利用二项式定理证明Binet公式给出一个整数

Question

我得到了$$F_n＝\frac｛\varphi^n-\psi^n｝｛\sqrt｛5｝｝$$其中，$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$和$\psi=\frac{1-\sqrt}{5}{2{$。

教科书上说，它等于第$n$-个斐波那契数$F_n$。据说，由于斐波那契数是整数$$F_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt{5}}$$也是一个整数。你们能澄清一下吗？

我如何继续证明这个数字$$F_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt{5}}$$整数是使用牛顿二项式定理的吗？

Answer 1

我如何使用牛顿二项式定理继续证明中的数字是一个interger？

$$\newcommand{\b}[1]{\left（#1\right）}\新命令{\d}{{\rmd}}\新命令{\f}{\frac}\新命令{\s}{\sqrt}\新命令{\t}{\text}\newcommand｛\u｝｛\brace｝\bf应答$$

$$S=\f1{\s5}\b{\b{\f{1+\s5}2}^n-\b{f{1-\s5}2]^n}=\f1}2^n\s5}\b{\sum_{k=0}^n\binom5k5^{k/2}-\sum__{k=0.0}^n（-1）^k\binom5k5^{k/2}}=\f1{2^n\s5}\sum_{k=0}^n[1-（-1）^k]\binom5k5^{k/2}$$

因为当k是偶数项时，我们只得到奇数项，让wherin我们让$k=2t-1；k在{1,3,5，..n，t在{1,2，..（n+1）/2}中$$$S=\f1{2^{n-1}\s5}\sum_{t=1}^{（n+1）/2}\binom5{2t-1}5^{t-1/2}=\f1{2^{n-1}}\sum{t=1}^{（n+1）/2}\binom5{2t-1}5^｛t-1｝$$现在它不再是非理性的了，你可以使用归纳法。

Answer 2

我想这个问题以前被问过。

首先，使用归纳证明，

$$\大{\phi^n=F_{n-1}+F_n\phi}\；\；\；\大{\psi^n=F_{n-1}+F_n\psi}$$

其中$\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$和$\psi=1-\phi$。

因此，

$$\Large{\phi^n-\psi^n=F_{n-1}+F_n\phi-F_{n-1}-F_n\psi}\\向下箭头\\大{\phi n-\psi ^n=F_n（\phi-\psi）=F_n\sqrt{5}}\\下箭头\\大型{\frac{1}{\sqrt{5}（\pi^n-\psi）=F_n}$$

$F_n$是整数，因此$\frac{1}{\sqrt{5}}（\phi^n-\psi^n）\；$也是整数。