n类咖啡馆

起点–（理性）2d的FRS处方CFT公司.

目前对（有理）二维共形场论的最详细理解——包括它与三维拓扑场论的关系——来自FRS形式(陈述,文学,最近的发展).

二维共形场理论的局部行为，包括对共形结构的依赖，编码在手性顶点算子代数的表示理论中。FRS处方给出了在任意共形共基上构造量子传播函子的问题的解决方案，该量子传播函子对接近恒等式的共形环的限制再现了给定手性代数中编码的信息（如这对话）。这个函子的函数性是已知的缝制约束.

[这需要更详细地讨论。]

虽然它当然有一种内在的优雅——在很大程度上是被称为状态和模型的复杂版本，例如它们用于拓扑字符串–实现这一点的处方有点巴洛克风格。

它由一组规则组成，用于如何将带状图分配给任何世界表，该带状图在3流形内运行，该3流形共同包围世界表的定向束，并由手性代数表示的模张量类别中的某些对象和态射着色。

这个内部有带状图的3流形随后被输入Reshitikhin-Turaev处方中，该处方本身是一个不完全直接的机制，它从给定的模张量范畴构建三维拓扑场理论。

通过这种方法，人们最终可以在某个向量空间中获得一个向量，该向量最终可以通过一些同构映射到CFT公司人们希望建造。

[这需要更详细地讨论。]

可以证明，由这个烹饪方法产生的相关器集合确实定义了一个完整的（理性的）二维CFT公司基于指定的手性代数。

虽然非常了不起，但这一成功给人留下了一种不可否认的感觉，即在所有这些机械的下面，一定隐藏着一个更基本的机制，它控制着所有这些。

目标：二维的双功能描述CFT公司

在此，我们希望收集以下陈述的证据：

第一条声明。二维量子场论的FRS形式主义产生于传播2-函子的局部平凡化从曲面类的2-范畴精化到2-向量空间的2-范畴。

此外

第二条声明。这个传播2-函子是相应的三维拓扑场理论的传播3-函子变换的分量映射。

为了总结这一点，至少对$n个$-功能量子传播到经典理论它来自：

第三条声明。在三维TFT是Dijkgraaf-Write理论的具体特例中，传播3函子实际上是量子化，实现为给定有限群上3函子在3向量空间中的值的某种典型共点（扮演路径积分的角色）。

收集必要的动机来拉大$n个$-我们在这里看到的量子理论的范畴图，我们将首先详细演示FRS处方是如何从一个三功能结构中产生的，在这个特殊情况下，我们将注意力局限于形式为磁盘.（因此我们在这里就走从箭头到磁盘.)

但在这种受限的设置中，我们通常讨论任意边界条件以及体积和边界插入。事实上，关键是所有这些结构都是从抽象的$n个$-函数的质量功能测试.

第一条线索：三函子的体场插入和变换

FRS形式主义中的体场插入结构是一条关键线索，它简单易懂，但对理解正在发生的事情很有帮助。

假设我们在局部观察一张世界表，其中“一个闭合的弦状态从无穷大进入”——批量字段插入。无论这真正意味着什么，按照FRS处方，我们将通过此类图表描述情况：

这里的平面表示我们正在查看的一块世界表表面。中间的矩形是插入大块字段的位置。

每个这样的体场都由手性代数的两种表示（“左右移动部分”）标记。它们在图中显示为垂直运行的两个色带。这些被认为是由简单对象上的（同一态射）标记的$$U型$$和$$五$$这些表示对应的模张量范畴。

通常，在曲面内部运行的水平带状线被称为缺陷线虽然这些对理解一般情况很重要（例如，它们对T二元性或T’Hooft运算符等二元性进行编码，例如出现在二维质量功能测试几何兰兰兹的描述)，让我们假设在我们的示例中，这表示所谓的微小缺陷在这种情况下，这条线本质上是我们对形势描述的产物，但本身并没有内在意义。尽管如此，FRS形式要求，无论我们想在哪里包含大容量字段插入，都必须存在这样的行。此外，它需要被标记，因此FRS食谱告诉我们，Frobenius代数对象告诉我们$$A类$$在给定的表示范畴内（满足一些额外的属性，称为“特殊性”、“对称性”，如果形式主义也适用于无方向的世界表，则可能满足这些属性，”扬德尔“ness）。

