自我回避的散步是从一个点到另一个点的一条路,永远不会相交自身。此类路径通常被认为出现在晶格上,因此步骤如下仅允许在离散的方向数和特定长度上使用。
考虑一个在二维空间上的自空行走
方格网(即从不访问的网格路径两次相同的晶格点),从原点开始,在正水平方向,且仅限于非负网格点。此类路径的数量
, 2, ... 步骤是1、2、5、12、30、73、183、456、1151。。。(组织环境信息系统A046170号).
类似地,考虑从原点开始,在正水平方向上迈出第一步的自空行走不限制为非负仅网格点,但其中是限制在采取行动前采取行动第一个向下的步骤。此类路径的数量
, 2, ... 步骤是1、2、5、13、36、98、272、740、2034。。。(组织环境信息系统A046171号).
自我回避的车上步行是在
从以下位置开始的网格
,结束于
、和仅由水平和垂直台阶组成。下表给出了前几个数字
这样的散步
和
。的值
,2。。。分别是2、12、184、8512、1262816。。。(组织环境信息系统A007764号).
![米\n](/images/equations/Self-AvoidingWalk/Inline11.svg) | 2 | 三 | 4 | 5 | 6 |
2 | 2 | | | | |
三 | 4 | 12 | | | |
4 | 8 | 38 | 184 | | |
5 | 16 | 125 | 976 | 8512 | |
6 | 32 | 414 | 5382 | 79384 | 1262816 |
有许多已知的计算公式
对于小型
例如,
![R(m,2)=2^(m-1)。](/images/equations/Self-AvoidingWalk/NumberedEquation1.svg) |
(1)
|
有一个递推关系对于
,由提供
,
,
,
、和
![R(m,3)=4R(m-1,3)-3R(m-2,3)+2R(m-3,3)+R(m-3,4)](/images/equations/Self-AvoidingWalk/NumberedEquation2.svg) |
(2)
|
对于
,以及生成函数
![R(m,3)=1/((m-1)!)(d^(m-1))/(dx^(m-1))((x-1)(x+1))/](/images/equations/Self-AvoidingWalk/NumberedEquation3.svg) |
(3)
|
(Abbott和Hanson,1978年,Finch,2003年)。
相关序列是通过弯曲一段长度的金属丝可以形成的形状数量
在平面中,折弯为0或
电线可能会以直角交叉但不能忽略自身。长度为1、2、……的导线的形状数。。。是1, 2, 4, 10, 24, 66, 176, 493, ... (组织环境信息系统A001997年).
考虑一个在二维空间上的自空行走
从一个角到另一个角的方形网格两个连续的步骤在同一个方向上。的此类路径数
, 2, ... 分别为1、2、2、4、10、36、188,…(OEIS)A034165美元; 计算路径数上
点“晶格”为1),这些路径的最大长度为0,2,4, 10, 12, 26, 36, ... (组织环境信息系统A034166号).
另请参见
晶格路径,随机漫游,自回避多边形,自我回避行走连接常数,楼梯多边形,三种选择步行
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工具书类
雅培,H.L。和Hanson,D.“格路径问题”Ars Combinatoria公司 6, 163-178, 1978.阿尔姆·S·E。“上自我回避行走连接常数的界限。"组合探头。计算。 2, 115-136, 1993.Domb,C.“关于多重回报在随机行走问题中。"程序。剑桥菲洛斯。Soc公司。 50,586-591, 1954.Domb,C.“格子上的自我回避行走”高级化学。物理。 15, 229-259, 1969.芬奇,S.R。“自我回避行走常数。“§5.10数学常量。英国剑桥:剑桥大学出版社,第331-339页,2003B.Hayes,“如何避免自己。”阿默尔。科学。 86,314-319, 1998.Kesten,H.“关于自我回避行走的次数”数学杂志。物理。 4, 960-969, 1963.G.F.劳勒。十字路口随机行走。马萨诸塞州波士顿:Birkhäuser,1991年。新泽西州斯隆。答:。序列A001997年/M1206,A007764号,A034165号,A034166美元,A046170号、和A046171号在“整数序列在线百科全书”中惠廷顿,S.G.公司。和A.J.Guttman。“穿过广场的自我回避步行。”《物理学杂志》。A类 23, 5601-5609, 1990.参考Wolfram | Alpha
自我回避行走
引用如下:
埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“自我回避行走。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Self-AvoidingWalk.html
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