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2006年10月18日

澳大利亚范畴理论

John Baez发布

澳大利亚人在更高范畴理论方面的非凡才能享誉世界。他们远远领先于我们。如果你不知道我在说什么，请阅读以下内容：

例如，看看第4页的有趣故事，一位澳大利亚学生问他是否知道拓扑空间的定义，回答正确但令人费解：

是的，它是一个关系β-模块！

所以，我们其余的人应该注意他们到底在干什么。因此，我计划偶尔对这篇文章发表评论，宣布在澳大利亚类别研讨会上的会谈。我不会过分系统化，所以我提前为我忘记宣布的每个人的谈话道歉。

你可以在博客右侧的“最近的评论”下轻松找到新的评论。我们进行了大量冗长的讨论，因此这是一个方便的功能。

  • 多雷特·普龙克2006年10月11日，星期三，分数II的两类。

    摘要：1967年，加布里埃尔和齐斯曼引入了一类箭头所需的条件，以允许分数计算。如果有一个类别C类C类和一个班级W公司W公司对于满足这些条件的弱等价，分数的同构范畴中的箭头C类[W公司 −1]C[W^{-1}]可以描述为左腿所在的跨距W公司W公司。此类别是从中获得的通用类别C类C类通过反转中的箭头W公司W公司.

    在本次演讲中，我将讨论这一点的双范畴推广：我将讨论分数双演算所需的条件，并明确描述C类[W公司 −1]C[W^{-1}]，通过将W中的箭头转化为等价项而获得的自由双范畴。本次演讲基于我的论文在1996年的《数学合成》中，我将讨论该论文的一些小改进，以及如何将其进一步推广到分数的单体双范畴，并最终推广到分数三范畴。
发布于2006年10月18日晚上10:08 UTC

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12条评论和3条回溯

回复：澳大利亚范畴理论

基亚有关于澳大利亚数学的吸引人的you-are-there帖子。

发布人：路易丝2006年10月19日凌晨2:22|永久链接|对此的答复

回复：澳大利亚范畴理论

以下是更多的对话：

  • 罗斯街基本群表示理论中的Kan扩张。2006年11月1日星期三。

  • 多雷特·普龙克共形场理论是一个核函子。（与普拉卡什·帕南加登和里克·布鲁特）2006年11月1日星期三。

    摘要：西格尔对共形场理论的定义讨论了域不是范畴的“函子”。箭头有一个组合的联想概念，但没有恒等式。西格尔声称这并不重要，但我们主张不应只是随意添加身份。西格尔的原始范畴可以被视为一个更大范畴中的核理想，人们想把共形场理论中的函子视为核函子。我们将给出一个这样的函子的例子，这要归功于内雷廷。

这里要解决的问题是技术性的，但很重要。继Segal之后，我们将共形场理论视为对称单体函子Z轴:2圆面包 ℂ→兽医Z:2Cob_{\mathbb{C}}\到Vect其中的形态2圆面包 ℂ2Cob_{\mathbb{C}}是具有共形结构的二维坐标系。然而，实现这一点有一个障碍。如果中的态射2圆面包 ℂ2Cob_{\mathbb{C}}二维坐标系都有共形结构，没有同一变形！例如，一个圆的恒等式需要是一个“无限短”的圆柱体——类似于[0,t吨]×S公司 1[0，t]\倍S^1具有明显的保形结构，但t吨→0t\至0.

人们可以效仿西格尔（Segal）并正式加入身份变体，但问题依然存在。与圆柱体关联的线性运算符[0,t吨]×S公司 1[0，t]\倍S^1应该是经验(−t吨H（H）)\经验（-t H）哪里H（H）H（H）是哈密顿量，是圆的希尔伯特空间上的一个算子。因此，将圆柱体两端粘合在一起形成的圆环体的配分函数应为信托收据(经验(−t吨H（H）))\tr（\exp（-t H））但是，经验(−t吨H（H）)\经验（-t H）减少到身份操作符t吨=0t=0，并且恒等运算符的迹是无限的，所以在这种情况下我们无法计算配分函数！

