A类最小否定运算符 ${\显示样式（\nu）}$是一个逻辑连接词，表示其逻辑论点中“只有一个错误”。前四种情况如下所述。

0. 如果参数列表为空，如表中所示${\显示样式\nu（），}$那么其中一个参数不可能是真的，所以${\displaystyle\nu（）=\mathrm{false}.}$
1. 如果${\显示样式p}$那是唯一的论据${\显示样式\nu（p）}$这么说${\显示样式p}$是假的，所以${\显示样式\nu（p）}$表达命题的逻辑否定${\显示样式p.}$用几种不同的符号表示，我们有以下等价的表达式。

   ${\显示样式\nu（p）~=~\mathrm{not}（p）=~\lnotp~=~{\波浪线{p}}~=~p^{prime}}$

2. 如果${\显示样式p}$和${\显示样式q}$那么只有两个论点吗${\显示样式\nu（p，q）}$说的就是其中之一${\显示样式p，q}$是假的，所以${\显示样式\nu（p，q）}$说的和$｛\displaystyle p\neq q q。｝$表达${\显示样式\nu（p，q）}$就和而言${\显示样式（\cdot），}$或${\显示样式（\lor），}$而不是${\显示样式（{\波浪线{~}}）}$给出了以下形式。

   $｛\displaystyle\nu（p，q）~=~｛\tilde｛p｝｝\cdot q~\lor~p\cdot｛\tilde｛q｝｝｝$

   允许省略点${\显示样式（\cdot）}$在理解的上下文中，给出以下形式。

   ${\displaystyle\nu（p，q）~=~{\tilde{p}}q\lorp{\ tilde{q}}}$

   文氏图${\显示样式\nu（p，q）}$如图1所示。

   $｛\displaystyle｛\text｛图1.｝｝~~\nu（p，q）｝$

3. 文氏图${\显示样式\nu（p，q，r）}$如图2所示。

   ${\显示样式{\text{图2.}}~~\nu（p，q，r）}$

   中心单元格是所有三个参数所在的区域$｛\displaystyle p，q，r｝显示样式p，q，r｝$保持正确，所以${\显示样式\nu（p，q，r）}$仅在三个相邻的细胞中适用。换句话说：

   ${\displaystyle\nu（p，q，r）~=~{\tilde{p}}qr\lorp{\tillde{q}}r\lorpq{\tille{r}}$

初始定义

这个最小否定运算符 $｛\displaystyle\u｝$是一个多级算子 $显示样式（nu_{k}）_{k\in\mathbb{N}}$其中每个${\显示样式\nu_{k}}$是一个${\显示样式k}$-ary系列布尔函数由以下规则定义$｛\displaystyle\nu _｛k｝（x_｛1｝，\ldots，x_｛k｝）=1｝$当且仅当其中一个参数${\显示样式x{j}}$是${\显示样式0.}$

在首字母的上下文中${\显示样式\nu}$可以理解，最小否定运算符可以用括号中的参数列表来表示。在以下文本中，基于最小否定运算符的逻辑表达式将使用独特的字体，例如：，${\显示样式{\texttt{（x，y，z）}}=\nu（x，y，z）。}$

这个操作符家族的前四个成员如下所示。第三栏和第四栏用另外两种符号进行解释，其中波浪号和质数分别表示逻辑否定。

${\displaystyle{\begin{matrix}{\texttt{（）}}&=&\nu_{0}&=&=&\mathrm{false}\\[6pt]{\texttt{y\lorx{\tilde{y}}&=&x^{\prime}y\lor xy^{\prime}\\[6pt]{\texttt{（x，y，z}&=&x^{prime}yz\lorxy^{prime}z\lor xyz^{primer}end{matrix}}}}&=&x^{prime}yz\lorxy^{prime}z\lor xyz^{primer}end{matrix}}}$

形式化定义

表达……的一般情况${\显示样式\nu_{k}}$就熟悉的操作而言，引入中介概念是有帮助的：

定义。让函数${\显示样式\lnot_{j}:\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{B}}$为每个整数定义${\显示样式j}$在间隔中${\显示样式[1，k]}$通过以下等式：

${\displaystyle\lnot_{j}（x{1}，\ldots，x{j}，\ldot，x{k}）~=~x{1{}\land\ldots\land x{j-1}\land\ lnotx{j{}\andx{j+1}\land \ldots\land x}k}.}$

然后${\显示样式{\nu_{k}:\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{B}}}$由以下等式定义：

