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2007年2月7日

范畴论概率论

由David Corfield发布

已经注意到（例如。，在这里和在这里)我在日常工作（统计学习理论）中所做的与我的爱好有很大关系（这里讨论的事情），我应该从范畴理论的角度来思考概率论。Prakash Panangaden在概率关系.

类别SRel（随机关系）作为对象集配备有σ\西格玛-字段。形态是条件概率密度或随机核。所以，来自(X,∑ X)（X，\Sigma_X）到(Y（Y）,∑ Y（Y）)（Y，\Sigma_Y）是一个函数小时:X×∑ Y（Y）→[0,1]h： X\倍\Sigma_Y\到[0，1]这样的话

  1. ∀B类∈∑ Y（Y）.λx个∈X.小时(x个,B类)\对于所有B\in\Sigma_Y。\λx\在x中。h（x，B）是有界可测函数，
  2. ∀x个∈X.λB类∈∑ Y（Y）.小时(x个,B类)\对于x中的所有x\。\λB\in\Sigma_Y。h（x，B）是上的子能力度量∑ Y（Y）\西格玛_Y.

如果k个k个是来自的态射Y（Y）Y（Y）到Z轴Z轴，然后k个⋅小时k\cdot小时从XX到Z轴Z轴定义为(k个⋅小时)(x个,C)=∫ Y（Y）k个(年,C)小时(x个,d日年)（k\cdot h）（x，C）=\int_Y k（Y，C）h（x，d Y）.

显然，这是基于米歇尔·吉里（Michele Giry）的工作，而后者又基于劳弗尔（Lawvere）早期的工作。该定义与Giry在第二条中的定义不同，第二条允许使用子可能性测度，而不是普通概率测度。

帕南加登指出，与从幂集函子构建关系范畴的方式非常相似的东西正处于危险之中。正如关系范畴是集范畴上幂集函子的Kleisli范畴一样，SRel是可测空间和发送可测空间的可测函数范畴上函子的克莱斯利范畴，XX，到上的子能力测度的可测空间XX这个函子产生一个单子。

现在我想知道

  1. 从概率测度到子可能性测度的转变有什么好处？
  2. 如何将这项工作与这样一个事实联系起来：有一种自然的度量选择，可以用它给概率分布空间和条件分布空间赋予黎曼几何（见第6节，第39页这).
发布于2007年2月7日上午11:50 UTC

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15条评论和4条反馈

主题：范畴理论概率论

你能告诉我们什么是子能力度量吗？帕南加登的论文中似乎没有提到这一点。

此外，你可能想看看Alex Simpson非常有趣的谈话笔记，概率观测和估值.

发布人：汤姆·伦斯特2007年2月7日下午3:58|永久链接|对此的答复

主题：范畴理论概率论

空间上的子可能性度量允许在整个空间上取小于或等于1的值。

我不知道他们为什么要这样做，而不是Giry最初的结构。一个动机似乎是从XX到副产品X+Y（Y）X+Y然后你可以迭代形成一个过程，看看你最终在Y中的什么地方结束。这与正在跟踪的SRel有关。

不过，我不知道是否有严格的概率原因。也许值得检查Giry版本的对偶是什么，以对应SRel和他们所称的随机谓词转换之间的对偶。

关于范畴和黎曼结构的丰富，可以说什么？

谢谢你的链接。

发布人：大卫·科菲尔德2007年2月7日下午4:23|永久链接|对此的答复

主题：范畴理论概率论

上面有一个单子度量空间,1+−1 + -：网格→\至网格。关于的概率测度1+X1+X是上的子能力度量XXPanangaden的单子是Giry和1+−1 + -.

我想，为了回答我自己的问题，Giry的monad的Kleisli类别的反义词是形态X→Y（Y）X到Y，上有界函数的线性映射XX到上的有界函数Y（Y）Y（Y），发送特征函数XX到上的特征函数Y（Y）Y（Y）.