鉴于这些标签，我们必须进一步考虑这些对象$$音符A$$和$$注释V$$在模张量范畴中$A类$-具有明显作用的双模$A类$我们行动的地方$音符A$从左边开始编织$A类$ 在下面 $U型$当我们行动时$注释V$通过编织$A类$ 结束 $五$最后，图中央的优惠券将用morphsim标记$$\rho:U\音符A\至A\音符V$$模张量范畴是内部同态$A类$-双模块。

这是用于批量现场插入的FRS标签处方。对于边界条件和边界字段插入也存在类似的规定。

精确考虑这个处方的主要动机是：它有效。恰巧，当与FRS形式主义的其余部分结合时，可以证明这会产生一些正确描述的结构CFT公司具有批量插入的相关器。

但关于为什么？这部作品可能包含在下面的陈述中，我们现在转向：

线索#1。上面的带状图正是对应于3范畴中圆柱3-态射的庞加莱-对偶字符串图$\西格玛\mathrm{Bim}（C）$.

这三个类别$\西格玛\mathrm{Bim}（C）$是与任何编织单体类自然相关的3类：

-它只有一个对象

-对于内部的每个代数对象，它都有一个1-态射$C类$

-它有一个2-态射$A类$到$B类$对于每个$A类$-$B类$-双模块内部$C类$

-它对内部的每个双模同态都有一个3-态$C类$.

沿单个物体的合成是上的张量积$\mathrm{Bim}（C）$它继承了以下事实$C类$编织而成。沿1-态的合成是双模的普通张量积，沿3-态的合成就是双模同态的合成。

尽管$\西格玛\mathrm{Bim}（C）$这是一件很自然的事情，它可能看起来还是很难下咽。然而，事实证明$\西格玛\mathrm{Bim}（C）$实际上只被认为是规范的3类自同态一维三维向量空间：这是的单个对象$\西格玛\mathrm{Bim}（C）$，而其中的1-态射上有“线性算子”，等等。

因此，强烈建议不与内部双模块对话的读者思考以下问题$\西格玛\mathrm{Bim}（C）$作为点上的状态空间三维描述的3粒子TQFT公司–（即膜状颗粒，如质量功能测试第页，共页$n个$-粒子：扩展世界体积).

事实上，出于我们的目的，我们应该稍微过于简单化，并将我们的3类视为存在$$3\mathrm{Vect}:=\Sigma\mathrm{Bim}（C）\,,$$三向量空间的范畴。这只是对术语的轻微滥用，但与普通（非$n个$-（绝对精炼的）量子理论。

那么，我们应该考虑的是气缸在里面$3\数学｛Vect｝$对我们来说$n个$-类别是指$n个$-一个变换的态射$n个$-函子赋给$（n-1）$-给定域的态射$n个$-类别。

对于最初的几个$n个$，这样的圆柱体如下所示：

（这是摘自扩展质量功能测试和同调II：截面、状态、扭曲和全息)

这里有$n=3$因此是“真正的三维”圆柱体。

请注意，当这些圆柱体真正作为变换的组件出现时$$\eta:F_1至F_2$$属于$n个$-函子，其顶部和底部固定为某些2-态射在$n个$-函子$F类$和$G公司$分别是。这是因为他们需要在水平面上形成一个自然的“正方形”$n个$。对于$n=3$这个看起来像

（关于3-函子及其态射和高级态射的更多详细信息，请参见描绘3-函数的形态.)

就目前的目的而言，考虑在3-向量空间中具有值的3-函子的一个简单特例就足够了：我们可以假设它们受到以下事实的限制：向身份发送每个1-态射.

此类气缸位于$3\mathrm{Vect}$因此被标记为

-代数$A类$在左侧垂直缝上

-代数$B类$在右侧垂直接缝上

-一个$A类$-$B类$正面双模

-另一个$A类$-$B类$背面上的双模

-一个$我$-$我$双模$U型$在顶部

-和一个$我$-$我$双模$五$在底部。

在这里$我$表示张量单位$C类$，在其上配备了平凡的代数结构。因此$U型$和$五$只不过是$C类$！

这种形式的所有圆柱的集合本身就产生了一个有趣的2类。在中对其进行了更详细的描述

一维三向量空间
体场和诱导双模
一类3类扭双模.

