巴纳赫空间

巴拿赫空间是完成 向量空间 有一个标准.两个规范和被称为等价物如果他们也这么做拓扑，相当于常数的存在和这样的话

（1）

和

（2）

坚持到底.

在有限维情况下，所有范数都是等价的。无限维空间可以有许多不同的规范。

一个基本示例是-维度的欧几里德空间采用欧几里德规范。通常，巴拿赫空间的概念仅在无限维环境中使用，通常作为一个向量空间的函数。例如上的连续函数集封闭区间的实线函数的范数由提供

(3)

是巴纳赫空间，其中表示上确界.

另一方面，单位区间上的连续函数集函数的范数由提供

(4)

不是Banach空间，因为它不完整。例如柯西序列的函数

(5)

不收敛于连续函数。

希尔伯特空间其范数由内积给出，是Banach空间的例子。当a希尔伯特空间始终是一个巴拿赫空间，反之则无需持有。因此，它是巴拿赫空间可能没有内积给出的范数。例如，上确界范数不能由内积.

Renteln和Dundes（2005）给出了关于Banach空间的以下（糟糕的）数学笑话：

Q： 什么是黄色的、线性的、标准的和完整的？A： 巴纳纳空间。