发布人：大卫·科菲尔德2007年2月8日下午1:05|永久链接|对此的答复

主题：范畴理论概率论

大卫·芒福德（是的，那个）有一个有趣的论文关于使用概率度量而不是集合重新定义数学的问题。（专家们肯定会抱怨我在那里的措辞；自己看看这篇文章。）显然，它解决了连续统假设和选择公理。

我已经有一段时间没读了，但我不记得它是特别明确的。

发布人：Allen Knutson于2007年2月7日下午4:08|永久链接|对此的答复

主题：范畴理论概率论

另一种，IMHO更具前景的基础方法是Girard的，他表明集合是一级，范畴是二级，算子代数是三级，即最后一级。请参见
http://iml.univ-mrs.fr/~girard/truth.pdf

http://iml.univ-mrs.fr/~吉拉德/库尔桑/库尔桑.html

发布人：Ricatego于2007年2月8日下午12:23|永久链接|对此的答复

主题：范畴理论概率论

另一种，IMHO更具前景的基础方法是Girard的，他表明集合是一级，范畴是二级，算子代数是三级，即最后一级。

这很有趣！但我们为什么要指望就此止步呢？吉拉德的三级水平是两级的，已经有很多东西要学了。但最终我们会走得更远；最终，数学的基础应该是明确的∞范畴。

当然，这个方向是相反的对于基金会的一般概念（这就是Girard使用负数的原因），但这是我们现在需要理解的。

发布人：托比·巴特尔斯2007年2月9日上午5:30|永久链接|对此的答复

主题：范畴理论概率论

另一种，也是IMHO更有希望的，基金会的方法是Girard的#他指出集合是一级的，范畴是二级的，算子代数是三级的，最后一级。

这很有趣！但我们为什么要指望就此止步呢？吉拉德的-3级是双类别的，[…]

啊！这有助于我理解前一句话。

那么吉拉德在谈论（算子）代数的双范畴？对象代数、态射、代数态射（或者更一般的双模）和2-态射——明显的2-态射？

（我确实简要地看了一下第一个链接那个Ricatego假如，但没有看到讨论过任何算子代数。）

发布人：乌尔2007年2月9日上午9:30|永久链接|对此的答复

主题：范畴理论概率论

（我确实简要地看了一下Ricatego提供的第一个链接，但没有看到讨论过任何算子代数。）

我也没有在第二个链接中讨论它们。（这里的问题是，第一个链接太简短，第二个链接太完整。我们需要一个正好合适的第三个链接！）我认为对“算子代数”的引用只是一个模糊的概念，任何实际的连接都有点复杂（算子代数-C*代数-希尔伯特空间-量子逻辑-线性逻辑-第3级）。

Girard推广线性逻辑。所以他说：*第1级：经典逻辑；*二级：直觉逻辑；*第3级：线性逻辑。

这些模型包括：*一级：布尔代数；*二级：笛卡尔闭范畴；*第三级：线性双类别。

当然，布尔代数是简单的结构集，这就是为什么Girard的能级是：*1级：套；*级别-2：类别；*3级：双类别。

（我这么说，尽管吉拉德自己似乎发现两类模型对线性逻辑用处不大，不像CCC，CCC是他在讨论直觉主义逻辑时经常使用的。）

我不知道接下来会发生什么-吉拉德显然认为线性逻辑是一种克服全部的经典逻辑和直觉主义逻辑的不足，因此他指出不级别低于-3，但我确信我们最终会想要它。

发布人：托比·巴特尔斯2007年2月12日凌晨3:13|永久链接|对此的答复

主题：范畴理论概率论

我（部分）写道：

[线性逻辑]的模型是[…]两类。

参考文献（我尚未阅读）：http://www.math.mcgill.ca/rags/bicats/bicat。*.

发布人：托比·巴特尔斯2007年2月12日凌晨3:21|永久链接|对此的答复

主题：范畴理论概率论

我想我听说芒福德在伯克利做了一个关于这个的演讲。他指的是克里斯·弗雷林1986年关于CH和飞镖的论文。CH的否定等同于他的公理：ℝ\mathbb{R}到的可数子集ℝ\mathbb{R}，存在x个x个和年年这样的话x个¬∈（f）(年)f（y）中的x和年¬∈（f）(x个)f（x）中的y他通过概率直觉激发了这一公理，即如果我们选择x个x个和年年然后是随机独立的x个x个概率为0（f）(年)f（y）和年年概率为0（f）(x个)f（x）他用类似的动作来激发公理，要求连续统至少是ℵ ω\阿列夫·欧米茄.

