Artin本原根猜想中的最小素数

Question

让美元$是既不是正方形也不是正方形的整数$-1$.Artin猜想表明有无穷多个素数美元$对于其中美元$是基元根模美元$我的问题是文献中是否有关于

（1） （推测的）大小最小的此类素数美元$.

（2） 有条件或无条件的上限或下限。

关于（2），我们可以追查Hooley论文中的隐含常数（Hooley，Christopher（1967））。“关于阿廷的猜想。”J.Reine Angew。数学。225，209-220），以表明他的渐近必须在之后开始$x\geq x_0=|a|^{C\log\log 3|a|}$对于一些绝对的$C>0$因此，在GRH下，最小素数最多$$|a|^{C\log\log 3|a|}$$

Answer 1

人们可能会猜得更小。如果p=2q+1，其中p和q是素数，则a是基元根mod p IFF（a/p）=-1，p不除a+1。一旦测试了c log|a|loglog|a|中的c log|a，人们就会从通常的启发式中猜出有这样一个素数p。因此，我们希望找到这样的p，即<<log|a|（log-log|a|）^3。对于大多数人来说，前100个苏菲-日尔曼素数中的一个会起作用；事实上，我很怀疑你能计算出一个他们不会计算的例子。