扁平部分和扭曲的Groupoid代表| n类咖啡馆

扁平部分和扭曲的Groupoid代表

Urs Schreiber发布

$支持MathML的帖子（单击以获取更多详细信息）。$

明天，西蒙·威勒顿将访问汉堡，就拓扑场论与Gerbes我早就想谈谈他关于这个主题的最后一篇论文，即

西蒙·威勒顿
通过gerbes和有限群胚得到有限群的扭曲Drinfeld双元
数学。质量保证/0503266

虽然本文的动机是为了理解一个特定的群代数，“双Drinfeld“，它实际上是通过将问题嵌入到一个更大的背景中来实现的，即拓扑场理论的范畴描述，尤其是Dijkgraaf-书面理论.

在勾勒出拓扑场论的概貌之后，它是迈克尔·霍普金斯（Michael Hopkins）的大图景的有限模拟（有限群意义上的有限而不是李群和有限群胚而不是拓扑空间）绘制草图对于Chern-Simons理论，本文展示了通过这种方式获得的明显不同主题之间的一些有趣的交叉关系。

特别是，这将是我在这里集中讨论的方面，西蒙·威勒顿提出了一个观点，即人们应该考虑有限群胚的表示扭曲的通过广群2-余循环，如平截面在广群体上具有平坦连接的gerbe。

下面，我将简要回顾本文的一些相关方面。然后，我想提出一种方法，按照我最近谈到的一般思路，以箭头理论的方式来理解这些剖面空间#在分类量子力学的背景下。

我的观察是

平面部分的空间 $第页$ -点” $n个$ -捆( $（n-1）$ -gerbe）与空间上的连接 $X（X）$ 是自然变化的空间 $e（电子）$

(1)

\阵列{&\nearrow\searrow^{\mathrm附近{Id}_{1*}}\\[d^p，p_.（X）]&e\向下箭头\；&[d^p，n\mathrm{Vect}]\\&\serrow\nearrow_｛\mathrm{tra}_*}}\,,

哪里 $天^p$ 是 $第页$ -粒子和 $\数学{tra}$ 传输函子#的 $n个$ -束，如上所述在这里.

我声称对于公寓的特殊情况 $（n=1）$ -和 $（n=2）$ -带连接的束——这再现了西蒙·威勒顿在上述论文第2.2节和第2.3节中讨论的扭曲广群表示。

$支持MathML的帖子（单击以获取更多详细信息）。$

就目前而言，我们感兴趣的是 $n个$ -平凡上的联系 $n个$ -捆绑包。这意味着我们可以选择域路径类别为

(1)

P_。（十） ：=\Pi（X）

的基本广群 $X（X）$ ，基于中选择的几个点 $X（X）$ ，每个连接的组件至少有一个。（所有选择都将导致等效群胚。）

安 $n个$ -上的连接平的 $n个$ -捆绑在一起 $X（X）$ 则为伪函子

(2)

\数学{tra}:P_。（十） \至T\,,

哪里 $T型$ 是一些密码子 $n个$ -类别。（等效地，我们可以转向 $P_。（X）$ 到 $n个$ -通过填充更高的单纯形并查看适当的 $n个$ -函子。）

在本例中，共结构域 $T型$ 只会是

(3)

T=西格玛^n（U（1））\,,

这个 $n个$ -组的折叠悬挂 $U（1）$ 。这已经 $U（1）$ -价值 $n个$ -其他一切都是琐碎的形态。所以这描述了平面原理 $\西格玛^n（U（1））$ - $n个$ -捆( $（n-1）$ -gerbes）上 $X（X）$ .

利用伪函子的性质，现在很容易看出 $n个$ -函子 $\数学{tra}$ 只不过是一个广群 $n个$ -自行车在 $\圆周率（X）$ 。我们最近讨论过这个问题在这里这是一个特殊的案例 $第页$ -值为的函子 $\西格玛^p（U（1））$ 是微分的推广 $第页$ -表格#.

广群循环的定义与群循环类似。例如有限群上的群3-余循环 $G公司$ 支配着Dijkgraaf-书面理论。自 $G=\Pi_1（B G）$ 我们可以，从上面的观点来看，把这样一个3循环看作 $G公司$ 作为连接打开的扁平2 gerbe $B G公司$ .这正是2档 $B G公司$ 凯里·约翰逊-穆雷·施特文森-旺（Carey-Johnson-Murray-Stevenson-Wang）在转型方面构建了什么丛生gerbes，如前所述在这里.

让我们试着说部分尤其是平截面的 $n个$ -带有连接的bundle是用这种语言编写的。

首先，为了了解正在发生的事情，考虑一下熟悉的案例 $n=1$ .

自从我们 $（n=1）$ - $U（1）$ -束是平的，它是平凡的，我们可以假设它实际上是平凡的。那么，如果我们考虑相关的复杂线束，每根光纤都是 $\mathbb{C}$ .

因此，剖面就是一幅地图

（4）

e:\mathrm{Obj}（P_.（X））\to\mathbb{C}

为中的每个点指定一个复数 $P_。（十）$ .

