2013年7月29日

积分八元数（第三部分）

约翰·贝兹

我现在最关心的是8维格子，因为这个格子是Cayley整数：这个小系列的主题是“整体八元数”。您可以将整型八元数看作是给出\（\mathrm{E} _8个\)格化一个乘法，使其成为一个非关联除法环。

但在进入乘法方面之前，最好彻底熟悉加法和几何方面。那么，让我们从使用\（\mathrm进行一些计算开始{E} _8个\)并将其视为8维欧几里德空间中的晶格。然后让我们思考一下它与李代数的关系{E} _8个\)和较小的李代数{E} _7个\)和\（\mathrm{E} _6个\).

所有这些东西本身都很有趣，但如果这个系列像我想象的那样继续下去，它也会派上用场。第1部分和第2部分非常粗略。但理想情况下，我想非常生动地向你们展示与凯利整数相关的代数和几何，为此我们需要一些细节。

E₈晶格

下面是对\（\mathrm的最简单描述{E} _8个\)格子。定义一个半整数为整数加\（\frac｛1｝｛2｝\）。这个E类₈格由所有8个实数元组组成

$（x_1、x_2、x_3、x_4、x_5、x_6、x_7、x_8）$$

这样的话

• \（xi\）要么是全部整数，要么是全部半整数，并且
• 所有\（xi\）的和是偶数。

很容易看到这个集合在加法和减法下是闭合的，所以它是一个晶格也很容易看出，任何向量与其自身的点积都是偶数，因此它是一个即使格子。

这个格子也是单模的，表示单位单元的体积为1。要进行检查，只需将该晶格的基向量列表写成矩阵：

$$\左（\开始{数组}{cccccccc}2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 & 0\\\压裂{1}{2}&\压裂{1{2}&\压裂}1}{2]&\压裂\结束{数组}\右）$$

行列式是一个巨大的交替乘积之和，但除了一个以外，其余都是零，即这个矩阵对角线项的乘积。这个乘积是1。因此，这些向量跨越的平行管的体积，即“单元”，是1。

这一切都很好，因为{E} _8个\)以欧几里德空间中最小的偶幺模格而闻名。这样的东西只存在于8的倍数的维度中。

接下来，让我们看看\（\mathrm中有240个向量{E} _8个\)具有最小可能非零长度的晶格：

• 首先，有一组这样的向量：$$（\pm\frac{1}{2}，\pm\frac{1}}{2{，\pm\frac}1}{2]，\mp\frac[1}{2neneneep，\pm\frac{1}[2}，\ pm\frac{1}[2]，\pm\ frac{1'{2}.，\pm所有这些都有长度$$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac}1}{4]+\frac{1}{4}+\frac:1}{4}+\frac{1{4}+\ frac{1}{4{+\frac{1}}{4$$

  有（2^8）个向量，其中所有分量都是（\pm\frac{1}{2}）。对于其中一半的人来说，组成部分的总和是偶数；对于其余部分，总和是奇数。因此，这些向量中的（2^7=128）位于{E} _8个\).

• 其次，有一组向量如下：

  $$（\pm 1，\pm 1,0,0,0，0,0）$$

  再加上我们通过排列组件得到的。这些也有长度\（\sqrt{2}\）。其中有4次\（\binom｛8｝｛2｝\），总计\（4次28=112）。

该晶格中的所有其他非零向量都更长。所以，有

$128+112=240美元$$

正如承诺的那样！

这些向量是根李代数的{e} _8个\). 李代数本身的维数是8：即，（248）。这是因为任何简单李代数的维数都是根数加上它的维数Cartan子代数，任意选择的最大阿贝尔子代数。对于\（\mathfrak{e} _8个\)这是（8）。事实上，我们可以想到{E} _8个\)晶格位于这个8维空间中。

（最终，将其视为位于双重空间中更为明智，但有一种规范的方法来识别它们，因此它是无害的。）

李代数E₈

要获得更多关于\（\mathrm根的乐趣{E} _8个\)，它有助于了解关于分次李代数的一些一般事实。这里我不是指（mathbb{Z}/2\）分次李代数，也称为李超代数。相反，我指的是李代数（mathfrak{g}），它被写成子空间（mathfrak{g}（I））的直接和，每个整数对应一个，这样

$$[\mathfrak{g}（i），\mathbrak{g{（j）]\subseteq\mathfak{gneneneep（i+j）$$

如果这些子空间中只有中间的3个子空间是非零的，那么

$$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}$$

我们说\（\mathfrak｛g｝\）是“三级的”。类似地，如果只有中间的5是非零的，那么

$$\mathfrak{g}=\mathfrak{g}$$

我们说（mathfrak{g}）是‘5级’的，依此类推。

在这种情况下，会发生一些好事。首先，\（\mathfrak{g}（0）\）总是\（\ mathfrak{g}\）的Lie子代数。其次，它通过括号相互作用于空格（mathfrak{g}（i））。第三，如果\（\mathfrak{g}\）是3级的，我们可以通过选取任意元素\（k\in\mathfrak{g}（-1）\）并定义

