整数八元数（第四部分）

2013年8月3日

整体八角（第四部分）

约翰·贝兹

这一次我想说一点关于8维多面体的事情，它的顶点是240个具有最小范数的整数八元数（除了零），或者如果您愿意，也可以说是240个\（\mathrm）根向量{E} _8个\).

这个多面体有各种各样的名字。大多数人把它叫做\（\mathrm）的根多面体{E} _8个\).乔纳森·鲍尔斯称之为

dischiliahectochacontainamriahepthiliadiacosiochacontatedton,

显然遵循的原则是，一个荒谬复杂的形状需要一个荒谬而复杂的名称。但它是托罗德·戈塞特在1900年对半正则多胞体进行分类的论文中发现的，他称之为8-ic半正则图，因为它是8维空间中唯一的半正则多面体。..和非正则的高维半正则多面体！

记得：

A类正多面体是对称组对其标志起传递作用的对象，其中旗帜是位于边上的顶点，位于……等上的面上。
A类均匀多面体对称群在其顶点上起传递作用，并且其顶维面都是一致的。
A类半正则多面体是一个统一的多面体，其顶面都是规则的。

（均匀多面体和半正则多面体在三维中是相同的，因为均匀、半正则和规则多面体是在二维中相同的，但在更高的维中差异变得明显。）

考克塞特后来称“戈塞特的8-ic半规则图形”为4₂₁多面体，作为系统命名方案的一部分，因为它是半正则多面体级数从E类_n个考克塞特组。

现在，a蜂窝状的是平面平铺的高维类似物，从Coxeter群的观点来看，将欧氏空间和双曲空间中的蜂窝状视为广义多面体非常有意义。如果我们这样做4₂₁多面体不是这条线的终点。在8维欧几里德空间中还有一个蜂巢，它的对称群是Coxeter群{E} _9\)和9维双曲空间中的蜂巢，其对称群为Coxeter群{电子}_{10}\)!

虽然你可能没有注意到，因为我没有使用“蜂巢”这个词，我在第1部分,第2部分和第3部分本系列的：

考克塞特称之为8维蜂巢5₂₁蜂窝状的，是用正则多面体填充8d欧氏空间的一种方法，使得在\（\mathrm的每一点上都有一个顶点{E} _8个\)格子。蜂巢本身具有Coxeter群{E} _9个\)对称性。这是\（\mathrm的“仿射”版本{E} _8个\)，因此它包含保留\（\mathrm的翻译{E} _8个\)晶格，但也有一些反射。

这个蜂巢由8维单纯形和8维正交形组成。记住，an个-单工是具有等距顶点的（n+1）维正则多边形：它类似于广义四面体。这个n个-直肌是（n）维的规则多边形，其顶点在合适的坐标系中看起来像这样：$$\开始{数组}{c}（\pm 1，0，\dots，0），\\（0，\pm l，\dotes，0）\\..\dots\dots\ dots，\\（0，0，\dots，\pm 1）\end{数组}$$它就像一个广义八面体。所以，你可以考虑5个₂₁蜂巢作为四面体八面体蜂窝在3个维度中：
考克塞特称之为9维蜂巢6₂₁蜂窝状的，是用具有Coxeter群E的正则多面体填充9维双曲空间的一种方法₁₀对称性。这个蜂窝由9维单体和9维正多面体组成。

我想继续探索这些结构，以及它们与整数八元数的关系。……但我们应该从小处着手，看看六角六分之二七髂二八角六分之一。

以下是关于这个8维多边形的一些有趣事实：

它有240个顶点。
它有6720条边。
它有19440个面，其中方面是一个高维面，所以在本例中是一个7维面。
它有17280个面，是7个单纯形。
其他所有2160个面都是7个正位面。

