斐波那契四舍五入公式证明

Question

最近我不得不解决一个与斐波那契数有关的小问题。我使用的是比奈公式：

$$F_{n}=\frac{\Phi^n-\Phi^n}{\sqrt{5}}$$

我通过使用得到的有效解决方案四舍五入计算公式，与由简单不等式产生的比奈公式有关：

$$\left|\frac｛\phi^n｝｛\sqrt｛5｝｝\right|<\frac｛1｝｛2｝，\fquad n\leq 0$$

$$F_{n}=\left\lfloor\frac{\Phi^n}{\sqrt{5}}+\frac{1}{2}\right\rfloor$$

我知道它是如何从上述不等式中推导出来的，但我不知道如何从一开始就严格推导出这个不等式。任何解释都会对我有很大帮助！提前谢谢你。

Answer 1

好，$1<\phi<1$，所以$1<\phi^n\leq1$为所有人$n\geq0（美元）$、和$\sqrt5>\sqrt4=2$。

Answer 2

请注意$\phi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，所以$$|\φ|=\frac{\sqrt{5}-1}{2}<1.$$也，$\sqrt{5}>2$。