n类咖啡馆

我认为我们应该用函数概念来证明量子理论中常见概念的以下认同：

-系统/模型-
$\阵列{\mathbf{\sigma-\text{model:}}&&\文本{世界卷}&\stackrel{\text{field-configuration}}{\to}&\文本{目标空格}&\stackrel{\text{指数操作}}{\to}&\文本{阶段}\\\\\mathit{\text{带电粒子：}}&&\href公司{http://golem.ph.utexas.edu/category/2006/08/quantum_computation_and_symmet.html#c004511}{1\马特姆{科布}_\数学{Riem}}&\stackrel{\gamma}{\to}&P_1（X）&\堆栈{\href公司{http://golem.ph.utexas.edu/category/2006/08/on_ntransport_part_i.html}{\mathrm（马特姆）{tra}_{\nabla}}}{\至}&\数学｛Vect｝\\\\\href公司{http://en.wikipedia.org/wiki/Wess-Zumino-Witten_model}{\mathit{\text{WZW:}}}&&2\mathrm公司{科布}_\数学{conf}&\stackrel{\Sigma}{\to}&P_2（G）&\斯塔克雷尔{\href公司{http://golem.ph.utexas.edu/category/2006/09/on_ntransport_2vector_transpor.html}{\马特姆{tra}_{\nabla_2}}}{\到}&\href公司{http://golem.ph.utexas.edu/string/archives/000821.html}{2\mathrm{Vect}}\\\\\mathbf{\text{general:}}&&\文本{参数空间}&\stackrel{\text{field-configuration}}{\to}&\文本{配置空间}&\stackrel{\text{指数操作}}{\to}&\文本{阶段}\\\\\href公司{http://en.wikipedia.org/wiki/Chern-Simons_theory网站}{\mathit{\text{Chern-Simons:}}}&&\href公司{http://arxiv.org/abs/q-alg/9503002}｛3\mathrm｛Cob｝｝&\堆垛机{V}{\至}&P_3（B G）&\斯塔克雷尔{\mathrm{tra}_{\nabla3}}{\to}&3\mathrm{Vect}}$

-量化-
$\阵列{\mathbf{\text{general:}}&&\文本{参数空间}&\stackrel{\text{字段conf.}}{\to}上exp.操作的积分&\文本{振幅}\\\\\mathit{\text{带电粒子：}}&&1\mathrm{Cob}&\stackrel{\bigoplus_\子堆栈{\gamma}\gamma^*\mathrm{tra}}{\to}&\马特姆{希尔布}}$

主要问题是建立语态的类别$从{Cob}到{Vect}$在某种程度上，副产品

是$n个$-功能版本的路径积分。这应该是一个吞咽$n个$-向量$n个$-运输关于“配置空间”$P_n（X）$以及一组现场配置$n\mathrm{Cob}\到P_n（X）$然后吐出一个$n个$-质量功能测试 $n个$-函子：

我认为它的工作原理如下：

向量传输1-函子上的路径积分:

我冒昧地稍微修改了所涉及的各种类别的定义，只是为了避免一些与我要表达的主要思想无关的技术问题。

所以考虑一下：

这里我将使用图表

尽管这是对符号的滥用，我还是想把这个图叫做

因为此图将扮演时间线，或世界线非相对论粒子。

对于$X（X）$一些有限集，让$P_1（X）$是广群自由生成自上的自由有向图$X（X）$. 所以这里的形态是$X（X）$，比如$x_1至x_2至x_3$，反转边就是反转对应的同构，$（x\到y\到x）=\mathrm{Id}_x$.

我们想将粒子耦合到上的规范场$X（X）$然后找到它的量子动力学。

让$E至X$是一个有联系的向量丛$\纳布拉$在$X（X）$（实际上，您应该考虑一个复杂的线束，但我不需要这个假设。）对我来说，这是一个并行传输函子

这是我们对于耦合到规范场的粒子的“作用泛函”。

我接受了图的态射

将一系列边发送到一系列边的映射，如下图所示

这是一条在$X（X）$，我们的“场”（即将场从世界线嵌入到目标空间）在一小块世界线上的可能配置。

与我们的行动 $\数学{tra}$，我们发现阶段与此字段配置关联

注意如何$\伽玛^*\mathrm{tra}$从关联的图类别自然扩展到函子$1\mathrm{Cob}$到$\马特姆{兽医}$（比较Anders Kock对并行传输的描述#).

现在，路径积分量化的关键是对所有可能的场配置中的所有相位进行“求和”。

在我们的设置中，一切都是绝对的，“总和”不能代表任何东西，而是类似副产品的物体。“字段配置”表示“函子”$\伽马射线$“和”相位“是指”图像$\伽玛^*\mathrm{tra}$”.

因此，“场配置上的相位和”必须是某种态射，我将表示

这样所有其他此类函子都具有它的态射

因此它是具有这种性质的普遍对象。

为了获得预期的结果，我们必须找到一个合适的概念的态射图形地图.下面是一些看起来确实有效的方法。

让类别的形态

在每个图的边缘都有一个自然正方形，但只有一个箭头反转，如下所示：

这对于函子来说没有意义，但对于具有余域范畴的图映射来说确实有意义。

让

是这个类别中的对象，它从每个$\gamma_i^*\mathrm{tra}$，对于任何其他对象$问$有了这个属性，就有了一个态射$\bigoplus_\gamma\gamma^*\mathrm{tra}\到Q$.

为了计算这个对象，我们必须考虑这种形式的交换图

在里面$\马特姆{兽医}$.

我认为（但你应该检查一下）这个$\oplus{\子堆栈{\gamma}}\gamma^*\mathrm{tra}$正是奇怪的总和我们想要的。

即

哪里$U（δt）$是$|X|\次|X|$-矩阵，其$（x，y）$-条目是线性映射

这确实是量子力学传播子的极限，其中$\δt$是一小段时间。

正如我们所看到的之前，我们应该考虑

作为截面间距捆绑包的$E至X$因此，实际上是带电量子粒子的希尔伯特状态空间。

（在更详细的推导中，我们将从厄米矢量束开始，它在每根光纤上都携带一个标量积。这将在希尔伯特状态空间中导出预期的标量积）。截面的平方可积性是我们在这里忽略的技术性之一，因为$|X（X）|$假设是有限的。）

此外，$U（\增量t）$显然，这个Hilbert空间的线性自同态是通过沿任意两点之间的每一条可能路径（初等长度）使用经典作用得到的$X（X）$.

因此，权力

是上的线性运算符$H（H）$它是通过对总参数长度的所有路径进行路径积分得到的$n\增量t$.

但这正是我们追求的传播者：

换句话说，路径积分是以类似于传输函子的副乘积的形式表示的。

当然，这个练习的重点是$n=1$到$n\gt 1$.

这里有一个pdf格式还有一些相关的注释。