采用圆柱体概念$3\mathrm{Vect}$因此，我们的线索1现在很容易检查：

庞加莱-对偶弦图

它描述了$3\mathrm{Vect}$正是FRS处方告诉我们与大容量字段插入相关联的图表类型：

我们认为这是第一个迹象

当被视为扩展传播2-函子时，二维理论实际上是作为一个转型三函子的。

一条主要线索：完整磁盘图

像上面讨论的那样，围绕单个批量插入的概念构建的最简单的自包含设置是，批量插入位于磁盘状的世界表上。

这需要指定某种类型的边界条件在磁盘边缘。FRS处方告诉我们通过选择对象来模拟此边界条件$N个$具有内部结构的模张量范畴$A类$-模块，用于$A类$上面已经出现的代数对象，标记了世界表中运行的丝带。然后我们考虑具有此对象的带状图$N个$绕着圆圈跑$A类$-线在它里面，并把它的末端连接到模块线上，在这些色带的交汇点上，它们被这些形态粘合在一起$C类$它编码的动作$A类$在$N个$.

更有趣的是，我们可以考虑两个“开弦状态来自无穷大”的情况，即我们有两个边界插入。无论这真正意味着什么，在FRS形式主义中，这是由

-选择两个（可能不同）$A类$-模块对象$N个$和$N’号$在里面$C类$，对这些开放字符串两端的边界条件进行编码

-两个边界场插入态射的选择$$\phi_1:N\音符A\至N'$$和$$\phi_2:N'音符A\至N\,,$$分别是。

那就不用单打了$N个$-绕着磁盘运行的线路$N个$和$N’号$各跑一个半圆。在这些线相交的地方，我们要用这些形态来粘合它们$\phi_1$和$\二氧化硫$.

因此，总而言之，FRS处方告诉我们将其与具有一个块和两个边界字段插入的磁盘状世界表关联的带状图如下所示：

值得注意的是，为了理解$n个$-分类的机制在这里起作用，在这一点上，记住身体的对这种情况的解释：

考虑具有两个边界插入的磁盘时$\phi_1$和$\二氧化硫$我们真正描述的是量子串（“2-粒子”，一种线性扩展的粒子）具有量子状态的情况$$|\phi_1\范围$$沿着它的路径传播，因此遭受了一些类型的转换&在这里，它合并或“发出”一个闭合字符串，将其转换为一种状态$$U|\phi_1\范围\,.$$最后，我们探讨了“概率幅度”$$\兰格\phi_2|U|\phi_1\rangle$$由于这种传播和相互作用，我们看到一个处于状态的字符串$\二氧化硫$奔向无限。

稍加思考就可以看出状态配对实际上是根据Hom函子建模的：

-出租$$Q:\mathrm｛par｝到n\mathrm｛Vect｝$$成为我们的延伸质量功能测试 $n个$-函子限制为$（n-1）$-分类的参数空间$\数学{par}$的$n个$-粒子我们正在描述的（详见质量功能测试第页，共页$n个$-粒子：扩展的世界体积)

-出租$$I:\mathrm{par}到n\mathrm}矢量}$$是所有这些的张量单位$n个$-函子。

然后

-一个状态是一个态射$$\φ：I至Q$$

-一个共有状态是一个态射$$\φ^*：Q至I$$

-（自由）传播子是一个态射$$U:Q\至Q\,.$$

因此，一对状态实际上是一个$（n-1）$-函子$$\马特姆{霍姆}\左(\阵列{我\\\；\；\向下箭头^{\phi_1}\\问}\; , \;\阵列{我\\\；\；\向上箭头^{\phi_2^*}\\问}\右侧）\；\；: \；\；\mathrm{End}（Q）\to\mathrm}End（I）\,.$$

值得注意的是，事实证明$n个$-绝对形式主义知道边界条件对于扩展对象，即$n个$-带有的粒子$n\gt 1$以下为：

对于$n=1$，的对象$\数学{End}（I）$只是复数。但为了$n\gt 1$，人们看到里面有复数$\数学{End}（I）$，但那个$\数学{End}（I）$相当大。