我认为集合理论家基本上同意他的结论，但认为弗雷林的动机不如其他许多动机好。

诚然，我不知道芒福德是如何把弗雷林的东西放在这里的。

发布人：肯尼·伊斯瓦兰2007年2月13日11:42 PM|永久链接|对此的答复

关于：范畴论概率论

更多链接：

概率不确定性的度量单数弗兰克·范·布鲁格尔（Franck van Breugel）的作品，我们在那里看到了劳弗尔/吉里·莫纳德（Lawvere/Giry monad）和帕南加登（Panangaden）的莫纳德（monad）。

Giry Monad的Kleisli形态和随机同余作者：E.-E Doberkat

发布人：大卫·科菲尔德2007年2月7日下午5:04|永久链接|对此的答复

主题：范畴理论概率论

对于CS的人来说，Avi Pfeffer和Norman Ramsey在他们的随机lambda演算纸张。Pfeffer有一个基于微积分的成熟概率建模语言IBAL。

Martin Erwig在他的概率函数规划项目（哈斯克尔）。我喜欢Erwig的实现的地方是，您可以对模型进行相同的一元描述，并在两个不同的语义上下文中使用它，一个对应于直接贝叶斯更新，另一个对应于采样。

这种程度的重用在统计软件中很少见，这让我想起了约翰·朗福德（John Langford）在他的博客中提出的一个观点，即贝叶斯主义，被视为逻辑的延伸，自然而然地从统计设置插入到纯软件工程/计算机编程。当我第一次读到这篇文章的时候，这一点对我来说似乎非常深刻——也许不是绝对深刻，但对我来说已经足够了！

发布人：Allan E，2007年2月8日，上午5:19|永久链接|对此的答复

主题：范畴理论概率论

不幸的是，我在这方面的数学知识远远不够，但我确信其中有一些东西。

以下是相关的旧参考：

统计同构。
诺曼·莫尔斯。理查德·萨克斯特德（Richard Sacksteder）。《数理统计年鉴》，第37卷，第1期，203-214。1966年2月。

我自己在以下方面建立了这个（以及Le Cam的相关工作）：
Dawid，A.P.（1980）。统计操作的条件独立性。安。统计师。8, 598–617.

另一项重要的书籍长度工作是：

统计决策规则和优化推理。N.N.采恩科夫（Chentsov）。
阿默尔。数学。Soc.（1982）（译自俄语：1972年-莫斯科瑙卡）。

特别是Chentsov从范畴论的角度发展了信息几何。

发布人：菲利普·达维德2007年2月11日下午6:02|永久链接|对此的答复
阅读帖子范畴论概率论II
网络日志：n类咖啡馆
摘录：受到像菲尔·达维德这样杰出的统计学家评论的鼓舞，我将继续讨论范畴理论对概率论的看法。回想一下，我们正在考虑一个关于可测空间范畴的单子，Meas。。。。
已跟踪：2007年2月13日下午6:58
阅读帖子机器学习中的范畴理论
网络日志：n类咖啡馆
摘录：范畴理论在机器学习中有前途吗？
已跟踪：2007年9月5日下午4:04
阅读帖子范畴局限性的Girard
网络日志：n类咖啡馆
摘录：类别Girard
已跟踪：2008年7月23日上午9:55
阅读帖子余代数模态逻辑
网络日志：n类咖啡馆
摘录：将模态逻辑和余代数的思想与建模一阶理论的方法结合起来。
已跟踪：2009年9月7日12:52 PM

主题：范畴理论概率论

那些读到这个话题的人可能也会感兴趣：N.N.Cencov。统计决策规则和最佳推断。数学专著的翻译。第53卷。美国数学学会。1982

Cencov的“统计决策类别”与Giry（Lawvere）的类别一致。我有一种感觉，尽管几年后，Cencov独立于Lawvere发现了这个类别。

发布人：拉尔夫·沃伊托维奇2009年12月23日4:04 AM|永久链接|对此的答复

主题：范畴理论概率论

阅读本主题的人可能感兴趣：N.N.Cencov。统计决策规则和最佳推断。数学专著的翻译。第53卷。美国数学学会。1982

Cencov的“统计决策类别”与Giry和Lawvere的类别一致。我相信Cencov是在Lawvere之后多年独立发现的。

发布人：拉尔夫·沃伊托维茨2009年12月23日4:10 AM|永久链接|对此的答复

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