$｛\displaystyle\nu _｛k｝（x_｛1｝，\ldots，x_｛k｝）~=~\lnot_｛1｝（x_｛1｝，\ldots，x_｛k｝）\lor\ldots\lornot_｛j｝（x_｛1｝，\ldots，x_｛k｝）\lordots\lornot_｛k｝（x_｛1｝，\ldots，x_｛k｝）。｝$

如果我们取布尔积${\显示样式x{1}\cdot\ldots\cdotx{k}}$或逻辑连词${\显示样式x{1}\land\ldots\land x{k}}$以指示点${\显示样式x=（x{1}，\ldots，x{k}）}$在太空中${\显示样式\mathbb{B}^{k}}$然后是最小否定${\显示样式{\texttt{（}}x{1}{\texttt{，}}\ldots{\textt{，{}x{k}{\ttextt{）}}$指示中的点集${\显示样式\mathbb{B}^{k}}$不同于${\显示样式x}$正好在一个坐标中。这使得${\显示样式{\texttt{（}}x{1}{\texttt{，}}\ldots{\textt{，{}x{k}{\ttextt{）}}$在普通实分析中，点发射邻域的离散函数模拟，更确切地说，是点发射距离邻域。从这个角度来看，最小否定算子可以被认为是一种微分构造，这一观察打开了一个非常广阔的领域。

本讨论的其余部分继续讨论加号的代数约定${\显示样式（+）}$和求和符号${\显示样式（\textstyle\sum）}$两者均指加法模2。除非另有说明，否则布尔域${\显示样式\mathbb{B}=\{0,1\}}$以这样的方式解释逻辑${\显示样式0=\mathrm{false}}$和$｛\displaystyle1=\mathrm｛true｝。｝$这将产生以下后果：

•	操作${\显示样式x+y}$是一个等价于${\显示样式x}$和${\显示样式y，}$而其1的纤维是${\显示样式x}$和${\显示样式y.}$
•	操作${\displaystyle\textstyle\sum_{j=1}^{k} x个_{j} }{k} x个_{j} }$映射位序列$显示样式（x{1}，\ldot，x{k}）}$至其奇偶校验.

最小否定运算符的以下属性${\显示样式{\nu_{k}:\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{B}}}$可以注意到：

•	功能${\显示样式{\文本{（x，y）}}}$与操作关联的相同${\显示样式x+y}$和关系${\显示样式x\neq y.}$
•	相反，${\显示样式{\文本{（x，y，z）}}}$与不相同${\显示样式x+y+z.}$
•	更一般地说，功能$｛\displaystyle\nu _｛k｝（x_｛1｝，\dots，x_｛k｝）｝$对于${\显示样式k>2}$与布尔和不同${\displaystyle\textstyle\sum_{j=1}^{k} x个_{j} .}条{k} x个_{j} .}条$
•	为指示的包含析取${\显示样式\nu_{k}}$由于析取中的术语已经不相交，因此可以用互斥析取替换多个参数，而不影响其含义。

真相表

表3是一个真值表类型的16个布尔函数${\显示样式f:\mathbb{B}^{3}\to\mathbb{B}}$其1的纤维是${\显示样式\mathbb{B}^{3}}$或这些边界的补充。

