逻辑含义

概念逻辑蕴涵包含一个特定的逻辑函数、一个特定的逻辑关系以及用于表示该函数和该关系的各种符号。为了定义所讨论的特定功能、关系和符号，首先需要对它们之间的联系建立一些概念。

逻辑蕴涵概念的近似值用普通语言通过如下语言形式表示：

${\显示样式{\开始{数组}{l} 第页~{\text{暗示}}~q.\\[6pt]{\text}if}~p~{\text{then}~q.end{array}}}{l} 第页~{\text{暗示}}~q.\\[6pt]{\text}if}~p~{\text{then}~q.end{array}}}$

在这里${\显示样式{\text{“}}p{\text}”}}$和${\显示样式{\text{“}}q{\text}”}}$是表示给定语言中任何命题的命题变量。在表格的声明中${\displaystyle{\text{“}}{\text{if}}~p~{text{then}}~q{\text}”}}，}$第一学期，${\显示样式p，}$被称为在先的第二任期，$｛\displaystyle q，｝$被称为随之而来的，而语句作为一个整体被称为有条件的或结果假设条件语句为真，则先行词的真是充分条件结果的真理，而结果的真理是必要条件为了前因的真实性。

注：。许多作家在形式上作了技术上的区分${\显示样式{\text{“}}p~{\text{暗示}}~q{\text}”}}$和表单${\displaystyle{\text{“}}{\text}if}~p~{text{then}}~q{text{”}}.}$在这种用法中，写入${\显示样式{\text{“}}p~{\text{暗示}}~q{\text}”}}$断言逻辑值之间存在某种关系${\显示样式p}$和的逻辑值${\显示样式q，}$而写作${\displaystyle{\text{“}}{\text}if}~p~{text{then}}~q{text{”}}}$只形成一个复合语句，其逻辑值是${\显示样式p}$和${\显示样式q.}$下文将对此进行详细讨论。

定义

逻辑蕴涵的概念与对两个逻辑值（通常是两个命题的值）的操作有关，这两个逻辑价值产生的值为假以防第一个操作数为真，第二个操作数是假。

在解释中，其中${\显示样式0=\mathrm{false}}$和${\显示样式1=\mathrm{true}}$，与语句关联的真值表${\显示样式{\text{“}}p~{\text{暗示}}~q{\text}”}}，}$符号化为${\显示样式{\text{“}}p\右箭头q{\text{”}}，}$显示在下面：

${\显示样式{\text{逻辑含义}}}$

${\显示样式p}$	${\显示样式q}$	${\显示样式p\右箭头q}$
${\显示样式0}$	${\显示样式0}$	${\显示样式1}$
${\显示样式0}$	$｛\displaystyle 1｝$	${\显示样式1}$
${\显示样式1}$	${\显示样式0}$	${\显示样式0}$
${\显示样式1}$	${\显示样式1}$	${\显示样式1}$

A类逻辑图对于${\显示样式p\右箭头q}$如下所示：

此图的遍历字符串为$显示样式{\texttt{（}}p{\texttt（}}q{\texttt{）}}.}$这个提议${\显示样式p\右箭头q}$可以视为布尔函数 ${\显示样式f（p，q）}$具有抽象类型${\显示样式f:\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}，}$哪里${\显示样式\mathbb{B}=\{0,1\}}$被解释为${\显示样式0}$方法${\显示样式\mathrm{false}}$和${\显示样式1}$方法${\显示样式\mathrm{true}.}$

维恩图${\显示样式p\右箭头q}$指示其中的区域${\显示样式p\右箭头q}$通过独特的颜色或阴影是正确的。在这种情况下，区域是三个相邻的单元，如下所示：

讨论

术语的用法逻辑蕴涵和实质性条件不同的领域，甚至不同的讨论背景都有所不同。减少潜在混淆的一种方法是，首先关注正在讨论的各种类型的形式对象（其中只有少数），其次考虑语言的变化。

讨论中的主要形式对象是对两个逻辑值（通常是两个命题的值）的逻辑操作，它产生的值为$｛\displaystyle\mathrm｛false｝｝$以防第一个操作数为真，第二个操作数是假。通过临时名称，相关的逻辑操作可以写为${\显示样式\mathrm{Cond}（p，q），}$哪里${\显示样式p}$和${\显示样式q}$是逻辑值。这个真理表与此操作关联的显示如下：

${\显示样式{\text{条件操作}}:\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}}$

${\显示样式p}$	${\显示样式q}$	${\显示样式\mathrm{Cond}（p，q）}$
${\显示样式\mathrm{F}}$	${\显示样式\mathrm{F}}$	${\显示样式\mathrm{T}}$
${\显示样式\mathrm{F}}$	${\显示样式\mathrm{T}}$	${\显示样式\mathrm{T}}$
${\显示样式\mathrm{T}}$	${\显示样式\mathrm{F}}$	${\显示样式\mathrm{F}}$
${\显示样式\mathrm{T}}$	$｛\displaystyle\mathrm｛T｝｝$	${\显示样式\mathrm{T}}$

一些逻辑学家对条件连接词和符号进行了严格区分${\显示样式{\text{“}}\rightarrow{\text{”}}，}$和蕴涵关系，符号所表示的对象${\显示样式{\text{“}}\Rightarrow{\text{”}}.}$这些逻辑学家使用这个短语如果–那么用于条件连接词和术语暗示对于蕴涵关系。有人解释说，条件是仔细考虑关系，而含义是断言关系。在大多数数学领域，它被视为单个符号用法的变体${\显示样式{\text{“}}\Rightarrow{\text{”}}，}$不需要两个单独的标志。并非所有使用该标志的人${\显示样式{\text{“}}\rightarrow{\text{”}}$因为条件连接词把它看作表示任何对象的符号，但把它当作所谓的同步数字符号也就是说，符号具有纯粹的句法功能。为了本简介的清晰和简单，使用双符号表示法很方便，但允许使用符号${\显示样式{\text{“}}\rightarrow{\text{”}}$表示布尔函数与真理表材料的条件。这些考虑导致以下符号方案。

