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矩阵方程

非齐次矩阵方程表单的

轴=b
(1)

可以通过采取矩阵逆以获得

x=A^（-1）b。
(2)

这个方程将有一个非平凡的解若（iff）这个行列式 det（A）=0一般来说，更稳定的数值技术求解方程包括高斯消去,LU分解，或广场根方法.

对于均质n×n 矩阵方程式

[a_（11）a_（12）…a_（1n）；a_（21）a_
(3)

为解决x _ i第页，考虑一下行列式

|a_（11）a_（12）。。。a_（1n）；a_（21）a_（22）。。。a_（2n）；||…|；a_（n1）a_（n 2）。。。a _（nn）|。
(4)

现在乘以x_1型,这相当于将第一列（或任何列）乘以x_1,

x_1|a_（11）a_（12）。。。a_（1n）；a_（21）a_（22）。。。a_（2n）；||…|；a_（n1）a_（n 2）。。。a_（nn）|=|a_（11）x_1a_（12）。。。a_（1n）；a_（21）x_1a_（22）。。。a_（2n）；||…|；a_（n1）x_1a_（n 2）。。。a _（nn）|。
(5)

的值行列式如果将多个列添加到其他列中，则保持不变。所以添加x2个乘以第2列。。。，和x个n时间列n个到第一列以获取

x_1|a_（11）a_（12）。。。a_（1n）；a_（21）a_（22）。。。a_（2n）；||…|；a_（n1）a_（n 2）。。。a _（nn）|=|a_（11）x_1+a_（12）x_2++a_（1n）x_na_（12）。。。a_（1n）；a_（21）x_1+a_（22）x_2++a_（2n）x_na_（22）。。。a_（2n）；||…|；a_（n1）x_1+a_（n 2）x_2++a_（nn）x_na_（n2）。。。a _（nn）|。
(6)

但从最初的矩阵，中的每个条目第一列为零，因为

a_（i1）x_1+a_（ii）x_2++a_（in）x_n=0，
(7)

所以

|0 a_（12）。。。a_（1n）；0 a_（22）。。。a_（2n）；||…|；0 a_（n2）。。。a_（nn）|=0。
(8)

因此，如果存在x_1=0这是一个解决方案行列式为零。这也适用于x2个, ...,x个n，因此原始齐次系统具有非平凡解为所有人x _ i秒只有在行列式为0。这种方法是基础克莱默法则.

给定矩阵方程的数值解，可以使用以下技术对解进行迭代改进。假设数值求解

轴=b
（9）

是x_1=x+增量_1,哪里deltax_1是一个错误术语。因此，第一个解决方案给出

Ax_1=A（x+deltax_1）=b+deltab
(10)
Adeltax_1=deltab，
(11)

哪里德尔塔布通过求解找到(10)

deltab=Ax_1-b。
(12)

组合(11)和(12)然后给出

deltax_1=A^（-1）deltab=A^（-1）（Ax_1-b）=x_1-A^（-1-）b。
(13)

另请参见

克莱默法则,高斯消去,LU分解,矩阵,矩阵加法,矩阵不平等,矩阵反转,矩阵乘法,法线方程,方形根方法

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引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“矩阵方程。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/MatrixEquation.html

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