${\显示样式{\text{表3.}}~~{\text}逻辑边界及其补码}}}$

${\显示样式{\mathcal{L}}_{1}}$	${\显示样式{\mathcal{L}}_{2}}$	${\显示样式{\mathcal{L}}_{3}}$	${\显示样式{\mathcal{L}}_{4}}$
	${\显示样式p\冒号}$	${\显示样式1~1~1~1~0~0~0}$
	$｛\displaystyle q\colon｝$	${\显示样式1~1~0~0~1~1~0}$
	${\显示样式r\colon}$	${\显示样式1~0~1~0~1:0~1~0}$
${\显示样式{\开始{矩阵}f_{104}\\[4pt]f{148}\\[4pt]f{146}\\[4pt]f{97}\\[4点]f{134}\\[4点]f{73}\\【4点】f{41}\\（4点）f{22}\结束{矩阵}}}}{矩阵}f_{104}\\[4pt]f{148}\\[4pt]f{146}\\[4pt]f{97}\\[4点]f{134}\\[4点]f{73}\\【4点】f{41}\\（4点）f{22}\结束{矩阵}}}}$	${\显示样式{\开始{矩阵}f_{01101000}\\[4pt]f_{10010100}\\[4pt]f_{10010010}\\[4]pt]f_{0110001}\\[4mt]f_}{10000110}\\[4-pt]f_n{01001001}\\[4 pt]f_{00101001}\\[4pt]f__{00010110}\ end{矩阵}}}{矩阵}f_{01101000}\\[4pt]f_{10010100}\\[4pt]f_{10010010}\\[4]pt]f_{0110001}\\[4mt]f_}{10000110}\\[4-pt]f_n{01001001}\\[4 pt]f_{00101001}\\[4pt]f__{00010110}\ end{矩阵}}}$	${\显示样式{\开始{矩阵}0~1~1~0~1~0~0~0 \\[4pt]1~0~0-1~0~1~1~0 ~0 \\[4pt]1~0~ 0~1~0 ~ 0~0\\[4pt]0~1~1~ 0~0 ~ 0 ~ 0~1\\[4pt]1~0 ~ 1~1~0\\[4 pt]0~1~0-0~0~ 1~0\\[4pt]0~0~1 ~ 0~0-0~1\\[4mt]0~0 ~0~1\\[0[4pt]0~0 ~0~1~0~1~1~0\结束{矩阵}}}{矩阵}0~1~1~0~1~0~0~0 \\[4pt]1~0~0-1~0~1~1~0 ~0 \\[4pt]1~0~ 0~1~0 ~ 0~0\\[4pt]0~1~1~ 0~0 ~ 0 ~ 0~1\\[4pt]1~0 ~ 1~1~0\\[4 pt]0~1~0-0~0~ 1~0\\[4pt]0~0~1 ~ 0~0-0~1\\[4mt]0~0 ~0~1\\[0[4pt]0~0 ~0~1~0~1~1~0\结束{矩阵}}}$	${\displaystyle{\begin{matrix}{\texttt{（}}~p~{\texttt{，}}~q~{\ttexttt{，{}~r~{texttt{）}}\\[4pt]{\texttt{文本{），}}~r~{\texttt{）}}\\[4pt]{\texttt{}~r~{\texttt{）}\\[4pt]{\texttt{（（}}p{\texttt{），}}~q~{\ttexttt{，（}}r{\textt{））}\\[4pt]{\texttte{}}q{\texttt{），（}}r{\texttt{）}}\end{矩阵}}}~r~{\texttt{）}\\[4pt]{\texttt{（（}}p{\texttt{），}}~q~{\ttexttt{，（}}r{\textt{））}\\[4pt]{\texttte{}}q{\texttt{），（}}r{\texttt{）}}\end{矩阵}}$
${\显示样式{\开始{矩阵}f_{233}\\[4pt]f{214}\\[4pt]f{182}\\[4pt]f{121}\\[4点]f{158}\\[4点]f{109}\\【4点】f{107}\\（4点）f{151}\结束{矩阵}}}{矩阵}f_{233}\\[4pt]f{214}\\[4pt]f{182}\\[4pt]f{121}\\[4点]f{158}\\[4点]f{109}\\【4点】f{107}\\（4点）f{151}\结束{矩阵}}}$	${\显示样式{\开始{矩阵}f_{11101001}\\[4pt]f{11010110}\\[4pt]f{10110110}\\[4pt]f{01111001}\\[4 pt]f_{10011110}\\[4 pt]f_{01101101}\\[4pt]f{0110111}\\【4pt】f_{1010111}\\[4pt]f{10010111}\结束{矩阵}}}}{矩阵}f_{11101001}\\[4pt]f{11010110}\\[4pt]f{10110110}\\[4pt]f{01111001}\\[4 pt]f_{10011110}\\[4 pt]f_{01101101}\\[4pt]f{0110111}\\【4pt】f_{1010111}\\[4pt]f{10010111}\结束{矩阵}}}}$	${\显示样式{\开始｛矩阵｝1~1~1~0~1~0~0~1\\[4pt]1~1~0~ 1~0~1~1~1~0 \\[4pt]1~0~1~1~0 ~1~0 \\[4pt]0~1~1~ 1~1~1~1~1 ~ 0~0\\[4ps]1~0~ 0~1~1~1~0\\[4 pt]0~ 1~1~1~1 ~ 0 \\[4 pt]0~1~1 ~0~1 \\[4 PT]0~1 ~ 1~1\\[4 ~0~1~0~1~1~1\end{矩阵}}｛矩阵｝1~1~1~0~1~0~0~1\\[4pt]1~1~0~ 1~0~1~1~1~0 \\[4pt]1~0~1~1~0 ~1~0 \\[4pt]0~1~1~ 1~1~1~1~1 ~ 0~0\\[4ps]1~0~ 0~1~1~1~0\\[4 pt]0~ 1~1~1~1 ~ 0 \\[4 pt]0~1~1 ~0~1 \\[4 PT]0~1 ~ 1~1\\[4 ~0~1~0~1~1~1\end{矩阵}}$	${\displaystyle{\begin{matrix}{\texttt{（（}}p{\texttt{），（}}q{\texttt{）、（}}r{\texttt{（}}p{texttt{，}}r{texttt}）}q{\texttt{），（}}r{\textt{））}\\[4pt]{\texttt{（（}}~p~{\texttt{，（}{q{\ttexttt{，），}}~r~{\ttexttt{）}\\[4pt]{\textt{（}}=p~{texttt{，}}=q~{\text{，tt{（（}}~p~{\texttt{，}}~q~{\text{，{}~r~{texttt{））}}\end{矩阵}}}q{\texttt{），（}}r{\textt{））}\\[4pt]{\texttt{（（}}~p~{\texttt{，（}{q{\ttexttt{，），}}~r~{\ttexttt{）}\\[4pt]{\textt{（}}=p~{texttt{，}}=q~{\text{，tt{（（}}~p~{\texttt{，}}~q~{\text{，{}~r~{texttt{））}}\end{矩阵}}$

