n类咖啡馆

我会按照我记笔记的方式，或多或少逐字复制。在这里和那里，我都会添加一些用斜体表示的个人评论。

拓扑场论的拓扑方面。

拓扑场理论可能是由对不变量的兴趣引起的$Z（M）$歧管的$M（M）$.

在这个赋值的左边，我们有一个光滑的流形，可能配备了一些额外的结构，而在右边，我们有一些“代数实体”。

在“古典的“不变量，人们会要求$Z轴$是流形不相交并集下的可加性

它消失在边界上

(由于对与直接产品的兼容性有附加要求，因此定义了一个属)

最后一个条件，再加上第一个条件，就是调用的理由$Z轴$不变量：假设$M（M）$有两个断开连接的边界组件，

换句话说，假设$M（M）$是一个合作主义之间$我$和$J^公司-$然后上面说

（这里我想到的是定向流形，表示方向反转$（\cdot）^-$).

这说明了$Z轴$是坐标系下的不变量.

20世纪30年代，庞特里亚金（Pontryagin）显然是第一个讨论配体不变量概念的人。在试图计算更高球体的同伦群时，他考虑了从球体到球体的映射，特别是这些映射下规则点的反像。

特别是，为了我们的目的，很容易想到一个坐标系$M（M）$带有传入边界$我$和传出边界$J型$配备区间地图

这样的话$f^{-1}（\{0\}）=我$和$f^{-1}（\{1\}）=J$.

安例子对于这样的不变量签名不变量

分配给每个歧管的$M（M）$签名$\西格玛（M）$双线性形式

关于由定义的实上同调环

值得注意的是，我们可以将此签名作为积分计算

当地数量$长（米）$定义于$M（M）$即切线丛的一个特征类$T月$。这是由于Hirzebruch签名定理.

上述形式的每一个“经典”不变量都有这样一个局部积分版本，即任何无序协边$Z（M）$可以写为

其中积分表示某些广义上同调理论中的前推$E类$和$长（米）$表示$E类$-切线丛的有值特征类$M（M）$.

迈克尔·霍普金斯针对这种情况提出的口号是

的经典协边不变量$M（M）$通过将局部线性近似积分到$M（M）$.

我们现在的目标是将这些“经典”不变量转化为相应的量子不变量。

就像经典的配边不变量本质上是一个亏格一样，量子不变量只不过是一个拓扑场论。

也就是说，对于一个量子不变量，我们用一个单体函子将从配基环到某个数环的环同态从流形的单体范畴替换为单体目标范畴。

这意味着上面的两个方程现在被形态替换了

和

在这里$1$表示目标类别的张量单位。重要的是，上面的第一个态射必须是一个同构，而第二个则不是。

在下面的大部分内容中（无论如何，在本课程第一部分的其余部分中），单体目标范畴只是某个域上有限维向量空间的目标范畴。

接下来，迈克尔·霍普金斯给出了两个简单的例子$(0+1)$-维度TFT，一个来自定向一维流形（产生定向点的“量子协同不变量”），另一个来自具有自旋结构的一维流形。

也许如果我以后有时间，我会更详细地解释这两个例子。至多有一个问题稍后会变得很重要（与霍普金斯所说的翻转贴图)，它们说明了TFT的基本要点。

现在，我将跳过这些例子，跳到第一堂课的结尾部分，它对TFT的更复杂概念进行了展望(通常称为“扩展”TFT).

在这种更复杂的方法中，人们想象的不仅仅是将向量空间分配给边界，将线性映射分配给共基，而是更普遍地分配，$n个$-向量空间到$（d-n）$-维子流形（大致），其中$d日$是涉及的最高维度。

(第一个提出这张照片显然是Dan Freed)

例如，对于三维TFT(显然这就是所谓的方法三层理论由(?)G.西格尔)，我们不仅将线性映射赋给3流形，将向量空间赋给2流形，还将模张量范畴赋给1流形。

这可以在中找到巴卡洛夫和基里洛夫类似的评论可以在第二部分找到Stolz&Teichner公司.

在最后一张幻灯片上，迈克尔·霍普金斯表示，他已经在考虑（显然将在接下来的讲座中部分解释）一张更详细的Chern-Simons图片$(2+1)$-包括下表所示信息的三维TFT：

这里的一些问号可能已经部分理解了。但就我们而言，它们是问号。

从该表第二列到第三列的步骤应该与某种神经实现或类似实现有关，它允许从类别到关联的拓扑空间。

迈克尔·霍普金斯（Michael Hopkins）承诺，到最后一篇专栏的步骤将在稍后解释。