欧几里德定理

一个有时被称为“欧几里德第一定理”或欧几里得原理的定理指出，如果是一个首要的和，然后或（其中方法分割). 一个必然结果是那个吗（康威和盖伊，1996年）。这个基本的算术定理是另一个必然结果（哈代和赖特1979）。

欧几里德第二定理指出素数是无限的这个定理，也称为无穷大欧几里德在元素（Tietze 1965，第7-9页）。Ribenboim（1989）对此给出了九个（1.5）证据定理。欧几里德的优雅证明进行如下。给定有限的连续序列素数2, 3, 5, ...,，数字

(1)

被称为第个欧几里德数什么时候是第个首要的，是新的首要的或的产品素数.如果是一个首要的，则必须大于上一个素数，因为1加上的乘积素数必须大于每个首要的组成产品。现在，如果是的产品素数，则至少有一个素数必须大于这可以显示如下。

如果是混合成的没有更大的素因子比，然后是其中一个因素（比如)必须是素数按顺序，2，3，5。。。，.因此划分产品然而，由于是一个因素，它也是分割 但是一个数字划分二数字和也划分他们的差异，所以也必须划分

(2)

然而，为了除以1，必须为1，这与假设相反一首要的按顺序2、3、5。。。。因此，它如果是复合的，它至少有一个因子大于.自是一个首要的更大的比或包含大于，一个首要的大于最大值在有限序列中总是可以找到，所以有无穷多个素数哈代（1992）评论道，该证据“新的和重要的，当它被发现时，“所以”2000多年来，它并没有留下一丝皱纹。

类似的论点表明必须是其中之一首要的或可被首要的 Kummer使用了这个证明的变体，也是矛盾的证明。它假设只有有限数量的素数 ，, ...,。现在定义并考虑。它必须是素数，所以它有一个首要的除数与因此，这是胡说八道，所以我们已经证明了初始值这种假设自相矛盾，是错误的。

也确实有很多混合成的数字它们是任意长的。这可以通过定义

(3)

哪里是一个阶乘的.然后连续的数字，, ...,是混合成的，自

			(4)
			(5)
			(6)
			（7）
			(8)
			(9)

盖伊（1981、1988）指出不一定是首要的，出租成为下一个首要的之后，数字总是被猜测为素数一幸运的素数尽管这还没有被证明。