排列从$1$到$n$的数字，使得每两个相邻数字的和是完美幂

Question

我知道一个人可以从$1$到$\颜色{红色}{15}$使每两个相邻数字的和为完全正方形.

$$8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9$$

另外，几天前，我的一个朋友告诉我，一个人可以从$1$到$\颜色{红色}{305}$使每两个相邻数字的和为完美立方体.

$$256,87,129, 214, 298, 45, 171, 172, 44, 299, 213, 130, 86, 257, 255,$$ $$88, 128, 215, 297, 46, 170, 173, 43, 300, 212, 131, 85, 258, 254, 89, 127, 216, 296,$$ $$ 47, 169, 174, 42, 301, 211, 132, 84, 259, 253, 90, 126, 217, 295, 48, 168, 175, 41, 302, $$ $$210, 133, 83, 260, 252, 91, 125, 218, 294, 49, 167, 176, 40, 303, 209, 134, 82, 261, 251,$$ $$ 92, 33, 183, 160, 56, 287, 225, 118, 98, 245, 267, 76, 140, 203, 13, 14, 202, 141, 75, 268,$$ $$ 244, 99, 26, 190, 153, 63, 280, 232, 111, 105, 238, 274, 69, 147, 196, 20, 7, 1, 124, 219,$$ $$ 293, 50, 166, 177, 39, 304, 208, 135, 81, 262, 250, 93, 32, 184, 159, 57, 286, 226, 117, 8,$$ $$ 19, 197, 146, 70, 273, 239, 104, 112, 231, 281, 62, 154, 189, 27, 37, 179, 164, 52, 291, 221,$$ 122、3、5、22、194、149、67、276、236、107、109、234、278、65、151、192、24、101、242、270美元$$ 73、143、200、16、11、205、138、78、265、247、96、120、223、289、54、162、181、35、29、187美元$$ $$156, 60, 283, 229, 114, 102, 241, 271, 72, 144, 199, 17, 108, 235, 277, 66, 150, 193, 23,$$ $$ 4, 121, 222, 290, 53, 163, 180, 36, 28, 188, 155, 61, 282, 230, 113, 103, 240, 272, 71, 145,$$ $$ 198, 18, 9, 116, 227, 285, 58, 158, 185, 31, 94, 249, 263, 80, 136, 207, 305, 38, 178, 165,$$ $$ 51, 292, 220, 123, 2, 6, 21, 195, 148, 68, 275, 237, 106, 110, 233, 279, 64, 152, 191, 25,$$ $$100, 243, 269, 74, 142, 201, 15, 12, 204, 139, 77, 266, 246, 97, 119, 224, 288, 55, 161,$$ $$ 182, 34, 30, 186, 157, 59, 284, 228, 115, 10, 206, 137, 79, 264, 248, 95$$

这里，我有一个问题。

问题：是否至少存在一个正整数第2页$每个都满足以下条件$N\ge 2\in\mathbb N$？

条件：可以从以下位置排列所有数字$1$到n美元$以每两个相邻数字之和的形式排列百万美元$对一些人来说$m\in\mathbb N$.

补充：我交叉发布到卫生官员.

Answer 1

这不是对这个问题的回答（我认为这个问题由迈卡的评论但一份杂项观察的概要。

首先，迈卡的评论指出，如果没有一个足够大的解决方案，那将是非常令人惊讶的N美元$，计算机搜索证实了这一点：有解决方案$N=1,15,16,17,23$以及介于之间的所有数字25美元$和50美元$，这时我停止了检查。作为N美元$增加时，解决方案的数量会迅速增加；有一个解决方案N=15美元$，十种解决方案N=25美元$、和$17,175$对于$N=35美元$. TheN=15美元$案例受到非典型约束。

在以下情况下查找解决方案N=15美元$很容易。我们可以从观察开始9美元$仅与相邻7美元$、和$8$只为$1$，因此解决方案（如果存在）必须从9美元$并以结尾$8$（或者是vice-versa，以相反的方式给出相同的解决方案，我们从此不再理会。）9美元$被强制：$9-7-2-14-11-5-4-12-13-3$是唯一可能的序列。发件人$3$一个人可以去$1$或至$6$，自从去$1$显然行不通（因为我们知道$1$是倒数第二）它必须结束$3-6-10-15-1-8$这是唯一的解决方案。

考虑节点为$\{1，\ldot，15\}$其中有两个节点，只要它们的和是平方，就连接它们。这个问题的解决方案正是这个图中的一个哈密顿路径。当我们看这个图时，解的唯一性是显而易见的：

甚至一个孩子也能看到，只有一条哈密尔顿路径。（我知道，因为我和我六岁的女儿核实过，她同意。）$N=16$和N=17美元$同样微不足道N=18美元$或$N=19美元$显示了为什么这些值没有解决方案：

在$N=20、21、22$尽管16的麻烦死胡同已通过20连接到5，但缺乏解决方案仍然很容易看到。对于$N=24$我看不出有任何明显的理由为什么没有解决方案，但我认为可能可以提出一个简单的论点，涉及到$11, 22, $和$23$.

如果两个数字的和是一个完美的立方体，那么这两个数字是相连的。对于N=100美元$该图甚至没有连接。对于$N=200美元$它是相连的，但有许多叶子。即使是为了N=300美元$我怀疑有一个相当简单的证据表明没有解决方案，涉及相对独立的$\{29, 35, 90, 126, 217, 253, 259\}$它与图的其余部分只有4个连接。