$$x\circ y=[[x，k]，y]$$

此产品自动满足身份定义乔丹代数：

$$x\circ y=y\ circ x$$

$$x\circ（y\circ（x\circ x））=（x\circ y）\circ（x\circ x）$$

所以3-分次李代数是Jordan代数的一个重要来源。

为了得到复杂简单李代数（mathfrak{g}）的梯度，我们可以将（mathfrak{g}\）写成一系列一维“权重空间”（mathflak）的直接和{g} _r（r）\)，每个根对应一个，连同其Cartan代数，该代数应被称为\（\mathfrak{g} _0（0）\). 这种分解的好处是

$$[\mathfrak美元{g} _r（r），\mathfrak{克}_{r'}]\subseteq\mathfrak{克}_{r+r'}$$

只要\（r\）和\（r'\）是根或零。因此，要对\（mathfrak{g}\）进行分级，我们只需要用均匀间隔的平行超平面来切片\（math frak{t}\），这样每个根以及原点都位于在其中一个超平面上。

现在让我们开始讨论这个问题，看一看这样的情况，其中（mathfrak{g}）是李代数的复数形式（mathfrak{e} _8个\). 对\（\mathfrak进行评分{e} _8个\)，你应该把它的根想象成一个闪闪发光的8维钻石的顶点。想象你自己是一个宝石切割师，旋转这个钻石，寻找切割它的好方法。你需要用穿过每个顶点以及钻石中心的等间距平行超平面来切割它。

最简单的方法是让每个切片通过所有根，其中坐标之和取一个固定值。有五种情况：

• 坐标和为（4）的地方有一个根：$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}[2}，\frac{1}[2]，\frac:1}{2}，\ frac{1}{2{，\$$

• 有\（56\）根，其中坐标之和为\（2\）。有这样的\（\binom｛8｝｛2｝\）或\（28\）：$$ (1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ) $$以及这些数字的所有排列。还有这样的\（\binom{8}{2}\）或\（28\）：$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，\frac{1{2}，\frac{1}}{2{，\frac{1}[2}，\frac{1}{2}.，-\frac}1}，-\frac{1{2}）$$以及所有这些排列。

• 坐标之和为（0）的有\（126\）个根。有这样的\（2）次\（\binom{8}{2}\）或\（56）：$$ (1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ) $$以及这些数字的所有排列。还有这样的\（\binom{8}{4}\）：$$（\frac｛1｝｛2｝，\frac｛1｝｛2｝，\frac｛1｝｛2｝，\frac｛1｝｛2｝，-\frac｛1｝｛2｝，-\frac｛1｝｛2｝，-\frac｛1｝｛2｝）$$以及所有这些排列。注意\（\binom{8}{4}=70\）。因此，总数确实是（56+70=126）。

• 坐标之和为（-2）的根为（56）。这些只是总和为1的负值，即$$ (-1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0 ) $$及其所有排列，以及$$（\frac{1}{2}，\frac}1}{2]，-\frac[1}{2{，-\frac{1}}{2neneneep$$以及所有它的排列。

• 坐标之和为（-4\）的地方有一个\（1\）根，即$$（-\frac{1}{2}，-\frac{1}}{2{，-\fracc{1{2]，-\ frac{1\{2}.，-\压裂{1}[2}，-\压裂{1\ 2}$$

因此，有5个等级的\（\mathfrak{e} _8个\):$$\mathfrak美元{e} _8个 = \马特拉克{e} 8个（-2）\oplus\mathfrak{e} _8个（-1）\oplus\mathfrak{e} _8个（0）\oplus\mathfrak{e} 8个（1） \oplus\mathfrak公司{e} 8个(2) , $$其中子空间的维数如下所示：$$ 248 = 1 + 56 + 134 + 56 + 1 $$这里我们必须记住包括\（\mathfrak{g} _0（0）\)英寸\（\mathfrak{e} _8个（0）\），得到一个维数为的Lie子代数$$126 + 8 = 134$$

事实上，这个\（134\）维李代数\（\mathfrak{e} _8个（0）是李代数的直和{e} _7个\)和一维交换李代数（mathfrak{gl}（1））。如果您知道\（\mathfrak的维度{e} _7个\)是\（133\），但原因是如果我们取\（\mathfrak）的所有根{e} _8个\)与给定根正交，我们得到\（\mathfrak{e} _7个\). 从这个角度来看{e} _8个\)看起来像这样：

回想一下\（\mathfrak{e} _8个（0）=\mathfrak{e} _7个\oplus\mathfrak{gl}（1）\）作用于所有其他空格\（\mathfrak{e} 8个（i） \）。特别是，\（mathbb{C}\）是\（mathfrak）的一维平凡表示{e} _7个\oplus\mathfrak{gl}（1）\），而\（\mathbf{F}\）是弗洛伊登塔尔代数：\（\mathfrak的56维表示{e} _7个\oplus\mathfrak{gl}（1）\），它恰好是\（\mathfrak）的最小非平凡表示{e} _7个\).