图表和图表

本节重点介绍最小否定运算符的可视化表示。一些术语在描述图片时很有用，但正式的细节阅读起来很乏味，许多读者可能都很熟悉，所以在斜体字在文章末尾被归入术语表。

空间可视化的两种方法${\显示样式\mathbb{B}^{k}}$属于${\显示样式2^{k}}$分数是超立方体图片和文恩图图片。超立方体图片关联了${\显示样式\mathbb{B}^{k}}$具有独特的${\显示样式k}$-多维超立方体。文氏图图片关联了${\显示样式\mathbb{B}^{k}}$维恩图上有一个独特的“单元”$｛\displaystyle k｝$“圆圈”。

此外${\显示样式\mathbb{B}^{k}}$是纤维真相 ${\显示样式[|s|]}$的奇异命题 ${\显示样式：\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{B}，}$因此，这是一个独特的点单数连词属于${\显示样式k}$ 字面量是${\显示样式1.}$

例如，考虑立方体相对顶点的两种情况：

•	重点${\显示样式（1,1，\ldots，1,1）}$以所有1为坐标的点是所有假定变量的合取值为${\显示样式1，}$即，其中：
	$显示样式x{1}~x{2}~ldots~x{n-1}~x{n}~=~1.}$
•	重点${\显示样式（0,0，\ldot，0,0）}$以所有0作为坐标是所有负变量的合取值为的点${\显示样式1，}$即，其中：
	${\显示样式{\texttt{（}}x{1}{\texttt{）（}}x{2}{\ttexttt{）}\ldots{\texttt{（{}x{n-1}{\t）（}{x{n}{\text{）{}}~=~1.}$

要从这些限制性示例转到一般情况，请注意一个奇异命题$｛\displaystyles:\mathbb｛B｝^｛k｝\to\mathbb｛B｝｝$可以作为文字的连词给出规范表达式，${\显示样式s=e_{1} e（电子）_{2} \t点e_{k-1}电子_{k} }{1} e（电子）_{2} \t点e_{k-1}电子_{k} }$然后是命题${\displaystyle\nu（e_{1}，e_{2}，\ldots，e_}k-1}和e_{k}）}$是${\显示样式1}$在与以下点相邻的点上${\显示样式s}$是${\显示样式1，}$立方体上其他所有地方都为0。

例如，考虑以下情况${\显示样式k=3.}$那么最小否定运算${\显示样式\nu（p，q，r）}$-写得更简单${\显示样式{\texttt{（p，q，r）}}$-具有以下文氏图：

${\displaystyle{\text{图4.}}~~{\texttt{（p，q，r）}}}$

在一个对比示例中，布尔函数表示为${\显示样式{\texttt{（（p），（q），（r））}}}$具有以下文氏图：

${\显示样式{\text{图5.}}~~{\texttt{（（p），（q），（r））}}}$

基本术语表

布尔域

A类布尔域 ${\显示样式\mathbb{B}}$是一个通用的2元素集，例如，${\显示样式\mathbb{B}=\{0,1\}，}$其元素被解释为逻辑值，通常但并不总是${\显示样式0=\mathrm{false}}$和${\显示样式1=\mathrm{true}.}$

布尔变量

A类布尔变量 ${\显示样式x}$是一个从布尔域中获取其值的变量，如${\显示样式x\in\mathbb{B}.}$

提议

在布尔值被解释为逻辑值的情况下布尔值函数 ${\显示样式f:X\to\mathbb{B}}$或a布尔函数 ${\显示样式g:\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{B}}$通常称为命题.