该部分是平的（协变常数）如果是任意两点 $x个$ 和 $年$ 通过同态连接 $x\stackrel{\gamma}{\to}y$ 价值超过 $年$ 和上面的一样 $x个$ 平行运输 $\伽马射线$ :

(5)

e（y）=\mathrm{tra}（\gamma）（e_x）\,.

（为了方便起见，我没有在符号上区分主要运输工具 $\数学{tra}$ 及其相关的矢量传输 $\rho_*\mathrm{tra}$ 由标准代表诱导 $\rho:\Sigma（U（1））\to\mathrm{Vect}$ ).

我们可以用更自然的方式说：表示为

(6)

\马特姆{Id}_\mathbb{C}:P_。（十） \检查

常数函子将每个对象发送到 $\mathbb{C}$ 以及同一态射的每个态射。那么平截面正是一种自然变换

(7)

\阵列{&\nearrow\searrow^{\mathrm附近{Id}_{1}}\\P_。（十） &e \向下箭头\；&\数学｛Vect｝\\&\searrow\nearrow_{\mathrm{tra}}}\,,

这是因为相应的自然方块显示

(8)

\阵列{\mathbb｛C｝和\stackrel｛\mathrm｛Id｝｝｛\to｝和\mathbb｛C｝\\e_x\向下箭头\；\；&&\;\,\向下箭头e_y\\\mathbb{C}&\stackrel{\mathrm{tra}（\gamma）}{\to}&\mathbb{C}}

为所有人 $\γ\in\mathrm{Mor}（P_（X））$ .

（更广泛地说，我们也希望以这种方式理解非平坦部分。这就要求我们从共域开始 $T型$ 到密码子 $\马特姆酒店（T）$ 这样，这些自然性正方形就可以填充一些东西，即截面的协变导数#.)

有点反省#表明我们真的想 $P_。（十）$ 不是物理学家所说的目标空间，而是他们所说的配置空间。在这种情况下 $p=1$ 它是单粒子的构型空间

(9)

d^1:=\{\bullet\}

巧合的是，目标空间 $P_。（十）$ 和配置空间 $\mathrm{Hom}（d^1，P_.（X））$ 恰好重合：

（10）

\mathrm{Hom}（d^1，P_.（X））\simeq P_。（十）\,.

但这不再适用于 $第1页$ 因此，我们可能想通过说平截面是一种自然变换来等效地重新表述上述内容

(11)

\阵列{&\nearrow\searrow^{\mathrm附近{Id}_{1*}}\\[d^p，p_.（X）]&e\向下箭头\；&[d^p，\mathrm｛Vect｝]\\&\searrow\nearrow_{\mathrm{tra}_*}}\,,

现在转到 $n=2$ Simon Willerton给出了他想在公寓的一部分下理解什么的几个定义 $U（1）$ -gerbe定义为上的广群2-cocycle $P_。（十）$ 在他的论文的第17页和后面，表明它们都是等价的。

一个定义是这样的：与2-循环相关联的扁平部分 $\陶$ 关于广群 $P_。（X）$ 是对以下对象的向量空间赋值 $P_。（十）$ 线性映射的和

(12)

F（x）\stackrel{F（\gamma）}{\ to}F（y）

在这些之间，这样对于所有可组合的 $\伽马射线$ 和 $\伽马射线'$ 我们有

(13)

F（\gamma）\circ F（\gamma'）=\tau（\gamma，\gamma'）F（\gama\circ\gamma`）\,.

每当你看到这样一个明显扭曲的函子时，很可能你实际上看到的是2-函子之间的伪自然变换。

彼此彼此：

根据给出的论点在这里，线2-束（线束gerbe）上的连接是局部的2-函子，其值在双模中将所有点发送到 $\mathbb{C}$ -代数 $\mathbb{C}$ （表示2向量空间 $\马特姆{模式}_\mathbb{C}=\mathrm{Vect}$ )，将所有形态发送到 $\mathbb{C}$ ，视为 $\mathbb{C}$ - $\mathbb{C}$ -双模，并最终将2-态射（此处：由成对可组合态射跨越的三角形）发送到的元素 $U（1）$ （被认为是双模同态）。

在目前的上下文中，这意味着我们应该考虑广群2-余循环 $\陶$ 在 $P_。（十）$ 定义一个伪函子，其非平凡合成器为

(14)

\数学{tra}\；\；：\；\；\阵列{&年&\\{}^\gamma\nearrow&\Downarrow＆\searrow^{\gamma'}\\x&&stackrel｛\gamma’\circ\gamma｝｛\to｝&z}\;\;\;\地图\;\;\;\阵列{&\mathbb{C}&\\{}^\mathbb{C}\nearrow&\；\向下箭头\tau（\gamma，\gamma'）&\searrow^{\mathbb{C}}\\\mathbb{C}和\stackrel}\,.