现在，当你听说某个东西有17280个7维单纯形作为面时，你应该想逃跑并尖叫！但克服这种冲动，并真正理解这类事情，会有相当大的回报。所以，让我们试试看。

在为这样的任务做好准备的同时，我通常发现吃一份7维的零食很有帮助。幸运的是，在新加坡很容易找到一个：

好的，我现在准备好了。首先，请记住，我们的多边形的顶点是这些点：

\（4\次\binom{8}{2}=112\）向量如下：$$（\pm 1，\pm 1,0,0,0,1,0）$$其中我们采用符号的任意组合和坐标的任意排列，以及
\（2^7=128\）向量如下：$$（\pm\frac{1}{2}，\pm\frac{1}}，\ pm\frac{1}{2}.，\pm\frac{1{2}.\pm\fras{1{2}，\fm\frac}{1}[2]，\pm$$我们取偶数个负号。

这给出了（112+128=240）个顶点。

接下来，边缘呢？事实上，每个顶点都由一条边连接到其56个最近邻居中的每一个，但每条边连接两个顶点，因此我们的多边形总共有$$\压裂{240\乘以56}{2}=120\乘以56=5600+1120=6720$$

边缘。

为什么每个顶点有56个最近的邻居？我们看到了这个最后一次，但最好记住，因为我们也需要下一次计算的想法。这个想法是取240个顶点并注意它们如何位于5个超平面上：

有一个顶点，其坐标之和为4：$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}[2}，\frac{1}[2]，\frac:1}{2}，\ frac{1}{2{，\$$
有56个顶点，坐标之和为2。有28个这样的：$$ (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ) $$所有这些数字的排列，一共有28个这样的：$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}[2}，\frac{1}{2}.，-\frac}1}，-\frac{1{2}）$$以及所有这些排列。
坐标之和为0的根有126个。有56个这样的：$$ (1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ) $$以及这些数字的所有排列。有70个这样的：$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，-\frac[1}{2neneneep，-\frac}1{2{2}，-\frac{1}[2}，-$$以及所有这些排列。
坐标之和为-2的地方有56个根。这些只是总和为1的负值，即$$ (-1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ) $$及其所有排列，以及$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，-\frac[1}{2{，-\frac{1}}{2neneneep$$以及所有它的排列。
坐标之和为-4的地方有一个根，即$$（-\frac{1}{2}，-\frac{1}}{2{，-\fracc{1{2]，-\ frac{1\{2}.，-\压裂{1}[2}，-\压裂{1\ 2}$$

如果将您最喜欢的顶点设置为所有坐标之和为4的顶点：

$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}[2}，\frac{1}[2]，\frac:1}{2}，\ frac{1}{2{，\$$

然后可以显示其最近的邻居是56，其中所有坐标之和为2：

$$ (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ) $$$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}[2}，\frac{1}{2}.，-\frac}1}，-\frac{1{2}）$$

以及这些的排列。您可以很容易地检查我们最喜欢的人与这些人之间的距离是否为\（\sqrt{2}\），就像它与原点之间的距离为\（\sqrt{2]\）一样。

接下来，为什么我们的多面体有七个面形？

为了看到这一点，让我们考虑一下如何获得这些高维面之一。我们把一个远离原点的平面慢慢地向原点移动，直到它碰到我们的多面体。有时，当我们这样做的时候，我们很不走运，平面撞到了一个顶点，或2，或3……但有时它撞到了8或更多，然后它真的撞到了顶面！如果它同时正好击中8个顶点，则该面是7个单纯形。

让我们取一个由如下等式定义的超平面

$$\ell（x）=c$$

其中，\（\ell:\mathbb{R}^8\ to \mathbb{R}\）是线性泛函。我们将从\（c\）big开始，并将其缩小，直到超平面第一次触及多边形的顶点。

我们应该使用什么线性函数？

一个明显的选择是所有8个坐标的总和：

$$\ell（x）=x_1+\cdots+x_8$$

但我们已经知道这是行不通的。如果我们使用这个方法，我们的超平面在\（\ell（x）=2\）时首先击中多面体，然后它只击中一个点，即我们最喜欢的点：

$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}[2}，\frac{1}[2]，\frac:1}{2}，\ frac{1}{2{，\$$

