三
$\开始组$

我正在寻找一个百万美元$和N美元$两个无边界的可定向双曲完备3-流形（具有无限双曲体积），这样美元\pi_{1} M（M）\刚果语\pi_{1} N个$但是百万美元$不是等距的N美元$.

有这样的具体例子吗？

改进这个问题
$\端组$
7
  • 2
    $\开始组$ @Wojowu afaik S^2 x R不可能具有双曲线完整结构。 $\端组$
    – GSM（全球移动通信系统）
    2021年11月7日14:48
  • 7
    $\开始组$ 我对这个问题一无所知，所以这也许很愚蠢。但是双曲3-空间的斜交变换$\varphi$没有不动点，抛物线变换$\psi$也是如此。这些等距线不是共轭的。这应该意味着所得到的商$\Bbb H^3/\langle\varphi\rangle$和$\Bbb H^3/\langle\psi\rangle$应该都是与$S^1\times\Bbb R^2$差同胚的，但不是等距的。我这里出错了吗？ $\端组$
    – 我
    2021年11月7日15:14
  • 1
    $\开始组$ @我：你说得对。 $\端组$
    – 莫伊谢·科汉
    2021年11月7日15:18
  • 2
    $\开始组$ （显然，在上面的评论中，我的意思是两个流形都有相同的基本群，或者它有一个重言的答案。） $\端组$
    – 我
    2021年11月7日16:38
  • 2
    $\开始组$ @我：在二维的情况下已经很容易了：一孔圆环体和三孔球体。在3d中，这也不难，例如，亏格2曲面上的平凡和非平凡区间丛。 $\端组$
    – 莫伊谢·科汉
    2021年11月7日18:13

1答案1

重置为默认值
三
$\开始组$

是的，我相信有很多。

例如，如果你想到双曲线$2$-空间作为双曲线测地子空间$3$-空间，双曲线的任意双曲等距组$2$-空间自然扩展到双曲线的一组双曲线等距$3$-空间。

所以如果你取双曲线的基本群$2$-流形，并以这种方式将其嵌入双曲线的等轴测群中$3$-空间，取双曲线的商$3$-空间，你得到一个双曲线$3$-无限体积流形的双曲线$2$-流形是一个完全测地子流形。拓扑上，它具有以下形式$\Sigma\times\mathbb R$但公制偏离了$\Sigma\次\{0\}$所以流形的体积是无限的。

这几乎就是同义反复的例子。

对于上的不同双曲线度量$\西格玛$你会得到不同的双曲线$3$-歧管。

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$\端组$

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