数域整数环中作为平方和的表示数

Question

设$K$是某个数字字段，$\mathcal O_K$表示其整数环，$n$是一个正整数。取$\alpha\in\mathcal O_K$，考虑量$r_{n，K}（\alpha）$，它表示方程的解的数量$$\α=x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2$$带有$x_1、x_2、\ldots、x_n\in\mathcal O_K$。

当$K=\mathbb Q$和$\mathcal O_K=\mathbb Z$时，为所有$n\leq 4$开发了计算$r_{n，K}（\alpha）$的精确公式（可能也适用于其他$n$，但我不熟悉它们）。当$[K:\mathbb Q]>1$时，$r_{n，K}（\alpha）$有公式吗？当$n=2,3,4$和$K$是$\mathbbQ$的真正二次扩展时，我特别感兴趣。

Answer 1

在$n=4$的情况下，有一些已知的结果。特别是，1928年，Gotzky（见Mathematische-Annalen卷100页411-437）证明了一个计算完全正整数$\alpha\In\mathcal表示数的公式{O}（O）_{K} $是$\mathcal中四个元素的平方和｛O｝_{K} $K=\mathbb{Q}（\sqrt{5}）$的$。1960年，哈维·科恩（Harvey Cohn）写了一篇论文（发表在《美国数学杂志》（American Journal of Mathematics）第301-322页），确定了当$K=\mathbb{Q}（\sqrt{2}）$和$K=\tathbb{Q}（\sqrt{3}）@时的公式。科恩1961年的一篇论文讨论了$\mathbb{Q}（\sqrt{2}）$（有公式的地方）和$\mathbb{Q{（\scrt{3}）@（可能没有那么干净的公式的地方。

凯特·汤普森（Kate Thompson）是乔纳森·汉克（Jonathan Hanke）和丹尼尔·克拉申（Daniel Krashen）最近的博士生，她一直致力于将四个平方和的结果推广到其他二次数域。

Answer 2

对于$n=4$，除了Jeremy提到的以外，在以下问题的答案中还有一些其他信息整数环中的平方和.约翰去了也做了一些工作，但似乎他的预印本还不可用。

$n=2$和$n=3$也有一些结果。

对于$n=3$，参见Donkar的1977美国杂志纸张。他在数字域上使用四元数代数，就像他之前在$\mathbbQ$上所做的那样。他只假设了数域的偶数素数，得到了相当一般的结果，并在几个例子中得出了一些非常明确的语句，例如$\mathbb Q（\sqrt 5）$、$\mathbb Q（\sqrt 2）$和$\mathpb Q（\ sqrt 17）$。

对于$n=2$，至少有$\mathbb Q（\sqrt 2）$的工作。参见Michele Elia和Chirs Monico的论文关于$\mathbb Q（\sqrt 2）$中素数的平方和表示（JP代数杂志，数论，2007）。

（当$n=2$时，已有关于虚二次域的其他工作，但我不确定目前关于完全实域的其他结果。还有关于$n>4$的结果。）