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正态比率分布

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高斯比率分布

比例X/Y独立的正态分布变量零意思是以柯西分布如下所示。让X（X）和Y（Y）两者都有意思是0和标准偏差属于西格玛x和σ_y,则联合概率密度函数为二元的正态分布具有ρ=0,

f（x，y）=1/（2pisigma_xsigma_y）e^（-[x^2/（2sigmax^2）+y^2/。
(1)

发件人比率分布，分布U=X/Y是

P（u）=int_（-infty）^infty|y|f（uy，y）dy
(2)
=1/（2pisigma_xsigma_y）int_（-infty）^infty|y|e^（-[y^2/
(3)
=1/（pisigma_xsigma_y）int_0^inftyyexp[-y^2（1/（2sigma\y^2）+（u^2）/（2sigma_x^2））]dy。
(4)

但是

int_0^inftyye^（-ay^2）dy=1/（2a），
(5)

所以

P（u）=1/（皮西格玛_xsigma_y）1/（2（1/（2sigma_y^2）+（u^2）/（2simma_x^2））
(6)
=1/pi（σ_xσ_y）/（u^2sigma_y^2+σ_x^2）
(7)
=1/pi（（西格玛_x）/（西格马_y））/（u^2+（（西格玛_x，
(8)

这是一个柯西分布.

更直接的衍生产品来自于

P_（X/Y）（u）=int_（-infty）^inftyint_（-inty）^inft（e^（-x^2/（2sigma_x^2））/（sigmaxsqrt（2pi））
(9)
=1/pi（（西格玛_x）/（西格马_y））/（u^2+（（西格玛_x，
(10)

哪里δ（x）是一个delta函数.

另请参见

柯西分布,正态差分布,正态分布,正常产品分布,正常总和分布

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“正态比率分布。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/NormalRatioDistribution.html

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