基本元素，坐标投影

给定一个序列${\显示样式k}$布尔变量，${\显示样式x{1}，\ldot，x{k}，}$每个变量${\显示样式x{j}}$可以被视为基本要素空间的${\显示样式\mathbb{B}^{k}}$或作为坐标投影 ${\显示样式x_{j}:\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{B}.}$

基本命题

这意味着对象集${\显示样式\{x{j}:1\leqj\leqk\}}$是一组布尔函数${\显示样式\{x_{j}:\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{B}\}}$作为一套逻辑解释基本命题共同生成完整的${\显示样式2^{2^{k}}}$命题超过${\显示样式\mathbb{B}^{k}.}$

字面意义的

A类字面意义的是其中之一${\显示样式2k}$命题${\显示样式x{1}，\ldot，x{k}，{\texttt{（}}x{1{\texttt{）}}，\ ldot，{\textt{（{}x{k{）{}，}$换句话说，要么假定的基本命题${\显示样式x{j}}$或a否定的基本命题$显示样式{\texttt{（}}x{j}{\textt{）}}，}$对一些人来说${\显示样式j=1~{\text{to}}~k.}$

纤维

在一般数学中纤维一个点的${\在y}中显示样式y\$在函数下${\显示样式f:X\到Y}$定义为反转图像${\显示样式f^{-1}（y）\subseteq X.}$

对于布尔函数${\显示样式f:\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{B}，}$只有两种光纤：

的纤维${\显示样式0}$在下面${\显示样式f，}$定义为${\显示样式f^{-1}（0），}$是一组点，其中${\显示样式f}$是${\显示样式0.}$

纤维${\显示样式1}$在下面${\显示样式f，}$定义为$｛\displaystyle f^｛-1｝（1），｝$是一组点，其中${\显示样式f}$是${\显示样式1.}$

真相的纤维

什么时候？${\显示样式1}$被解释为逻辑值${\显示样式\mathrm{true}，}$然后${\显示样式f^{-1}（1）}$被称为真理的纤维在命题中${\显示样式f.}$经常提到这种纤维，可以用一种更短的方式来表示它。这导致了符号的定义${\显示样式[|f|]=f^{-1}（1）}$对于命题中真理的纤维${\显示样式f.}$

奇异布尔函数

A类奇异布尔函数 $｛\displaystyles:\mathbb｛B｝^｛k｝\to\mathbb｛B｝｝$是布尔函数，其纤维为${\显示样式1}$是一个单点${\显示样式\mathbb{B}^{k}.}$

奇异命题

在解释中，其中${\显示样式1}$等于${\显示样式\mathrm{true}，}$一个奇异的布尔函数称为奇异命题.

奇异布尔函数和奇异命题用作$｛\displaystyle\mathbb｛B｝^｛k｝。｝$

奇异连词

A类单数连词在里面${\显示样式\mathbb{B}^{k}\到\mathbb{B}}$是的连词${\显示样式k}$仅包含这对词的一个连词的文字$｛\displaystyle｛x_｛j｝，~\nu（x_｛j｝）｝$对于每个${\显示样式j=1~{\text{to}}~k.}$

一个奇异命题${\显示样式：\mathbb{B}^{k}\to\mathbb{B}}$可以用单数连词表示：

${\显示样式s~=~e_{1} e（电子）_{2} \t点e_{k-1}电子_{k} }{1} e（电子）_{2} \t点e_{k-1}电子_{k} }$,

${\displaystyle{\begin{array}{llll}{\text{where}}&e_{j}&=&x{j}\\[6pt]{\text{or}}&e{j}=&\nu（x{j{），\\[6pt]{\text}for}&j&=&1~{text{to}}~k.\end{arrays}}}$

资源

• 逻辑教学大纲

• Wolfram简单程序地图集
  • 基本元胞自动机规则（ECAR）
  • ECAR指数
  • ECAR图标
  • ECAR示例
  • ECAR公式