通过连续的τ值识别数字。
序列A309981型和A327265型是基于通过τ（n+j）的值来识别最小数j=0，1，2。。。，k、。
A309981型(1, 2, ...) = (0, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 2, 4, 4, 3, 2, 2, 1, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 6, 6, 6, 6, 5, 4, 4, 4, 5, 4, ...)
陶氏签名
对于任意n>=1和k>=0，我们将（k+1）分量向量t（n，k）：=（tau（n），tau（n+1）。。。，τ（n+k）陶氏签名。
τ值告诉我们n及其后继n+1、n+2等的性质：对于素数，τ=2；对于素数的平方，τ=3，tau=4表示半素数和素数的立方体等。当tau符号足够长时，这将最终允许我们识别n，如下所示。
当k+1是最短长度，使得该tau签名唯一地标识n时，也就是说，没有其他n’有t（n’，k）=t（n，k），那么我们称之为t（n、k）*n的τ签名并用t（n）表示。
示例
一些非常详细的示例
n=1：这里我们得到tau（n）=1，这意味着n只有1个除数。由于n=1是唯一这样的数字，t（n，k=0）=（1）唯一地标识n=1，其中A309981型（1） =k=0。此外，这是序列中唯一的0，即n=1是唯一可以通过其唯一的除数来识别的数字。事实上，所有n>1都有τ（n）=d>=2，并且对于任何素数p，我们都具有τ（p^（d-1））=d，因此τ（n）=d或t（n，0）不能唯一地标识n：我们需要至少一个附加值τ（n+j），j=1。
n=2：这里τ（n）=2（对于任何素数n：不足以识别n），但τ（n+1）=2，即t（n，1）=（2，2）。这意味着n和n+1都是素数，n=2是唯一具有此性质的数字，即τ签名t（n，k=1）=（2，2）。因此A309981型（2） =k=1。
n=3：这里τ（n）=2，τ（n+1）=3，意味着n是素数，因此n+1是素数的平方。由于所有较大的素数平方都是奇数，因此不能紧跟在素数之后，这个签名t（n，k=1）=（2，3）唯一地标识出n=3，其中A309981型(3) = 1.
n=4：这里t（n，k=1）=（3，2），意思是n是素数的平方，后跟一个素数。对于素数p>2的所有n=p^2，n+1是一个偶数合成，所以n=4是唯一具有这个签名的数字，再次，A309981型(4) = 1.
n=5：这里t（n，1）=（2，4）。这也是n=5、7、13、37、61。。。因此不足以确定n。然而，包括条件tau（n+2）=2，即t（n，2）=（2，4，2），意味着n，n+2是由半素数（或素数立方体p^3）n+1分隔的素数。但所有较大的双素数都是6m+-1，所以中间数是6的较大倍数，有4个以上的除数。因此t（n，k=2）=（2，4，2）表示n=5，所以A309981型(5) = 2.
n=6：这里t（n，2）=（4，2，4）表示n是一个半素数或p^3，后跟一个素数n+1=p'，然后是另一个半素或q^3。对于素数幂，（n，n+1）=（p^3，p'）的相反奇偶性需要p=2，但p'=9不是素数，并且（n+1，n+2）=（p’，q^3）意味着q=2，p'=7，这就是我们的例子n=6。对于任何其他解，必须有两个半素数（n，n+2）=（2p，2q），其中q=p+1，因此p=n=2，而不是解。因此，这3个值唯一地标识n=6，再次A309981型(6) = 2.
n=7：这里，t（n，2）=（2，4，3），这意味着n是素数，后面是素数的半素数或立方体，然后是素数的平方。但所有素数立方体p^3>2^3=8都是奇数，并且后面不能跟素数平方，也不能跟奇数。所以在素数n和n+2=p^2之间需要一个偶数半素数。然而，对于所有p>3，p^2==1（mod 6），因此n+1=6m不是m>1的半素数。因此，n=7是t（n，2）=（2，4，3）的唯一数字，同样A309981型(7) = 2.
a（49）=2：（τ（n），τ（n+1））=（3,6），其中n=49，1681，并且只有两个其他已知值（即，对于大于3英寸的平方项A086397号)，但（tau（n），tau（n+1），taw（n+2））=（3，6，4）仅适用于n=49（这是素数p的唯一平方，因此sqrt（（p^2+1）/2）和（p^2+）/3也是素数）。
τ签名表
注释使用了这样一个事实：τ（n）=2<=>n是素数；τ（n）=3<=>n=p^2；τ（n）=4<=>n=2p>4或n=p^3；τ（n）=5<=>n=p^4。。。
n|tau签名（=tau（n+k），k=0…直到唯一）+证明（+注释）-----+-------------------------------1|1仅数字，tau=1；也只有长度为1的（唯一）τ签名的数字2|2，2只有素数p s.th。p+1也是素数（如下，“p”总是指质数)3|2，3仅p s.th。p+1=（p'）^2（=素数的平方）：考虑奇偶性。4|3，2只有p^2后跟素数p'仅5|2，4，2（孪生素数对的较小者）后跟2*p'（或（p'）^3）：孪生中心=6*m6|4，2，4仅n=2p（不是p^3，因为n+1=p'）s.th.n+2=2p'（=>p'=p+1=>p=2，p'=3）7|2，4，3仅n=p s.th.p+1=2p'（非（p'）^3:奇数为p）和p+2=（p“）²=1（mod 6）=>2p'=6m8|4，3 n+1=（p'）²=1（mod 6），如果p'>3，=>n=6m>6：n=2p或p^3不可能p'=3。9 | 3, 4, 210 | 4, 2, 611 | 2, 6, 2, 412 | 6, 2, 413 | 2, 4, 4, 514 | 4, 4, 515 | 4, 516 | 5, 217 | 2, 6, 2, 618|6，2，6n+1=p'>3，{n，n+2}={2p²，4p“}。p，p”中的一个必须是3。19 | 2, 6, 4, 4, 220 | 6, 4, 4, 2, 8
作者
创建者用户：M.F.Hasler2023年4月5日
其他证据来自马丁·富勒
