非代数堆栈在代数几何中有用吗？

Question

标题有点模糊。我想知道的是，非代数堆栈是否有任何几何应用。例如，我知道相干滑轮的类别就是一个例子。但我想问一下，人们是否会从几何角度考虑一些一般的堆栈（而不仅仅是将它们视为纤维类别）。

如果这一段仍然不能解释我的目的，让我说得更具体一些：人们谈论“在M_g中围绕曲线局部”的事情发生了。但他们并没有说“Coh中相干层附近的局部”，对吗？

在我看到人们谈论代数堆栈几何之前，我读过Vistoli关于一般堆栈的笔记，我总是觉得这两种思维方式之间存在差距。例如，我觉得当一个双民族几何学家使用堆栈作为工具时，他可能不会在脑海中出现一般的纤维类别（尽管抽象的胡言乱语对他来说不应该是一个大问题），对吗？

[一个相关的问题是，类别相对于Schemes是否是在几何中有用的广群之外的东西中形成的？为什么人们只关心在广群中形成的类别？]

Answer 1

为了做几何，你需要有一种全局结构，它具有良好的局部模型（“邻域”）和良好的粘合条件。在代数几何中，好的局部模型是环。如果你想用纤维类别做几何，你需要粘合条件（也就是说，你需要纤维类别是一个堆栈），你需要局部模型，也就是说你需要你的类别是局部的，在一些预拓扑中，是一个仿射方案（这并不完全正确，但我希望它能给出一个大致的想法）。预拓扑必须是这样的，如果$X\到Y$是一个覆盖，$Y$具有某些“有趣”的本地属性这一事实意味着$X$也具有它们。当然，故事封面效果很好；光滑的覆盖物也能起作用，但效果不太好。

所以，你不能用相干滑轮的堆叠来做几何，因为这没有好的邻域。另请参阅我的答案Qcoh（-）代数堆栈？看看会出什么问题。

至于为什么代数堆栈总是被假定为群胚中的堆栈，我可以说几句话，但诚实的回答是，我不知道这其中的深层原因。我知道在实践中它就足够了，所以没有理由放弃反演图，这是非常有用的。想想看，比起幺半群的行为，你能说的更多。

当然，这并不意味着未来人们将不再需要将代数（或拓扑，或可微）堆栈理论扩展到更一般的情况。

那么，为什么几何堆栈是群胚中的堆栈？第一个原因是，反演图在证明结果时非常有用。当然，如果我们需要没有它，我们会的。

第二个更严重的原因是，在具体示例中，非笛卡尔映射的堆栈往往不允许空间中存在非平凡的映射。例如，考虑椭圆曲线的堆栈$\mathcal M_{1,1}$。如果我们承认所有正方形都是态射，而不仅仅是笛卡尔正方形，那么从$\mathcal M_{1,1}$到空间的任何映射都必须将曲线的等代类折叠到一个点，然后我们可以看到它会将所有东西映射到一个点子。所以，没有模空间。

再举一个例子，以投影变量$X$上的向量束堆栈为例。任何两个向量束之间都有一个映射，因此任何开放的子堆栈都不可能接受空间的非平凡映射。

当然，如果$F$是站点$C$上的堆栈，则存在具有相同对象的子堆栈$F^*$，其箭头是$F$中的笛卡尔箭头；如果$X$是$C$的对象或$C$上的层，则任何笛卡尔函子$X\到F$都将通过$F^*$因子；所以你可以认为$F$的图表实际上来自于$F^*$的图表。在我知道的所有例子中，$F^*$都是值得考虑的对象。

但是，再一次，这些理由都不是真正令人信服的；例如，如果幺半群动作在几何中变得重要，我敢打赌人们很快就会开始使用几何堆栈，而这些几何堆栈不是群胚中的堆栈。

Answer 2

答案是肯定的，这取决于你对“代数几何”的定义有多宽泛。以下是一类示例：

光滑簇上具有平坦连接的层等价于该簇的de-Rham堆栈上的层，而正维簇的de-Lham堆栈不是代数的。你基本上是在取一个关于无穷小对称作用的商，相应的覆盖态射只满足形式上的光滑性。更一般地说，具有连接的层的概念有一些变化，例如代数体的作用，可以使用非代数堆栈上的层来从功能上观察，这些层是相当好的形式群胚的堆叠。

在第2.9.10-2.9.12节中有此类烟囱的理论简图手性代数但事实上，整本书都是关于他们的，只限于$D$-模块的语言。在这种情况下，你可以做一些“几何”，但这是一个比大多数代数几何学家倾向于考虑的更退化的环境。例如，您可能最终会使用“复合张量结构”，因为在准相干带上无法获得具有良好特性的普通张量积。