所有无穷处非单位代数整数的绝对值

Question

让千美元$是数字字段，并且$O_K美元$它的整数环。给定任何非单位元素$\alpha\in O_K（_K）$，有单位吗$u\单位：O^\times_K$这样的话$$|\sigma（u\alpha）|>1\quad\text{for-all}\sigma\in\mathrm{Hom}（K，\mathbb{C}）。$$

我找不到反例；我不知道如何用闵可夫斯基理论在理想晶格中找到这样的元素$\alpha O_K\subset\prod_{v\mid\infty}K_v$.

Answer 1

不，让$K=\mathbb Q（\sqrt{6}）$然后让O_K中的$\alpha=2+\sqrt{6}$.的所有单位美元（_K）$由提供$u=\pm v ^n$，其中$v=5+2\sqrt{6}$是基本单位。这里的关键是$\阿尔法$具有相对较小的范数，而基本单位$v（美元）$相对较大。

考虑$u\alpha=\pm v^n\alpha$.如果$n<0$，然后$|u\alpha|=|v|^n|\alpha|\leq|5-2\sqrt｛6｝|\cdot|2+\sqrt｛6｝|<1$.如果$n\geq 0美元$，然后$|u\alpha|=|v|^n|\alpha| \geq|2+\sqrt{6}|>2$.自$\阿尔法$，因此$u\阿尔法$，具有绝对规范$2$，这意味着$u\阿尔法$绝对值小于$1$.