不可约元素

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A类非零 不愈合的要素${\显示样式n}$的积分域 ${\显示样式R}$据说是不可约的如果它不是两个非工会成员的产物。如果${\显示样式n}$不可约且${\显示样式n=ab}$（其中${\在R}中显示样式a、b\$)，然后要么${\显示样式a}$是单位或${\显示样式b}$是（然后另一方是${\显示样式n}$或与之相等）。

例如，7在${\显示样式\mathbb{Z}[{\sqrt{10}}]}$。可以表示为${\显示样式7=1\乘以7=（-1）（-7）}$并且没有其他仅使用元素的此类表达式${\显示样式\mathbb{Z}[{\sqrt{10}}]}$在后一个表达式中，–1是一个单位，–7是7的关联词。但10在中不是不可约的${\显示样式\mathbb{Z}[{\sqrt{10}}]}$也就是说，它是可约的，可以表示为${\显示样式10=2\乘以5=（{\sqrt{10}}）^{2}}$，但既不是2、5也不是${\显示样式{\sqrt{10}}}$是单位，也不是10人的同事。

不可约元素与素元素的关系

不可约元素不应与素元素.（非均匀元件${\显示样式\脚本样式a\，}$在一个交换环 ${\显示样式\脚本样式R\，}$如果每当${\显示样式\脚本样式a\，|\，bc\，}$对一些人来说${\显示样式\脚本样式b\，}$和${\显示样式\脚本样式c\，}$在里面${\显示样式\脚本样式R\，}$，然后${\显示样式\脚本样式a\，|\，b\，}$或${\显示样式\脚本样式a\，|\，c\，}$.）在积分域中，每个素元都是不可约的，但总的来说，情况并非如此。诡谋是适用于唯一分解域（UFD，或者更一般地说，GCD域）。

Prime（主要）和不可约的

如果${\显示样式R}$是一个UFD，那么它的所有不可约元素也是素元素。例如，3在${\显示样式\mathbb{Z}}$，因为它只能被单位1和-1整除，也可以被它的关联单位-3整除；而且，在任何情况下${\显示样式3|ab}$，然后要么${\显示样式3|a}$或${\显示样式3|b}$（或者两者兼而有之）。

不可约但非素数

总共二次整数环类数大于1时，不可约元素不一定是素数。这是某些元素具有多个因子分解的结果。给定一些数字${\显示样式ab=pq}$，其中${\显示样式a}$,${\显示样式b}$,${\显示样式p}$,${\显示样式q}$都是不同的、非单位的、非零的数字，可能会发生${\显示样式p|ab}$然而${\显示样式p\not|a}$和${\显示样式p\not|b}$.

例如，${\displaystyle\scriptstyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-5}}]\，}$，可以使用字段范数参数证明数字3是不可约的。然而，它不是这个环中的素数，因为，例如，${\显示样式\脚本样式3\，{\大|}\，\左（2+{\sqrt{-5}}\右）\，\右（2-{\sqrt{-5}}\左）\，=\，9，\，}$但3没有划分这两个因素中的任何一个。

现在，仅仅因为给定的环不是UFD，就不应该假设每个元素都有多个因式分解；这适用于一些可约元素。例如，在${\displaystyle\mathbb{Z}[{\sqrt{-6}}]}$，它不是UFD，2和5是不可约的，但${\显示样式7=（1-{\sqrt{-6}}）（1+{\sqrt{-6}）}$尽管这是唯一的因子分解。典型的例子表明我们不是在处理UFD${\显示样式10=2\乘以5=（2-{\sqrt{-6}}）（2+{\sqart{-6}）}$因此，所有10的正倍数都有一个以上的因式分解，这是理所当然的，但我们不应该误会，认为所有这些数字都有两个以上的因子分解。例如，$70=2\次5次（1-{\sqrt{-6}}）（1+{\sqrt{-6}$但事实证明，第三个因子分解并不明显，因为这两个因子可以进一步分解，例如。，${\显示样式{\frac{8+{\sqrt{-6}}}{2-{\sqrt{-6}{}}=（1+{\scrt{-6}）}$在实环中，这种陷阱甚至更多，其中许多单位可以在比虚环更大的程度上掩盖不完全因式分解。

素数但非不可约

虽然在UFD中，不可还原物的概念似乎是不必要的，但在还原残渣体系中，这似乎完全没有意义。给定一个复合整数${\显示样式n}$和${\显示样式\mathbb{Z}_{n}}$由整数0到$｛\displaystylen-1｝$，除法的素数${\显示样式n}$在里面$｛\displaystyle\mathbb｛Z｝｝$还是素数${\显示样式\mathbb{Z}_{n}}$，但它们可能可以简化为自身的产品。

例如，考虑${\显示样式\mathbb{Z}_{6}}$只有两个元素，即1和3本身，可以将3平均分开。在这种情况下，3是一个零维镜，并且只有两种非平凡的方法可以获得0作为产品：${\显示样式2\次3=3\次4=0}$3是这两种情况下的因素之一。但是自从${\显示样式3^{2}=3}$因此，可以无限期地减少3。

不可约函数与理想的关系

此外，虽然理想的由素元素生成的是首要理想，不可约元素生成的理想是不可约理想然而，如果${\显示样式\脚本样式D\，}$是GCD域，并且${\显示样式\脚本样式x\，}$是的不可约元素${\显示样式\脚本样式D\，}$，然后由${\显示样式\脚本样式x\，}$ 是不可约的理想${\显示样式\脚本样式D\，}$.

不可约因子分解

(...) ^{（不可约因子分解）}