代数几何、微分几何和一般拓扑之外的堆栈的出现情况是什么？

Question

在代数几何、微分几何和一般拓扑之外，堆栈的概念出现了什么？

在大多数参考文献中，堆栈概念的引入需要以下步骤：

1. 修复类别$\mathcal{C}$。
2. 定义范畴纤维化的概念在群胚/纤维化范畴上$\mathcal{C}$; 它只是一个函子$\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$满足一定条件。
3. 在上修复Grothendieck拓扑$\mathcal{C}$; 这与每个对象关联美元$属于$\mathcal{C}$，一个集合$\mathcal美元{J} _U（_U）$（这是一个箭头集合，其目标是美元$)满足特定条件所需的。
4. 到每个对象美元$属于$\mathcal{C}$和一个盖子$\{U_\alpha\rightarrow U\}$在纤维类别上固定了一个解理后$（\mathcal{D}，\pi，\mathcal{C}）$，一个人将所谓的血统类别属于美元$关于封面$\{U_\alpha\rightarrow U\}$，通常表示为$\mathcal｛D｝（\｛U_\alpha\rightarrow U\｝）$然后观察到有一种明显的方法可以产生函子$\mathcal{D}（U）\rightarrow\mathcal{D}（\{U_\alpha\right箭头U\}）$，其中$\mathcal{D}（U）$是的“纤维类别”美元$。
5. 群胚纤维类$\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{C}$然后被称为$\mathcal{J}（美元）$-堆栈（或简单的堆栈），如果，对于每个对象美元$属于$\mathcal{C}$以及每个封面$\{U_\alpha\rightarrow U\}$，函子$\mathcal｛D｝（U）\rightarrow\mathcal｛D｝（\｛U_\alpha\rightarrow U\｝）$是类别的等价。

上述5个步骤都与代数几何的建立无关。但是，在定义了堆栈的概念后，我们通常将自己限制在以下类别之一，并使用适当的Grothendieck拓扑：

1. 类别$\text{Sch}/S$方案对方案的影响美元$。
2. 歧管的类别$\text{Man}$。
3. 拓扑空间的范畴$\text{顶部}$。

上述类别的堆栈出现频率按数量级递减。不幸的是，我自己正好看过四篇研究文章(Noohi-拓扑堆栈基础I；Carchedi-拓扑和可微堆栈的范畴性质；Noohi-拓扑堆栈的同伦类型；Metzler-拓扑和平滑堆栈)讨论拓扑空间范畴上的堆栈。

因此，出现了以下问题：

在上面列出的三个区域之外，堆栈的概念出现了什么？

Answer 1

堆栈的另一个应用程序位于综合微分几何。

从与之相反的由有限生成的芽决定的类别开始C^∞-环并为其配备适当定义的Grothendieck拓扑，然后传递给∞堆栈。

由此产生的类别（称为Dubuc拓扑）包含所有光滑流形，是Grothendieck∞-拓扑（特别是，具有所有同伦共线并且是笛卡尔闭的），并考虑到无穷小的好概念。后者允许操作微分几何对象比如向量场和微分形式使用类似于Élie Cartan和Sophus lie所使用的无穷小方法，但非常严格。例如，德拉姆复形现在正是光滑无穷小奇异cochain复形，斯托克斯定理现在正是德拉姆微分定义为奇异cochan微分。就像流形上的堆栈一样，这类同伦结肠炎具有优良的几何特性。

更好的是，如果一个人接受有限生成的细菌决定微分分次C^∞-环，并在得到的∞-位置上取∞-堆栈，然后得到具有所有优良特性的∞堆栈以及同伦极限（总是存在的）的优良几何性质。特别是，在这类交叉口中存在非横向交叉口，并且所需的几何特性等。这个主题被称为导出微分几何。

Answer 2

例如，堆栈用于复杂分析。

请特别参阅Finnur Lárusson的论文，Stein场地上简单带轮的切除和Gromov的Oka原理,这表明对于复杂流形X具有Oka–Grauert性质是等价的全纯映射的空间预切为X的条件是Stein流形上适当的Grothendieck拓扑中的∞-堆栈。

Answer 3

几年前，伯恩斯坦写了一篇笔记使用栈的语言对代数群的表示理论进行了新的研究。

Answer 4

在类别区域设置上堆叠对拓扑理论非常感兴趣：

拓扑理论的一大成功是$(2,1)$-类别格罗森迪克地形和它们之间的几何形态嵌入为本地堆栈类别的反射完整子类别，即堆栈在区域设置它实际上是“几何局部堆栈”类别的一个完整子类别，即那些从局部群胚合并而来的局部堆栈。