因此，我们需要尝试其他方法。另一个明显的选择是

$$\ell（x）=x_1$$

如果我们使用这个，当\（\ell（x）=1\）时，我们的超平面首先到达多胞体，然后它到达一系列点，即

$$（1，\pm 1，0，0，0,0，0）$$$$（1,0，\pm 1，0，0，0,0，0）$$$$（1,0,0，\pm 1,0,0,0）$$$$（1,0,0,0，\pm 1,0,0）$$$$（1,0,0,00,0，\pm 1,0,0）$$$$（1,0,0,0,1,0,0，\pm 1,0）$$$$（1,0,0,0,1,0,0，\pm 1）$$

嘿，这些是一个7维直视图的顶点！这就是我们得到正射面的方法。

谜题1。显示有2160个7-正射面。

值得注意的是$2160=240\乘以9$$

接下来，让我们尝试找到7个单纯形面。

为了找到这些，我们可以尝试我们用来找到7个正射面的相同技巧，只需使用不同的线性函数。

例如，我们可以尝试让\（\ell（x）\）是前两个坐标的和。然后，当\（c）减至（2），并在单点命中。我们可以让\（\ell（x）\）是前三个坐标的和，但我们得到了一个三角形。或者我们可以让\（\ell（x）\）是前四个坐标的和，但我们得到另一个7-正射曲面。

所以我们必须尝试一些更奇怪的事情，这一点我得到了格雷格·伊根的很多帮助。他使用了超平面

$$\ell（x）=3$$

哪里

$$\ell（x）=2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$$

他证明了这个超平面包含这8个顶点：

$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}[2}，\frac{1}[2]，\frac:1}{2}，\ frac{1}{2{，\$$$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}[2}，\frac{1}{2}.，-\frac}1}，-\frac{1{2}）$$$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}[2}，-\frac[1}{2neneneep，\frac:1}{2\，-\ frac{1\ 2}）$$$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}[2}，-\frac[1}{2neneneep，-\frac}1}}}{2}，\ frac{1}{2{）$$$$(1,1,0,0,0,0,0,0)$$$$(1,0,1,0,0,0,0,0)$$$$(1,0,0,1,0,0,0,0)$$$$(1,0,0,0,1,0,0,0)$$

这些都是彼此之间的距离（\sqrt{2}），所以它们是7个单纯形的顶点！

谜题2。显示有17280个7个单面。

请注意，（17280=240乘以72）可能会有所帮助。

谜题1。显示\（\mathrm{E} _8个\)根多面体有21607个正切面。

回答。以下是格雷格·伊根的回答：

接下来是7个矫形手术。..

John已经给出了典型正态（（1,0,0,0,1,0,0））并列出了14个顶点的点积为1。我们可以把1放在任何坐标系中，然后取反，得到总共16个面。

对于形状的法线$$\left（\pm\frac{1}{2}，\pm\frac{1}}，\fm\frac}{2{，\pm\frac{1}，\ pm\frac}{2neneneep，0,0,0\right）$$坐标的排列有（2^4\cdot\binom{8}{4}=1120）的可能性。例如，$$\left（\frac{1}{2}，\frac}{1}}，\frac{1}[2]，\frac{1}[2}，0,0,0\0\right）$$点积为1，具有以下14个顶点：