这似乎是个小问题。但是，面临的挑战是找到一种形式主义，通过接受它来顺利地处理它。这显然是Blute、Panangagen和Pronk正在努力的。

同样的问题潜伏在Stolz和Teichner的关于椭圆上同调的论文问题已在示例2.1.4中看到。在第11页-当t吨=0t=0? 在定义4.1.1中，它又抬起了丑陋的头。在第48页，这一类中的身份语态是什么𝒞(X（X）)\数学{C}（X）? 我不知道这个问题是否在这里得到了明确的解决，尽管我记得曾与斯蒂芬·斯托尔茨（Stephan Stolz）谈过这个问题，他对此有一些不错的想法，同样涉及到“理想”的类别。

发布人：约翰·贝兹2006年10月31日凌晨3:03|永久链接|对此的答复

回复：澳大利亚范畴理论

基亚报告普龙克和斯特里特的谈话。Street与Panchadcharam在线撰写了两篇相关论文（93和94在这里).

一周前，保罗·贝尔托齐尼谈到Gelfand理论的水平分类与范畴非交换几何:

我们提出了交换全C*-范畴的“Gel’fand对偶定理”的一个版本，并讨论了它在一个更广泛的研究项目中的相关性，该项目旨在发展a.Connes非交换几何背景下的范畴方法。

有人知道什么特别吗水平的分类？还有吗垂直的分类？也许水平版本只意味着从n个-无需攀爬即可爬到相邻的田地。

发布人：大卫·科菲尔德2006年11月2日上午9:02|永久链接|对此的答复

回复：澳大利亚范畴理论

我从未听说过“横向分类”，但我同意你的观点：这听起来像是我所说的“多对象化”或“油化”。例如，用群胚替换群、用环胚替换环、用代数胚替换代数等的过程。

发布人：约翰·贝兹2006年11月3日下午4:53|永久链接|对此的答复

功能QFT

Dorette Pronk，作为核函子的共形场理论。（与Prakash Panangaden和Rick Blute联合工作。）

我在网上找不到关于这个的任何注释。有什么可用的吗？

西格尔对共形场理论的定义讨论了域不是范畴的“函子”。箭头有一个组合的联想概念，但没有恒等式。

为了方便起见，我想把这句话与以下观点联系起来：

一些在实践中使用函数QFT形式主义的人（例如，实际计算相关器）使用的公式实际上根本没有提到函子和协边范畴（在本文中），但它仍然捕获了人们想要的关键属性，即“因式分解”、“缝合”，“局部性”–通过B从A到C的性质与首先从A到B，然后从B到C的特性相同。

例如，中的二维共形场论的公理化数学。CT/0512076号如下所示：

让2圆面包 S公司2\mathrm公司{科布}_S成为设置具有给定额外结构的二维坐标系S公司S公司并将边界标记为传入或传出。

定义操作切\mathrm{cut}对于任何具有适当嵌入圆的此类坐标系，将沿着该圆切割并将两个新生成的边界分量分别标记为传入和传出而获得的坐标系关联起来。

而不是直接将其视为一个范畴并考虑函子兽医\马特姆{兽医}关于它，现在考虑将每个边界分量发送到向量空间，并将每个共序数发送到它们之间的线性映射的赋值（就像函子一样），使得因式分解此赋值满足公理：

与给定坐标系相关联的线性映射必须是与通过沿任意圆切割从给定坐标系获得的任何坐标系相关的线性映射上的明显轨迹。

这被称为上述论文第3页的公理C1。

如果我们在cobordism范畴中有没有扩展的cobordis，这个公理将简单地遵循功能性：它简单地描述了组合下的功能性，cobordims没有传入和两个传出树干成分，或者两个传入和不传出，中间没有扩展。

