立方公式

这篇文章的页面是一个存根，请通过展开它来提供帮助。

这个立方公式提供了根任何三次方程

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0，\quada\neq0.}\end{arrays}}}$

三个根（不同或不同）由以下公式给出(卡达诺1545年发表了类似的公式）

${\显示样式x=p+{\sqrt[{3}]{q-q}}+{\scrt[{3{]{q+q}}，\，}$

哪里

${\显示样式Q={\sqrt{Q^{2}+（r-p^{2{）^{3}}，\，}$

${\显示样式p=-{\压裂{b}{3a}}，\，}$

${\显示样式q=p^｛3｝-\左（{\frac{pc+d}{2a}}\右），\，}｛3｝-\左（{\frac{pc+d}{2a}}\右），\，}$

${\显示样式r={\frac{c}{3a}}.\，}$

等价地

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{x^{3}+{\tfrac{b}{a}}\，x^{2}+{\frac{c}{a{}\，x+{\tbrac{d}{aneneneep}=0=x^{3} -3倍^{2} +3Cx-D，\ quad a \ neq 0，｝\ end｛array｝｝｝{3} -3倍^{2} +3Cx-D，\ quad a \ neq 0，｝\ end｛array｝｝｝$

带有

B类=  −  b条 三一 ，C类= c（c） 三一

和

D类=  −  d日 一

，可以写为

${\displaystyle{\begin{array}{l}\displastyle{x=B+{\sqrt[{3}]{q-q}}+{\scrt[{3{]{q+q}}，}\end{array-}}}$

哪里

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{Q={\sqrt{Q^{2}+（C-B^{2{）^{3}}，}\end{arrays}}}$

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{q=B^｛3｝-\左（{\frac{3BC-D}{2}}\右）。}\结束{数组}}｛3｝-\左（{\frac{3BC-D}{2}}\右）。}\结束{数组}}$

完成多维数据集

三个根是通过完成立方体得到的，即。

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{\left（x+{\tfrac{b}{3a}}\right）^{3} -3个\left（｛\trac｛b｝｛3a｝｝\ right）^｛2｝\，x-\ left（｛\trac｛b｝｛3a｝｝\ right）^｛3｝+｛\trac｛c｝｛a｝｝\，x+｛\trac｛d｝｛a｝｝＝0=\ left（x-b\ right）^{3} -3B类^{2} x个+B^{3}+3Cx-D，\quad a \neq 0，}\end{数组}}{3} -3个\left（｛\trac｛b｝｛3a｝｝\ right）^｛2｝\，x-\ left（｛\trac｛b｝｛3a｝｝\ right）^｛3｝+｛\trac｛c｝｛a｝｝\，x+｛\trac｛d｝｛a｝｝＝0=\ left（x-b\ right）^{3} -3B类^{2} x个+B^{3}+3Cx-D，\quad a \neq 0，}\end{数组}}$

或者，让

年=x个+ b条 三一 =x个 − B类

，

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{y^{3}-3\左（{\tfrac{b}{3a}}\右）^{2}\，\左（y-{\tfrac{b}{3a{}\右^{3} -3B类^{2} （y+B）+B^{3}+3C（y+B）-D，\quad a\neq 0，}\end{数组}}}{3}-3\左（{\tfrac{b}{3a}}\右）^{2}\，\左（y-{\tfrac{b}{3a{}\右^{3} -3B类^{2} （y+B）+B^{3}+3C（y+B）-D，\quad a\neq 0，}\end{数组}}}$

生成降阶三次方程

$显示样式{\begin{array}{l}\displaystyle{y^{3}+3（C-B^{2}）y-2B^{3{+3BC-D=0=y^{3}+3Ry+S，}\end{array}}}$

带有

对=C类 − B类 2

和

S公司=  −  2B类 三 +  三不列颠哥伦比亚省 − D类

。

用Vieta代换法求解压抑的三次方程

这个压抑三次方程

${\显示样式y^{3}+3Ry+S=0\，}$

通过行动解决维埃塔的替代

${\显示样式y=w-{\压裂{R}{w}}，\，}$

顺从的

${\显示样式w^{3}+S-{\frac{R^{3{}{w^{3+}}=0.}$

乘以

w个 三

，它变成了六边形方程英寸

w个

，恰好是中的二次方程

z（z）=w个 三

${\显示样式w^{6}+Sw^{3} -右^{3} =0=z^{2}+Sz-R^{3}，\，}{3} -右^{3} =0=z^{2}+Sz-R^{3}，\，}$

