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对数螺旋演化

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对数螺旋渐屈线

对于对数螺线参数化给定作为

x个=ae^（bt）成本
(1)
年=ae^（bt）sint，
(2)

渐屈线由提供

x（_e）=-亚伯犯罪
(3)
yue（y）=abe（bt）成本。
(4)

正如Johann Bernoulli首次展示的那样渐屈线的对数螺线因此是另一个对数螺线，具有b^'=b和a^'=ab,

在某些情况下渐屈线与原件相同，可以通过对新变量进行替换来证明

t=phi-1/2pi+/-2npi。
(5)

然后，上述方程变成

x（_e）=-abe ^（b（phi-pi/2+/-2npi））sin（phi-pi/2+/-2nbi）
(6)
=abe（bphi）e（b（-pi/2+/-2npi））cosphi
(7)
yue（y）=abe ^（b（phi-pi/2+/-2npi））cos（phi-pi/2+/-2nbi）
(8)
=abe（bphi）e（b（-pi/2+/-2npi））sinphi，
(9)

与原始方程的形式等价，如果

be^（b（-1/2pi+/-2npi））=1
(10)
lnb+b（-1/2pi+/-2npi）=0
(11)
（lnb）/b=1/2pi∓2npi=-（2n-1/2）pi，
(12)

其中只有带负号的解∓存在。求解得出的值总结如下表。

n个硼氮psi=cot ^（-1）b_n
10.2744106319...74度39^'18.53^（''）
20.1642700512...80度40^'16.80^（''）
三0.1218322508...83度03^'13.53^（''）
40.0984064967...84度22^'47.53^（''）
50.0832810611...85度14^'21.60^（''）
60.0725974881...85度50^'51.92^（''）
70.0645958183...86度18^'14.64^（''）
80.0583494073...86度39^'38.20^（''）
90.0533203211...86度56^'52.30^（''）
100.0491732529...87度11^'05.45^（''）

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Lauwerier，H。分形：无尽重复的几何图形。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社，第60-64页，1991年。

参考Wolfram | Alpha

对数螺旋演化

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“对数螺旋演化。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/LogarithmicSpiralEvolute.html

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