$$\开始{array}{l}\左（\frac{1}{2}，\frac}1}{2}，\ frac{1}{2，\frac{1}{2}，-\ frac}1}{2{，-\，-\压裂{1}{2}，-\压裂{1{2}\右）\\\左(\压裂{1}{2}，压裂{1{2}，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左(\压裂{1}{2}，压裂{1{2}，-\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左(\压裂{1}{2}，压裂{1{2}，\压裂{1}{2}，-\压裂{1{2}\右）\\\左(\压裂{1}{2}，压裂{1{2}，-\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左(\压裂{1}{2}，压裂{1{2}，\压裂{1}{2}，-\压裂{1{2}\右）\\\左(\压裂{1}{2}，压裂{1{2}，压裂{1}{2}，-\压裂{1}{2}，-\压裂{1{2}\右）\\\左(\压裂{1}{2}，压裂{1{2}，压裂{1}{2}，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左(1，1，0，0，0,0，0 \右）\\\左(1、0、1、0，0、0、0，0\右）\\\左(1,0,0,1,0,0,0，0,0\右）\\\左(0，1，1，0，0，0,0，0\右）\\\左(0,1,0,1,0，0,0，0，0\右）\\\左(0,0,1,1,0,0,0 \右）\\\结束{数组}$$

对于形状的法线$$\left（\pm\frac{3}{4}，\pm\frac{1}{4{，\pm\frac}{1}}，\ pm\frac{1}{4}.，\pm\ frac{1{4}:，\pm\frac{1}[4]，\p.\frac[1}{4]，\pm$$带有奇数个减号坐标的排列有（8\cdot\left（\binom{8}{1}+\binom}{8}}{3}+\biom{8{5}+\Biom{8neneneep{7}\right）=1024）种可能性。例如，$$\left（-\frac{3}{4}、\frac{1}{4｝、\frac{1}{4｝、\frac{1}{0}、\frac{1}{1}{4}，\frac{1}{4}\frac{0}{4}\右）$$点积为1，具有以下14个顶点：

$$\开始{array}{l}\左（-\frac{1}{2}，-\frac{1}}{2{，\frac}1}{2]，\frac{1{2}.，\frac，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左(-\压裂{1}{2}，压裂{1{2}，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左(-\压裂{1}{2}，压裂{1{2}，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左(-\压裂{1}{2}，压裂{1{2}，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左(-\压裂{1}{2}，压裂{1{2}，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左(-\压裂{1}{2}，压裂{1{2}，压裂{1}{2}，-\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左(-\压裂{1}{2}，压裂{1{2}，压裂{1}{2}，\压裂{1}{2}，-\压裂{1{2}\右）\\\左(-1，1，0，0，0,0，0 \右）\\\左(-1、0、1、0，0、0、0，0\右）\\\左(-1,0,0,1,0,0,0，0,0\右）\\\左(-1,0,0,0,1,0,0，0,0\右）\\\左(-1，0，0，0,0,1,0,0\右）\\\左(-1，0，0，0,0,0,1,0\右）\\\左(-1,0,0,0,0,0，0,0,0,1\right）\\\结束{数组}$$

这总共是16+1120+1024=2160个面。

我想你完全可以从对称性的角度来论证，这些由14个顶点组成的集合形成了7个正射曲面，因为约翰的例子很清楚是一个7-骨科。

谜题2。显示\（\mathrm{E} _8个\)根多面体有17280个7个单面体。

回答。以下是格雷格·伊根的回答：

从法线（（\pm 2，\pm 1，\pm1，\pg 1，\fm 1,0,0,0）及其坐标的排列来看，有7个单形的（2^5\cdot 8\cdot\binom{7}{3}=8960）面。

从法线\（（\pm 1，\pm l，\pm1，\p.1，\fm 1，\pg 1，\ pm 1）\）奇数个负号有7个简单的面（\binom{8}{1}+\binom}8}{3}+\biom{8{5}+\二进制{8}}{7}=128）。

从法线\（（\pm\frac{3}{2}，\pm\frac{3}}{2{，\pm\frac}3}{2]，\pm\frac[1}{2neneneep，\pm\frac{1}{2neneneei，\pm\ frac{1}}{2}，\ pm\frac{1}[2]，\pm奇数个负号以及它们的坐标排列，有7个简单的面（\binom{8}{3}\cdot\left（\binom{8}}{1}+\binom}8}{3}+\biom{8{5}+\二进制{8}{7}\right）=7168）。