${\显示样式{\开始｛矩阵｝p\右箭头q&\quad&\quad\p\右箭头q\\{text{if}}~p~{text{then}~q&\quid&p~{\text{暗示}}~q\end{matrix}}}｛矩阵｝p\右箭头q&\quad&\quad\p\右箭头q\\{text{if}}~p~{text{then}~q&\quid&p~{\text{暗示}}~q\end{matrix}}}$

让${\displaystyle\mathbb{B}=\{\mathrm{F}，\mathrm{T}\}}$成为布尔域由两个逻辑值组成。真值表显示了三元关系 ${\显示样式L\subseteq\mathbb{B}\times\mathbb{B}\t次\mathbb2{B}}$定义如下：

$｛\displaystyle L=\｛（p，q，r）\in\mathbb｛B｝\times\mathbb｛B｝\times\mathbb｛B｝:\mathrm｛Cond｝（p，q）=r｝。｝$

作为一个集合，这个三元关系与二进制运算是一样的：

${\displaystyle\mathrm{Cond}:\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}.}$

之间的关系${\显示样式\mathrm{Cond}}$和${\显示样式L}$举例说明任何二进制运算与其对应的三元关系之间存在的标准关联。

条件符号${\显示样式{\text{“}}\rightarrow{\text{”}}$表示与函数名相同的形式对象${\显示样式{\text{“}}\mathrm{Cond}{\text{”}}，}$唯一的区别是，第一个是写中缀，而第二个是写前缀。因此，我们有以下等式：

${\显示样式（p\rightarrowq）=\mathrm{Cond}（p，q）.}$

再次考虑三元关系$｛\displaystyle L\substeq\mathbb｛B｝\times\mathbb｛B｝\times\mathbb｛B｝｝$定义方式如下：

$｛\displaystyle L=\｛（p，q，\mathrm｛Cond｝（p，q））：（p，q）\in\mathbb｛B｝\times\mathbb｛B｝\｝。｝$

与三元关系相关${\显示样式L}$是二元关系${\显示样式L_{{\underline{~}}\，{\undertline{~{}\，\mathrm{T}}\subseteq\mathbb{B}\times\mathbb{B}}$这就是所谓的纤维属于${\显示样式L}$具有${\显示样式\mathrm{T}}$排在第三位。此对象的定义如下：

${\显示样式L_{{\underline{~}}\，{\undertline{~{}\，\mathrm{T}}=\{（p，q）\in \mathbb{B}\times\mathbb{B}：（p，q\mathrm{T}）\in L\}.}$

同样的目标可以通过以下方式实现。从二进制操作开始：

${\displaystyle\mathrm{Cond}:\mathbb{B}\times\mathbb{B}\to\mathbb2{B}.}$

形成称为纤维属于${\显示样式\mathrm{Cond}}$在${\显示样式\mathrm{T}，}$标记如下：

${\显示样式\mathrm{Cond}^{-1}（\mathrm{T}）\subseteq\mathbb{B}\times\mathbb{B}.}$

此对象定义如下：

${\displaystyle\mathrm{Cond}^{-1}（\mathrm}T}）=\{（p，q）\in\mathbb{B}\times\mathbb{B}:\mathrm{Cond{（B，q）=\mathrm2{T}\}.}$

暗示符号${\显示样式{\text{“}}\rightarrow{\text{”}}$表示与关系名称相同的形式对象${\displaystyle{\text{“}}L_{\underline{~}}\，{\undertline{~{}\，\mathrm{T}}{\text{”}}$和$｛\displaystyle｛\text｛“｝｝｝\mathrm｛Cond｝^｛-1｝（T）｛\text｛“｝｝，｝$唯一的区别是纯粹的句法。因此，我们有以下逻辑等价性：

$L_{{下划线{~}}\，{下线{~}}\，\mathrm{T}}\iff（p，q）\in\mathrm{Cond}^{-1}（T）.}中的{\显示样式（p\右箭头q）$

这就完成了由符号表示的数学对象的推导${\显示样式{\text{“}}\rightarrow{\text{”}}$和${\显示样式{\text{“}}\Rightarrow{\text{”}}$在本次讨论中。然而，需要记住的是，并不是所有的作家都在每一个上下文中观察到这种区别。特别是在数学中，单箭头符号${\显示样式{\text{“}}\rightarrow{\text{”}}$保留用于函数表示法，通常会看到双箭头符号${\显示样式{\text{“}}\Rightarrow{\text{”}}$用于这两个概念。

工具书类

• Brown，Frank Markham（2003），布尔推理：布尔方程的逻辑第1版，Kluwer学术出版社，马萨诸塞州诺维尔。第2版，多佛出版社，纽约州米诺拉，2003年。

• Edgington，Dorothy（2001），“条件”，Lou Goble（编辑），布莱克威尔哲学逻辑指南布莱克威尔。

• Edgington，Dorothy（2006），“条件”，收录于Edward N.Zalta（编辑），斯坦福大学哲学百科全书,在线的.

• W.V.奎因（1982），逻辑方法，（1950年第1版），（1959年第2版）（1972年第3版），第4版，哈佛大学出版社，马萨诸塞州剑桥。

资源

• 逻辑教学大纲

文档历史记录

上述文章的部分内容根据GNU自由文档许可证、其他适用许可证或版权所有者的许可改编自以下来源。

• 逻辑含义,InterSciWiki
• 逻辑含义,维基大学
• 逻辑含义,维基百科