发布人：urs公司2006年12月20日上午11:46|永久链接|对此的答复

回复：功能QFT

向引用的版本添加标识

根据西格尔的理论，我们只需要考虑所有边界/空内部/无体积的表面；特别地，S公司 1序号^1

作为一个无限薄的表面。显然，问题更多的是表象。在最近的沙利文研讨会上，Segal给出了相关拓扑向量空间的具体实现H（H）H（H）作为相关操作数的表示。

对他的演示至关重要：让曲面具有黎曼度量。

说到一点x个x个在表面上，对应的H（H） x个H_x（_x）实现如下：

取一个半径的圆盘ϵ\ε然后让H（H） x个,ϵH_｛x，\ε｝是L（左） 2L^2（长^2）或者你自己的最喜欢的功能空间S公司 1序号^1被视为磁盘的边界

如果我们进行比较ϵ 10.\ε_10。

发布人：2006年12月20日下午3:16，jim stasheff|永久链接|对此的答复

回复：功能QFT

向引用的版本添加标识根据西格尔的理论，我们只需要考虑所有边界/空内部/无体积的表面；特别地，S公司 1序号^1

我想这就是约翰在上面所说的：

如果我们讨论共形配体（其边界需要配备允许粘合的共形“衣领”）及其明显的组成，那么这些都不会起到同一态射的作用。

尽管如此，我们仍然可以通过正式加入身份形态来将它们变成一个真正的类别。

但是，正如你所说，当我们这样做的时候

问题更多的是表现

显然，西格尔解决了这个问题：

Segal给出了相关拓扑向量空间的具体实现H（H）H（H）作为相关操作数的表示。

谢谢你提供的信息！

您的描述以结尾

[…]如果我们比较ϵ 10\ε_1 0

我还不确定我是否理解。你是这么说的吗ϵ\ε（描述一个小环）我们得到一个拓扑向量空间H（H） x个,ϵH_{x，\ε}我们想找到类似于极限的东西ϵ\εtensds到0？

发布人：urs公司2006年12月20日下午3:27|永久链接|对此的答复

回复：功能QFT

我写道：

一些在实践中使用函数QFT形式主义的人（例如，实际计算相关器）使用的公式实际上根本没有提到函子和协边范畴（在本文中），但它仍然捕获了人们想要的关键属性，即“因式分解”、“缝合”，“局部性”–通过B从A到C的性质与首先从A到B，然后从B到C的特性相同。

例如，二维共形场理论的公理化数学。CT/0512076号如下所示：

[…]

这些作者现在对这一概念有了一个新的、完善的表述，并在其最新版本中提出：七时/0612306.

它在那里的配方，有一些多类别对它来说。

有人应该仔细阅读这些定义，并明确指出隐含调用的理论概念的类别。

大致上，新定义如下：

A类WSh公司WSh公司定义了，其对象是带有边界的曲面，每个组件都标记为传入或传出，以及与主要思想无关的各种其他结构。

畸形是

A） 这些表面之间的同态（尊重所有额外结构）

B） 表面的缝合。

缝纫是选择一对输出边界组件与匹配的输入边界组件，然后根据此标识进行粘合。

显然，我们应该能够将这里的对象集合视为多范畴中的（可组合的）态射集合。缝合变形是描述这些集合中的组成的过程。

如果有人比我更详细地了解多类别理论，那么他应该阅读上述文章的第3.1节，并提取相应的描述。

发布人：urs公司2007年1月3日下午6:15|永久链接|对此的答复

回复：澳大利亚范畴理论

本周在Morgan-Phoa数学研讨会.

罗斯街昨天在编织单体范畴中的量子范畴、Frobenius代数和弱Hopf代数.

迈克尔·巴塔宁明天将发表演讲Deligne猜想：代数、几何和高等范畴理论之间的相互作用.

发布人：大卫·科菲尔德2006年11月29日上午11:28|永久链接|对此的答复

回复：澳大利亚范畴理论

罗斯街昨天在编织单体范畴中的量子范畴、Frobenius代数和弱Hopf代数。

很有趣。这与二维共形场理论有关#.

有人知道是否有一篇与这次演讲相对应的论文吗？

发布人：urs公司2006年11月29日下午3:42|永久链接|对此的答复

回复：澳大利亚范畴理论

发布人：约翰·贝兹2006年11月30日凌晨1:39|永久链接|对此的答复

回复：澳大利亚范畴理论

基亚已在博客上发布了有关此研讨会的信息。

发布人：大卫·科菲尔德2006年12月3日下午6:24|永久链接|对此的答复
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