因此，相关器是从$（n\gt 1）$-仅粒子在我们选择一个$我$-轻视属于$\mathrm｛Hom｝（\phi_1，\phi_2^*）：\mathrm｛End｝（Q）\到\mathrm｛End｝（I）$,对于$$i:\Sigma^{（n-1）}\mathbb{C}\hookrightarrow\mathrm{End}（i）$$基态场在平凡扩张自同态中的正则包含$n个$-维度的质量功能测试，因此是态射$$\阵列{\mathrm{End}（Q）&\stackrel{=}{\到}&\mathrm{End}（Q）\\{}^{\mathrm{Cor}（\phi_1，\phi_2）}\向下箭头\；\；&\向下箭头^{b}&\;\;\;\向下箭头{}^{\mathrm{Hom}（\phi_1，\phi_2）}\\\西格玛^{n-1}\mathbb{C}&\stackrel｛i｝｛\hookrightarrow｝&\数学{End}（I）}\,.$$

事实证明同态的选择$b条$下面是边界条件的编码.

由于这些边界条件众所周知$n=2$，作为“D-膜”，并且由于态射$b条$在这种情况下，作为2-函子的变换，由2-交换图给出，称为锡罐图，口号是我们获得锡罐的D膜。这是在年开发的

锡罐D-Branes：圆盘的箭头理论
锡罐D-Branes，第二部分
锡罐D-Branes，第三部分：铁杆

与我们的目的相关的是，这意味着三粒子的两个状态的配对：

两个状态的配对与编码相关器的相应变换之间的关系由以下形式的图给出

在左边出现的两个圆柱体被认为是我们的三粒子的两个3态，右边的圆柱体是编码其相关器实际值的圆柱体，而楔形块是来自于名为$b条$以上。

（关于3函子的此类操作的更多信息，请参见描绘3-函数的形态.)

对右侧圆柱体进行求解表明，这是由以下形式的表达式给出的

这表明$3\mathrm{Vect}$我们延长了质量功能测试分配给磁盘的内容如下：

正如这表明的那样，描述膜状态配对的3态的庞加莱对偶弦图再现了2粒子相关器的FRS修饰处方。

更准确地说，要把这变成一个定义明确的陈述，首先需要局部地使琐碎关于正则包含的2-函子$$\西格玛C\hookrightarrow\mathrm{Bim}（C）$$模张量范畴在其内部的双模范畴中。要求存在这样一种局部琐碎化恰恰编码了这样一种需求

这里出现的代数必须是特殊的Frobenius代数。

特殊的Frobenius代数来自特殊的双元附加函数，它们允许2-函子的局部平凡化（参见这了解更多信息）。

FRS形式主义中出现的许多结构实际上可以与描述中出现的类似结构进行比较地面运输在里面2束带连接，通过遵循立方体的第一条边原因是，我们声称，在这两种情况下，我们都在处理$n个$-函子及其局部平凡化：在一个案例中，这些$n个$-函子描述了“经典传播”，即在$n个$-与连接捆绑，在另一种情况下，它们编码量子传播。

一旦人们意识到gerbes（2-束）的局部下降数据也由Frobenius代数控制，或者更确切地说是由“Frobeniusmonoidoids”控制，这种相似性就变得更加明显，只是这些恰好有可逆乘积运算，这使得Frobenious性质变得很难注意到。（有关此方面的备注，请参阅具有可逆积的Frobenius代数体.)

关于（诱导）双模中具有值的2-函子的局部平凡化和局部描述的更多细节，请参见来自2-Transport的FRS形式主义.

这里讨论的所有2-态必须视为我们到目前为止讨论过的柱状3-态的二维横截面。这就解释了为什么它们包含由物体张量引起的双模，以及使用过编织或欠编织的双模。

通过切换到这个二维符号，计算出局部平凡化，然后最后从球状图传递到字符串图，最后从上面的3态射生成以下平面图

这是FRS磁盘图。与第4.3节相比

Fuchs、Runkel、SchweigertTFT结构RCFT公司相关器IV：结构常数和相关函数.