Banach-Steinhaus定理是功能分析它关系到定义的某个点子集的“大小”相对于之间的线性映射族拓扑向量空间映射的某种连续性。
更准确地说，假设和是拓扑向量空格，即是连续的线性贴图来自进入之内，还有那个表示所有点的集合其轨道以为界.Banach-Steinhaus定理说，如果是的第二类在里面,那么必然会这样而这个系列是等连续的.
Banach-Steinhaus定理的陈述通常以各种形式给出，有些显然与上述不同。因此，其各种推论是有时被认为是实际定理的一部分。其中一个例子是标识Banach-Steinhaus定理的制服有界性原理，它表明任何连续线性算子族之间巴纳赫空间是一致有界的，前提是它是有界的。这个结果实际上是必然结果上述版本的Banach-Steinhaus定理以及观察结果在上述框架中，一个等度连续族必须满足中的一致有界性其中每个有界子集属于暗示有界子集的存在属于令人满意的对于每个在里面.
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克里斯托弗·斯托弗“巴拿赫-斯泰因豪斯定理”摘自数学世界--Wolfram Web资源，创建人埃里克韦斯特因.https://mathworld.wolfram.com/Banach-SteinhausTheorem.html