尽管我们传输上的平坦条件使得大多数事情都变得很琐碎，但重要的是，上面的内容确实被视为取双模中的值

(15)

T=\mathrm{Bim}（\mathrm{Vect}）\subset{}_\mathrm2{Vect{}\mathrm3{Mod}\,,

因为这会影响伪自然变换的性质

(16)

\阵列{&\nearrow\searrow^{\mathrm附近{Id}_{\mathbb{C}*}}\\[d^1，P_.（X）]&e\向下箭头\；&[d^1，\mathrm{Bim}]\\&\searrow\nearrow_{\mathrm{tra}_*}}\,.

在这里 $日期^2$ 是2粒子（“开弦”），即类别

(17)

d^2=从a到b

有两个对象和一个非平凡的态射。因此， $[d^2，P_.（X）]$ 是这个2粒子的构型空间 $[d^2，\mathrm{Bim}]$ 它的相空间。

根据一般推理#，我们想解决这样一个 $e（电子）$ 作为具有连接的扁平2束的协变常数截面 $\数学{tra}$ .

这个概念与西蒙·威勒顿的定义一致吗？

为了回答这个问题，我们需要在 $\马特姆{比姆}$ 它定义了上述伪自然变换。上面写着

(18)

\阵列{&\mathbb{C}&\\{}^\mathbb{C}\nearrow&\；\向下箭头1&\searrow^{\mathbb{C}}\\\mathbb{C}和\stackrel\\e_x\向下箭头\；\&e（\gamma'\circ\gamma）&\；\，\向下箭头e_z\\\mathbb｛C｝和\stackrel｛\mathbb｛C｝｝｛\to｝和\mathbb｛C｝}\；\；=\；\；\阵列{&\mathbb{C}\\{}^{\mathbb{C}}\nearrow&e_y\向下箭头\；&\searrow^{\mathbb{C}}\\e_x\向下箭头\；\；{}^{\向下箭头e（\gamma）}&\mathbb{C}&{}^}\向下箭头e（\gama'）}\；\向下箭头e_z\\{}^\mathbb{C}\nearrow&\；\向下箭头\tau（\gamma，\gamma'）&\serrow^｛\mathbb｛C｝｝\\\mathbb{C}和\stackrel}\,,

对于所有可合成的 $\伽马射线$ , $\伽马射线'$ .

注意，由于此图位于 $\马特姆{比姆}$ ，所有 $（_x）$ , $（_y）$ 等必须是 $\mathbb{C}$ -双模（即向量空间）和所有 $e（伽玛射线）$ , $e（\gamma'）$ 必须是的形态 $\mathbb{C}$ -双模-因此向量空间之间的线性映射。

所以我们发现一个伪自然变换 $e（电子）$ 这与西蒙·威勒顿（Simon Willerton）论文中的扭曲群表示完全相同。

gerbes的研究者会注意到，上面的情况与研究gerbes模块和琐事时遇到的情况非常相似。具有连接的gerbe可以被具有连接的向量束简化 $\纳布拉$ ，这样弯曲 $B类$ gerbe的曲率等于 $F_\纳布拉$ 作为束的

（19）

B=F_\纳布拉\,,

大致如此。这个方程不过是扭曲广群rep条件的无穷小版本

(20)

F（\gamma）\circ F（\gamma'）=\tau（\gamma，\gamma'）F（\gama\circ\gamma`）\,.

当然，所有这些都与报纸上广告的总体情况完全一致。除此之外，我在这里要补充的是观察到，一般来说 $n个$ -带连接的束是似乎成为：

位于 $第页$ -一个点 $n个$ -带连接的束是2-态射

(21)

\阵列{&\nearrow\searrow^{\mathrm附近{Id}_{1*}}\\[d^p，p_.（X）]&e\向下箭头\；&[d^p，n\mathrm{Vect}]\\&\searrow\nearrow_{\mathrm{tra}_*}}\,,

发布于2006年11月8日下午9:53 UTC

此条目的TrackBack URL:https://golem.ph.utexas.edu/cgi-bin/MT-3.0/dxy-tb.fcgi/1026

部分

我和西蒙·威勒顿（Simon Willerton）和布鲁斯·巴特利特（Bruce Bartlett）在幕后就这件事进行了很好的讨论。

我从这些交流中获得的一个见解是，以下可能是使 $n个$ -我在这里建议的向量束与连接看起来更自然。

所以让我们 $P（P）$ 成为某个领域类别并让 $n\mathrm{Vect}$ 成为你最喜欢的版本 $n个$ -类别 $n个$ -向量空间。

无论如何，它应该有一个单体结构。

但这也意味着( $n个$ -)函子( $n个$ -)类别

[P，n\mathrm{Vect}]

是单体的。

特别是张量单位

1英寸[P，n\mathrm{Vect}]

是我所说的常数函子，它把所有的东西都发送到张量单元上的恒等式 $n\mathrm{Vect}$ .

但我所说的只是一段

\mathrm｛tra｝\在[P，n\mathrm｛Vect｝]中

是一个态射

1\to\mathrm{tra}\,.

这很自然。

因此，“（平面）截面的空间”为

[1，\mathrm{tra}]\,.

发布人：urs公司2006年11月9日下午5:59|永久链接|对此的答复

n类咖啡馆

跳到主要内容

2006年11月8日