在我看来，这是最能传达格罗森迪克地形是几何对象这一想法的结果。当然，格罗森迪克从理论一开始就有这样的直觉，即拓扑是几何对象，但对我来说，这个结果实际上是把这种直觉变成某种形式的东西的原因。

注：涉及到一些规模问题，其讨论将推迟到最后。

我们将通过识别每个区域设置，用拓扑类别的完整子类别来识别区域设置类别$\mathcal{L}$用一捆topos Sh$（\mathcal｛L｝）$。

基本思想相当简单$\mathcal{T}$地形和$\mathcal{L}$一个语言环境，你会得到一类几何形态Hom$（\mathcal{L}，\mathcal{T}）$，如果你简单地去掉不可逆的自然变换，你得到了一个群像Hom$（\mathcal{L}，\mathcal{T}）$几何形态和自然变换。

这将在每个地形上附加一个预设的区域设置类别。可以看出，此预叠是覆盖为打开区域设置（和副产品）之间的推测。

此构造来自$(2,1)$-地形类别$(2,1)$-局部堆栈的类别，它是完全可靠的，并使用堆栈的反射完整子类别来标识拓扑的类别。图中的堆栈被称为“etale-complete”堆栈（老实说，人们通常谈论的是e tale-complete局部群胚，但这是相关堆栈的一个属性）。

这个故事的出发点是从著名的Joyal和Tierney在“Grothendieck的Galois理论的扩展”中的表示定理开始的，这可以理解为左伴随的构造，以及证明它本质上是surpjective的证据，尽管大多数关键思想已经存在。

上述结果出现在Moerdijk的两篇论文中：

连续群胚的分类拓扑，我&二

正如标题所示，结果主要是以群胚而非堆栈的形式表述的，但理论实际上是关于堆栈的，如果我没记错的话，本文中明确提到了与堆栈的连接。我认为邦格的论文“下降在拓扑分类定理中的应用”也与这个故事有关。

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因此，我上面所说的只是一些需要注意的重要尺寸方面的正确。

具有开放满射拓扑的区域设置类别不满足堆叠定义良好所需的小条件。

虽然我们在这里采用的观点是，在转移到更大的格罗森迪克宇宙之前，堆叠总是被定义的，但问题只是是否保留它保留了某些小的条件。

在这种情况下，堆叠并没有保持小规模：有一些小的预设区域设置（在“可代表的小共鸣”的意义上），其堆叠甚至不是“水平小”，即$\mathcal{F}（\mathcal{L}）$可能不是一个本质上很小的群聚体。

但这实际上是一件好事，因为对许多格罗森迪克拓扑来说，群群Hom$（\mathcal{L}，\mathcal{T}）$本质上并不小。

这里要考虑的适当的“堆栈类别”是我上面所说的正确的大堆栈，它是可表示堆栈的小colimit（在堆栈类别中）。这不是一个局部小类别（但Grothendieck拓扑的类别也不是）。连接到拓扑的堆栈属于这一类，这一事实并不平凡，但直接源于上面提到的Joyal和Tierney的工作。

Answer 5

迈克·舒尔曼堆栈语义堆栈在逻辑中的应用。这基本上是层语义，现在是层逻辑的标准应用程序（远离其几何起源），不过，层语义还不够强大，无法以Mike所需的方式捕获无限量化，以便用集合论做他想做的事情（这就是他提出堆栈语义时所做的）。

这是一个相当低功耗的堆栈应用程序，因为滑轮几乎但还不够。但是，简单地采用这种方法会使一些事情更容易谈论，即使人们可以用旧的（仅限sheaves）方式来做这些事情。如果你想把这种逻辑应用于范畴理论本身，而不是集合理论，那么堆栈是非常必要的。

Answer 6

堆栈有两个概念。你提到的那个是一群群胚。有时这些都是自己产生的。另一个概念是几何对象，通常是“坏商”。这个对象可以表示为一群群胚，但这只是一个技术工具。如果你有其他工具，你可以用它们代替。例如，如果你有一个流形的叶理，你可能想考虑“叶的空间”。你可以把它看作拓扑空间上的一个堆栈，但你也可以用等价关系的卷积代数来表示它。森田不变量的构造只依赖于堆栈。所以你可能会说，康纳斯式非交换几何（部分）是对堆栈的研究，或者你可能会认为这是堆栈不受欢迎的一个原因。

Answer 7

有“丛生gerbes“（由Murray介绍），这是一种特殊的堆栈。人们学习连接关于它们，推广主丛上的连接。