布冯针问题

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布冯针问题以以下名称命名布冯伯爵乔治·卢伊斯·勒克莱尔，生活在18岁^第个世纪。布冯解决的问题是最早的几何概率需要解决的问题。

定理（布冯针问题，1733年首次提出，1777年解决）。 （乔治·卢伊斯·勒克莱尔，布冯伯爵）

概率

P（P） (我,d日 )

那是一根很长的针

我

将随机降落在一条直线上，给定一个具有等距平行线的楼层

d日  ≥   1

分开，是

P（P） (我,d日 ) = 2 π  ⋅   我 d日

.

证明。（假设落针的角度和位置是独立均匀随机的）如果指针始终垂直（角度

θ= π 2

弧度）到平行线

P（P）⊥(我,d日 ) = 我 d日

.所以我们有

P（P） (我,d日 ) = ∫ π 0 罪θ   ⋅   d日 θ π   ⋅  P（P）⊥(我,d日 ) = −[科斯θ  ] π0 π  ⋅   我 d日 = 2 π  ⋅   我 d日  .

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另请参见

• 布冯常数
• 布冯面条问题