从法线\（（\pm\frac{5}{2}，\pm\frac{1}{2{，\pm\frac{1}}，\ pm\frac{1}{2}，\fm\frac}{1}[2}，\tm\frac{1}{2neneneep，\pm\frac{1}{2}.，\pm\ frac{1{2}.\pm\fras{1}[2]）偶数个减号以及它们的坐标排列，有7个单形的（8\cdot左（\binom{8}{0}+\binom}8}{2}+\biom{8{4}+\bilom{8neneneep{6}+\二进制{8}}{8}\right）=1024）面。

这些计数的总数为17280。这不是一个非常严格的枚举，因为我只是通过从\（（2,1,1,1,1,0,0,0）\）开始的反复尝试找到它，并寻找具有相同平方范数8的其他向量。

我想我应该为每种法向量的一个例子展示7单纯形的8个顶点。我已经为\（（2,1,1,1,1,0,0,0）\）做过了，下面是其他三种类型的示例。

在每种情况下，法向量与顶点的点积是3。

对于\（（1，-1,1,1,1,1,1）\），7-单形的8个顶点为：

$$\开始{数组}{l}\左（-\frac{1}{2}，-\frac{1}}{2{，\frac}1}{2]，\frac{1{2}.，\frac，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左（\frac{1}{2}，-\frac}1}{2]，-\frac{1}}{2{，\frac[1}{2neneneep，\frac{1}{2}，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左（\frac{1}{2}，-\frac}1}{2]，\frac[1}{2{，-\ frac{1'{2}，\frac{1}}{2neneneep，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左（\frac{1}{2}，-\frac}1}{2]，\frac[1}{2{，\frac{1{2}，-\frac}1{2{2，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左（\frac{1}{2}，-\frac{1}{2｝，\frac{1}{2]，\frac{1}{1}，\frac{1}{3}，-\frac{1}{2}，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左（\frac{1}{2}，-\frac}1}{2]，\frac[1}{2{，\frac{1{2}，\frac{1}}，\frac{1}[2]，-\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左（\frac{1}{2}，-\frac}1}{2]，\frac[1}{2{，\frac{1{2}，\frac{1}}，\frac{1}[2]，\压裂{1}{2}，-\压裂{1{2}\右）\\\左（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\ frac{1}{2}，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\结束{数组}$$

对于\（左（-\frac{3}{2}，\frac}3}{2}，\ frac{3}{2，\ frac{3}}，\frac{1}{2{，\frac{1{2}，\frac{1}}{2），7个单纯形的8个顶点是：

$$\开始{数组}{l}\左（-\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，-\frac{1}{2}.，\frac}1}}，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左（-\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，-\frac}1}}，\ frac{1}{2}，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左图（-\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}[2]，-\frac（1}{2）}，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左图（-\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}，\ frac{1}{2}，-\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\左图（-\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}，\ frac{1}{2}，\压裂{1}{2}，-\压裂{1{2}\右）\\\left（-1，1，0，0，0,0，0\右）\\\left（-1，0，1，0，0，0,0，0\右）\\\左（0,1,1,0,0,0，0,0\右）\结束{数组}$$

对于\（左（\frac{5}{2}，\frac}1}{2{，\frac{1}{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1{2}，\frac 1}{2]，\fric{1}[2]，\fracc{1neneneep{2}\右），7个单纯形的8个顶点是：

$$\开始{数组}{l}\左（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\ frac{1}{2}，\压裂{1}{2}，\压裂{1{2}\右）\\\left（1，1，0，0，0,0，0\右）\\\左（1,0,1,0,0,0，0,0\右）\\\左（1,0,0,1,0,0,0，0\右）\\\左（1,0,0,0,1,0,0，0\右）\\\左（1,0,0,00,0,1,0\右）\\\左（1,0,0,0,1,0\右）\\\left（1，0，0，0,0,0，0\右）\\\结束{array}$$

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