沿着这些路线，还有更多的游戏要玩。例如，我们可以重复我们的“宝石切割”技巧，获得\（\mathfrak）的3分{e} _7个\):

$$\mathfrak美元{e} _7个=\马特拉克{e} _7个（-1）\oplus\mathfrak{e} _7个（0）\oplus\mathfrak{e} _7个(1) $$

现在尺寸如下：

$$ 133 = 27 + 79 + 27 $$

由于\（\mathfrak的维数{e} _6个\)78岁，这并不奇怪那个\（\mathfrak{e} _7个（0）是\（\mathfrak）的直接和{e} _6个\)和一维阿贝尔李代数。由于3分度给出了Jordan代数，毫不奇怪{e} _7个（1） \）是著名的27维乔丹代数。

这个例外Jordan代数是空格\（\mathfrak{h} _3个（\mathbb{O}）\）具有八元数项的（3乘3）自共轭矩阵，并配有乘积（ab+ba）。这是实数上的Jordan代数。它是27维的，因为它的元素看起来像这样：

它的络合作用$$\mathbf{J}=\mathbb{C}\otimes\mathfrak{h} _3个（\mathbb{O}）$$不是其他字符，而是\（\mathfrak{e} _7个（1） \），这是复数上的Jordan代数。空格\（\mathfrak{e} _7个（-1）是这个的对偶，所以我们有：$$\mathfrak美元{e} 7个=\mathbf{J}^\ast\oplus（\mathfrak{e} _6个\oplus\mathfrak{gl}（1））\oplur\mathbf{J}$$

利用我们关于分次李代数的事实，这意味着{e} _6个\)作用于\（\mathbf{J}\）和\（\mathbf{J2}^\ast\）。事实上，\（mathbf{J}\）及其对偶是\（mathfrak）的最小非平凡表示{e} _6个\)。（它们不是同构表示，而\（\mathbf｛F｝\）及其对偶是同构表示\（\mathfrak{e} _7个\).)

此外，如果我们使用上述包含的\（\mathfrak{e} _6个\)在\（\mathfrak中{e} _7个\)，我们可以对\（\mathfrak进行前面的分解{e} _8个\):

并将眼前的一切分解为\（\mathfrak{e} _6个\)。当我们这样做时，弗洛伊登塔尔代数分解为

结论

还有很多事情要做，但这是一个休息的好地方。我们已经看到了\（\mathrm{E} _7个\)，\（\mathrm{E} _6个\)弗洛伊登塔尔代数和例外的乔丹代数都是从反复切分\（\mathrm）的240个根中产生的{E} _8个\)，我们已经开始看到遍及异常数学的可怕的、看起来像阿利安的数字：

• 26，无迹厄米辛子矩阵空间的维数，或（mathbb{O}^3\oplus\mathbb}R}^3）。
• 27=26+1，（3乘3）hermitian八元矩阵空间的维数{h} _3个（\mathbb{O}）\cong\mathbb{O}^3\oplus\mathbb}R}^3\），这是例外的Jordan代数，或者是Jordan代数学的复数维{h} _3个（\mathbb｛O｝）\），这是\（\mathfrak）的最小非平凡复数表示{e} 6个\).
• 56=1+27+27+1，弗洛伊登塔尔代数的复数维（\mathbf{F}\cong\mathbb{C}\oplus\mathbb}J}^*\oplus\mathbb{J}\oprus\mathbb2{C}），\（\mathfrak）的最小非平凡复数表示{e} _7个\).
• 78=26+26+26，\（\mathfrak的尺寸{e} _6个\).
• 79=78+1，\（\mathfrak的尺寸{e} _6个\oplus\mathfrak{gl}（1）\），它是\（\mathfrack）的零级部分{e} 7个\)关于其3级。
• 133=27+79+27，尺寸为\（\mathfrak{e} _7个\cong\mathbf{J}^*\oplus（\mathfrak{e} _6个\oplus\mathfrak{gl}（1））\oplur\mathbf{J}\）。
• 134=133+1，\（\mathfrak的维数{e} _6个\oplus\mathfrak{gl}（1）\），它是\（\mathfrack）的零级部分{e} _8个\)就其5级而言。
• 248=1+56+134+56+1，\（\mathfrak的维数{e} _8个\cong\mathbb{C}\oplus\mathbf{F}^*\oplus\mathfrak{e} _7个\oplus\mathbf{F}\oplus\mathbb{C}\），这是其自身最小的非平凡复数表示。

所有这些数字都可以在\（\mathbf中看到{E} _8个\)格子！

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