用二次公式得到

${\显示样式{\开始{对齐}w^{3} &={\frac{-S\pm{\sqrt{S^{2}+4R^{3}}}{2}}={\frac{（2B^{3} -3BC型+D） \pm{\sqrt{（2B^{3} -3BC型+D） ^{2}+4（C-B^{2]）^{3}}}{2}}\\&=q\pm{\sqrt{q^{2{+（C-B_{2}）^}3}}=q\PMQ，\end{aligned}}\，}{对齐}w^{3} &={\frac{-S\pm{\sqrt{S^{2}+4R^{3}}}{2}}={\frac{（2B^{3} -3BC型+D） \pm{\sqrt{（2B^{3} -3BC型+D） ^{2}+4（C-B^{2]）^{3}}}{2}}\\&=q\pm{\sqrt{q^{2{+（C-B_{2}）^}3}}=q\PMQ，\end{aligned}}\，}$

具有

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{Q={\sqrt{Q^{2}+（C-B^{2{）^{3}}，}\end{arrays}}}$

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{q=B^｛3｝-\左（｛\frac｛3BC-D｝｛2｝｝\右）。｝\结束{数组}}｛3｝-\左（｛\frac｛3BC-D｝｛2｝｝\右）。｝\结束{数组}}$

如果

w个1  ±

, 

w个2  ±

和

w个3  ±

这三个是立方根对于中的两个解决方案中的每一个

w个 三

，然后

${\displaystyle{y_{i}}{\pm}={w_{i{}}{{pm}-{\frac{R}{w_}i}{{p}}}={w_{i}}{\ pm}-\左（{\frac{C-B^{2}}{w{i}{{pm}}}\右），\quad 1\leq i\leq 3，\，}$

和

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{{x{i}}{\pm}=B+{y{i}{{pm}=B+{w{i}}{\pm}-{frac{R}{w{i}}{p}}=B+\pm}}\right），\quad 1\leqi\leq3.}\end{数组}}}$

因此，三个（不同或不不同）根由以下公式给出（查看如何成对使用两个解决方案的三个根，从而生成三个根）

${\displaystyle{\begin{array}{l}\displastyle{x=B+{\sqrt[{3}]{q\pmQ}}+\left（{\frac{B^{2} -C}{\sqrt[{3}]{q\pm q}}\right）=B+{\sqrt[{3{]{q\fm q}}+{\squart[{3}]{q \mp q}}，}\end{数组}}}{2} -C}{\sqrt[{3}]{q\pm q}}\right）=B+{\sqrt[{3{]{q\fm q}}+{\squart[{3}]{q \mp q}}，}\end{数组}}}$

其中

三√  问 ∓ 问  = B类 2 − C类 三√  问 ± 问

，自

问 2 − 问 2= (B类 2 − C类 ) 三

。
最后

一 x个 三+b条 x个 2+c（c） x个+d日= 0,一≠0,

可以写成

${\displaystyle{\begin{array}{l}\displastyle{x=B+{\sqrt[{3}]{q-q}}+{\scrt[{3{]{q+q}}，}\end{array-}}}$

哪里

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{Q={\sqrt{Q^{2}+（C-B^{2{）^{3}}，}\end{arrays}}}$

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{q=B^｛3｝-\左（{\frac{3BC-D}{2}}\right），}\end{array}}}｛3｝-\左（{\frac{3BC-D}{2}}\right），}\end{array}}}$

带有

B类=  −  b条 三一 ，C类= c（c） 三一

和

D类=  −  d日 一

。

维埃塔立方公式

维埃塔立方公式

${\显示样式（x-x{1}）（x-x}2）（x-x-{3}）=0，\，}$

给出了三个变量（即三个根）中的三个方程组

${\显示样式{\begin{array}{l}\displaystyle{\bench{对齐}x_{1} +x{2}+x{3}&=-{\frac{b}{a}}=3B，\\x{1}\cdot x{2{+x{1{\cdot x{3}+x}2}\cdotx{3{3}&=+{\frac{c}{a{}}=3C，\\x}1}\cdot x{2]\cdot x{3}&=-{d.\end{aligned}}\end{array}}}{对齐}x_{1} +x{2}+x{3}&=-{\frac{b}{a}}=3B，\\x{1}\cdot x{2{+x{1{\cdot x{3}+x}2}\cdotx{3{3}&=+{\frac{c}{a{}}=3C，\\x}1}\cdot x{2]\cdot x{3}&=-{d.\end{aligned}}\end{array}}}$

通过将第三个方程分为第二个方程，可以得到根的调和和的公式

${\displaystyle{\begin{array}{l}\显示样式{{\frac{1}{x{1}}}+{\frac{1}{x{2}}}+{\frac{1{x{3}}}=-{\ frac{c}{d}}=3{\frac:c}{d}}}}.}\结束{数组}}\结束{数组}}$

另请参见

• 二次方程式
• 四次方公式或双二次公式

外部链接

• 三次公式（解任意三次多项式方程）