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高斯消去

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高斯消去法是一种求解矩阵方程 形式的

Ax=b。
(1)

从方程组开始执行高斯消去

[a_（11）a_（12）…a_（1k）；a_（21）a_，
(2)

撰写“增广矩阵等式”

[a_（11）a_（12）…a_（1k）；a_（21）a_。
(3)

这里列向量在变量中x个用于标记矩阵行。现在，执行基本行操作到把增广矩阵进入上面的三角形形式

[a_（11）^'a_（12）^'…a_（1k）^'；0a_（22）^'¡­a_（2k）^'；||…|；0 0¡­a _（kk）^'|b_1^'；b_2^'；|；b_k^']。
(4)

求解k个第行x（_k），然后代入（k-1）获取解决方案的第行x_（k-1）等，根据公式

x_i=1/（a_（ii）^'）（b_i^'-总和_（j=i+1）^ka_（ij）^'x_j）。
(5)

在Wolfram语言,行减少（RowReduce）使用公式执行高斯消去mx=b正在由解决

高斯消元[m_？矩阵Q，v_？矢量Q]：=Last/@RowReduce[压扁/@Transpose[｛m，v｝]]

LU分解矩阵的作为求解矩阵方程的高斯消去过程的一部分。

经过高斯消去的矩阵称为梯队形式.

例如，考虑矩阵方程

[934；434；111][x_1；x_2；x_3]=[7；8；3]。
（6）

在扩充形式中，这将成为

[934；434；111|7；8；3][x_1；x_2；x_3]。
(7)

切换第一行和第三行（无需切换右侧列向量中的元素）可提供

[1 11；4 3 4；9 3 4 |3；8；7][x_1；x_2；x_3]。
(8)

从第三行减去第一行的9倍得到

[1 11；4 3 4；0-6-5|3；8；-20][x_1；x_2；x_3]。
(9)

从第二行减去第一行的4倍得到

[1 11；0-10；0-6-5|3；-4；-20][x_1；x_2；x_3]。
(10)

最后，添加-6第二排到第三排的倍数

[1 11 1；0-1 0；0 0-5|3；-4；4][x_1；x_2；x_3]。
(11)

恢复变换后的矩阵方程可以得到

[1 11；0-10；0-5][x_1；x_2；x_3]=[3；-4；4]，
(12)

可以立即解决x_3=-4/5，反向替换以获取x_2=4（在本例中，它实际上跟在琐碎的后面），以及然后再次反向替换查找x_1=-1/5。

另请参见

增广矩阵,冷凝,基本行和列操作,梯队形式,高斯-若尔当消元法消除,LU分解,矩阵方程式,平方根法

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工具书类

Bareiss，E.H。“多步整数保留高斯消去”，阿贡国家实验室报告ANL-7213，1966年5月。Bareiss公司，E.H.公司。“Sylvester恒等式和多步整数保留高斯消去”数学。计算。 22, 565-578, 1968.B.S.加博。“整数保留高斯消去。“程序P-158（3600F），应用数学部，阿贡国家实验室，1966年11月21日。温柔点，J.E。“高斯消除。“§3.1数字的统计学应用线性代数。柏林：施普林格出版社，第87-91页，1998

参考Wolfram | Alpha

高斯消去

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“高斯消去。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/GaussianElimination.html

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